FAM
Serie 42: Fisica quantistica
C. Ferrari
Esercizio 1 Corpo nero
Considera la legge di Planck
u(ν, T ) =
hν
8πν 2
hν
3
c e kB T − 1
La legge di spostamento di Wien, scritta in funzione della frequenza è
νmax = 5,88 · 1010 s−1 · K−1 T
(⋆)
mentre se si usa la lunghezza d’onda la legge di spostamento di Wien è data da
λmax T = 2,88 · 10−3 K · m .
1. Rappresenta su di uno stesso grafico la densità spettrale di energia per i
seguenti corpi:
• superficie del Sole T = 5800 K;
• superficie della stella Sirio B T = 9900 K;
• corpo umano T = 38◦ C.
e trova il valore di λmax . Il picco di radiazione in che fascia dello spettro
elettromagnetico si trova?
2. Nel 1983 il satellite IRAS scoprı̀ una nuvola di particelle solide attorno alla
stella Vega, la cui radiazione aveva un picco a 32 µm. Qual è la temperatura
della nuvola di particelle?
3. Dimostra la formula (⋆) (Utilizza Maple se necessario).
Esercizio 2 Effetto fotoelettrico
1. L’energia di estrazione del tungsteno è 4,50 eV. Calcola la velocità del (più
rapido) fra gli elettroni emessi quando un foglio di tungsteno è investito da
fotoni con energia 5,80 eV.
2. L’energia di estrazione del sodio metallico vale 2,28 eV. è possibile ottenere
l’effetto fotoelettrico per della luce rossa con λ = 680 nm? Qual è la frequenza
di soglia del sodio e a quale colore corrisponde?
1
3. La lunghezza d’onda di soglia per l’argento è 325 nm. Trova l’energia cinetica
degli elettroni emessi da una superficie di argento investita da luce ultravioletta
do lunghezza d’onda 254 nm e intensità I = 1,39 kW/m2 . Se la placca di
argento ha una superficie di 2,60 m2 quanti elettroni al secondo sono estratti?
4. Se nel punto precedente si raddoppia l’intensità come cambiano l’energia cinetica e il numero di elettroni estratti al secondo?
5. Raggi X di lunghezza d’onda pari a 71 pm estraggono da un foglio d’oro un
flusso di elettroni alimentati dai livelli più interni dell’atomo. Essi si muovono
~ I
su una traiettoria circolare di raggio r in un campo magnetico uniforme B.
−4
risultati sperimentali indicano che Br = 1,88 · 10 Tm. Determina:
(a) l’energia cinetica degli elettroni;
(b) l’energia di estrazione fornita agli elettroni degli atomi d’oro da parte dei
raggi X.
Esercizio 3 Effetto Compton
1. Fotoni di lunghezza d’onda 2,4 pm incidono su un bersaglio contenente elettroni liberi. Determina la lunghezza d’onda di un fotone deviato di 30◦ , rispettivamente di 120◦ .
2. A quale angolo un fotone di 200 keV deve essere diffuso da un elettrone libero
per perdere il 10% della propria energia?
3. Un fotone di raggi X con lunghezza d’onda 0,01 nm è diffuso all’indietro da un
elettrone immobile. Determina:
(a) la variazione di lunghezza d’onda del fotone;
(b) la variazione dell’energia del fotone;
(c) l’energia ceduta all’elettrone durante la collisione;
(d) la direzione del moto dell’elettrone e la sua quantità di moto dopo la
diffusione.
4. Se i raggi X sono diffusi da protoni invece che da elettroni, la variazione della
loro lunghezza d’onda per un angolo di diffusione dato: aumenta, diminuisce,
resta invariato?
Esercizio 4 Transizioni atomiche e modello di Bohr
1. Quali sono l’energia, la quantità di moto e la lunghezza d’onda del fotone
emesso quando l’atomo di idrogeno subisce una transizione dallo stato n = 3
allo stato n = 1? A che serie appartiene questa transizione?
2
2. Determina le lunghezze d’onda minima e massima delle serie di Lymann, Balmer, Paschen, Brackett e Pfund. In che parte dello spettro si situano queste
serie?
3. Qual è l’energia di un fotone che ionizza l’atomo di idrogeno? Che relazione c’è
con il valore ottenuto per il livello fondamentale grazie alla formula di Bohr?
4. In fisica atomica, un atomo eccitato con uno o più elettroni il cui numero
quantico principale n è molto elevato è detto in uno stato di Rydberg. Questi
atomi sono studiati in prima approssimazione con il modello di Bohr. Considera
un atomo di idrogeno in uno stato di Rydberg con n = 63, quanto vale il raggio
dell’orbita di Bohr e quanto vale l’energia dell’elettrone in quello stato?
5. Utilizzando la formula di Larmor non relativistica stima il tempo impiegato
ad un elettrone dell’atomo di idrogeno (raggio aH ) per cadere sul nucleo.
Esercizio 5 Evoluzione di uno spin classico
~ γ = − e , dove S
~ è lo
Considera una particella di momento magnetico ~µ = γ S,
me
spin. All’istante t = 0 lo spin è orientato lungo l’asse x:
√
3
~ 2
~
S(0)
=
0
0
~ = B0~ez .
e la particella è posta in un campo magnetico omogeneo costante B
z
~
B
y
~
S(0)
x
~ = cost, Sz (t) = cost.
1. Dimostra che kSk
2. Dimostra che
√
Sx (t) = ~ 3 cos ωt
2
√
Sy (t) = ~ 3 sin ωt
2
dove ω = γB0 . Questa evoluzione temporale è nota come precessione di
Larmor.
3
3. Analizza l’evoluzione temporale se la condizione iniziale è
1S
2
~
S(0)
= 0
√
3
S
2
√
dove S = ~ 23 . Disegna la traiettoria dello spin.
~ e
Indicazione: Utilizza il teorema del momento angolare e il momento ~τ = µ
~ ∧B
ẍ = −a2 x (a ∈ R)
=⇒
x(t) = A cos at + B sin at
4
