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Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore –Convezione Introduzione
Trasporto di calore per convezione
Esistono due meccanismi di trasporto per convezione tra una superficie solida ed un
fluido
Convezione forzata
Convezione naturale
Convezione forzata quando una causa esterna determina un moto relativo tra il
fluido e la superficie solida (Esempi: moto di un fluido in un condotto, un fluido
che scorre su una lastra piana, oppure una sfera che cade per gravità in un fluido
fermo)
Convezione naturale quando il movimento del fluido intorno alla superficie del
solido è innescato proprio dalla differenza di temperatura (esempio la circolazione
d’aria in prossimità di un termosifone caldo, la salita dei fumi nella canna del camino
quando è acceso…)
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Fenomeni di Trasporto- Trasporto di calore - Convezione forzata
Trasporto di calore fluido/superficie solida: casi di interesse
Le geometrie di maggiore interesse sono:
• moto intorno ad oggetti sommersi
(lastra piana, sfera, cilindro)
• moto in tubi
Obiettivo:
calcolo della potenza termica scambiata
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Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore - Convezione forzata
Coefficiente di trasporto di calore h
Il “calore” trasmesso per convezione tra una superficie solida ed un
fluido si esprime come:
Q = h A ΔT o come flusso q = h ΔT
dove: Q = potenza termica [W]
(q = flusso termico [W m-2]
h = coefficiente di trasporto di calore medio [W m-2 K-1]
T = differenza di temperatura caratteristica [K]
A = superficie di scambio [m2]
N.B. in alcuni casi per evidenziare che h è un valore medio si usano
i seguenti simboli
h = hav = hm
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata
Equazione per il trasporto di calore per convezione forzata
L’equazione:
Q = h A ΔT
non è una legge del trasporto di calore ma solo la definizione del
coefficiente di trasporto di calore medio h che deve essere valutato
in altro modo.
h = h (moto del fluido - proprietà termiche del fluido - geometria)
IPOTESI
FLUIDO: Velocità indisturbata uniforme v
Temperatura indisturbata uniforme T
SOLIDO: Temperatura uniforme T
(indicata in genere come Ts oppure T0)
SISTEMA STAZIONARIO
A = WLlastra ; 2πRLcilindro ; 4πR2sfera
ΔT = T solido – T fluido ( o viceversa) = Ts-T
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Fenomeni di Trasporto - Trasporto di calore
Tecniche per il calcolo di h
Soluzione con:
• Analisi dimensionale
• Teoria del film
• Teoria dello strato limite
• Analogia di Reynolds
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Fenomeni di Trasporto- Trasporto di calore - Convezione forzata
Moto intorno a oggetti sommersi: Analisi dimensionale
Le grandezze da cui dipende il fenomeno sono
 L2
 2
t T



7 grandezze
4 dimensioni fondamentali: M, L, t, T
Teorema di Buckingam
Numeri adimensionali = n° grandezze - n°dimensioni = 7 - 4 = 3
Numeri adimensionali
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Fenomeni di Trasporto- Trasporto di calore - Convezione forzata
Moto intorno a oggetti sommersi: Analisi dimensionale
Numeri adimensionali
Risultato dell’analisi dimensionale
Nu  NuRe, Pr 
noto Nu è possibile calcolare h
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Moto intorno a oggetti sommersi
Lastra piana
La geometria del problema è la
seguente:
una lastra piana infinita di spessore
nullo viene investita tangenzialmente
da un fluido che si muove con
velocità media v e T. La lastra è a
T=Ts. Si indica con x una dimensione
della lastra concorde con la direzione
del moto, y la direzione
perpendicolare alla lastra e z l’altra
dimensione della lastra. L’origine del
sistema di riferimento è posto nel
punto di contatto del fluido con la
lastra
z
L
y
W
x
Lastra reale = lastra
infinita se W>>L
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Fenomeni di Trasporto- Trasporto di calore - Convezione forzata – Analogia di Reynolds
Calcolo Nu da analogia di Reynolds per superfici piane
Reynolds aveva intuito che ci doveva essere una analogia tra il trasporto di
quantità di moto (qdm) ed il trasporto di calore
Ipotesi: il rapporto tra la portata di quantità di moto trasportata lungo la
direzione del moto (x) e quella trasmessa in direzione ortogonale (y) è uguale
allo stesso rapporto per l’energia
Qqdmx
Qqdmy

Qcalx
Qcal y
Le portate a numeratore sono convettive quelle a denominatore sono
diffusive.
La portata di una quantità trasportata con il moto d’insieme del fluido
(convettiva) si calcola come
Concentrazione della quantità x portata volumetrica
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Analogia di Reynolds
Analogia di Reynolds per superfici piane
Qqdmx  v Sv
Concentrazione di QDM x portata volumetrica
Qcalx  cp(T  T0 ) Sv
Concentrazione di energia x portata volumetrica
Qqdmy   y
A
y 0
Qcaly  q y
A
Portata diffusiva sulla lastra
y 0
Qqdm x
M L L3
[ ] 3
 M L t 2
L t t
Concentrazione di QDM x portata volumetrica
ML 1
Qqdmy   y
S
L2  ML t  2
y 0
t 2 L2
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Analogia di Reynolds
Analogia di Reynolds per superfici piane
v Sv
y
y 0
v2
y
y 0

A

 cp(T  T0 ) Sv
qy
y 0
A
 cp v T  T0 
qy
y 0
essendo
 cp v T  T0 
Si ha

1 2
h T  T0 
 v f
2
F
1
 y
  v 2 f
y 0 2
A
qy
 h (T  T0 )
y 0
 v2
2  cp v

f
h
f
h

2  cp v
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Analogia di Reynolds
Analogia di Reynolds per superfici piane
f
h
 hL k


2  cp v  v L k  cp
1/Re
f
Nu

2 Re Pr
1/Pr
hL
Nu 
k
Sperimentalmente si verificò che questa relazione valeva
solo per Pr1
Analogia di Reynolds
f
Nu  Re
2
Valida solo per Pr1
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Analogia di reynolds
Numero di Prandtl

Pr 
cp




kf
kf

cp 
Viscosità cinematica (diffusività di qdm)
diffusività termica
 [=] m2 s-1  [=]m2 s-1 DAB [=]m2 s-1
Quindi il numero di Pr rappresenta il rapporto tra la diffusività di qdm e
la diffusività di calore.
L’analogia stretta di Reynolds richiedeva che fosse Pr=1
Valori tipici di Pr
gas
 Pr = 0.65 - 1
liquidi
 Pr > 1
metalli liquidi  Pr < 0.01
Pr aria  0.7 (T>300 °K e P < 100 bar)
Pr acqua = 10.3 (280 °K)
5.7 (300 °K)
3.7 (320 °K)
(Perry tab. 2-368)
(Perry tab. 2-369)
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Lastra piana
Numero di Nusselt
dT
qsup fluido  k f
dy
dT
dy y 0
 h T0  T 
h

k f T0  T 
y 0
kf = conducibilità termica del fluido [W m-1 K-1] .
 T  T 

d
T0  T 
hL

Nu 


k f T0  T
y
d 
L
L
dT
dy y  0

y 0
qy
y 0
T0  T
kf
L
Il numero di Nusselt (Nu) si può quindi vedere come:
• il rapporto del gradiente di temperatura, nel fluido, calcolato alla parete
diviso un gradiente di temperatura caratteristico nel fluido;
• come un gradiente di T adimensionale;
• come rapporto di flussi di calore
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Teoria del film
Calcolo di Nu da teoria del film
La teoria del film ipotizza che il campo di moto sia diviso in due regioni una in
cui il moto è uniforme, e pari al valore indisturbato, l’altra vicina alla lastra in
cui il profilo di velocità è lineare ed uniforme su tutta la superficie della lastra.
La stessa ipotesi si fa anche per il profilo di temperatura
y
v T
v
T
Film termico dT
x
0
Film fluidodinamico d
Lo spessore del film δ e δT è costante lungo la lastra
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Teoria del film
Teoria del film qdm
v
 v
y

d
y 0
d
y
y 0
y
y 0
per la ipotesi di linearità del profilo di
velocita (d è lo spessore del film per la
qdm)
1
f  CD 
 y
 f  v 2
y 0
1
2
2
 v
2
 v
2
d

1
2
f v
f  v
2
f = fattore di attrito
d 2 
2


L f  v  L f Re
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Teoria del film
Teoria del film energia
dT
T
kf
qy
 k f
 kf
 h T  h 
y 0
dy
dT
dT
deriva dalla ipotesi di linearità del
profilo di T
d‘è lo spessore del film per l’energia
In genere sarà
d  dT
h L L L  d  f Re  d  ci si aspetta d  f     f Pr 
 
Nu 
    
dT   
k f dT d  dT  2  dT 
Per cui dalla teoria del
film
f
Nu  Re f (Pr)
2
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Strato limite
Lastra piana (Teoria dello strato limite)
La teoria dello strato limite ipotizza
che l’intero campo di moto sia
divisibile in due zone:
zona A) lontana dalla superficie solida
in cui la velocità del fluido rimane
indisturbata (v) e gli sforzi viscosi
sono trascurabili
zona B) vicina alla superficie solida in
cui la velocità del fluido passa da
quella indisturbata (v) a v=0 per il
principio di aderenza.
Tale zona si chiama strato limite
idrodinamico ed è caratterizzata da
uno spessore (spessore dello strato
limite idrodinamico) che cresce lungo
la direzione del moto. In essa
predominano gli sforzi viscosi
zona A
zona B
Strato limite
idrodinamico
Profilo di velocità in prossimità di una
superficie solida piana investita
tangenzialmente da un fluido con
velocità indisturbata v
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata –Strato limite
Spessore dello strato limite
Si definisce spessore dello strato limite
(d) la distanza dalla lastra in direzione
ortogonale alla quale la velocità del fluido
raggiunge un valore
v = 0.99 v 
y
d
d
lo spessore (d) è funzione della x
x
0.99 v 
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Strato limite
Lastra piana - Numero di Reynolds
Si definisce il numero di Reynolds in
funzione della distanza percorsa dal
fluido sulla lastra:
 x v
Re x 

zona A
zona B
Strato limite
Il valore di Re di transizione (strato
limite laminare  strato limite
turbolento) per una lastra piana è
mediamente 105
N.B. Le espressioni per calcolare il
coefficiente di trasporto di calore
sono diverse per lo strato limite
laminare e per quello turbolento.
Profili di velocità in prossimità di una
superficie solida piana investita
tangenzialmente da un fluido con
velocità indisturbata v
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Strato limite
Lastra piana (non isotermo): teoria dello strato limite
v
y
x
T v
Ipotesi:
1) Ts costante sulla lastra (Ts < T)
2) Variazioni solo lungo x
N.B. Si ipotizza l’esistenza di
uno strato limite
idrodinamico ed uno
termico
3) spessore della lastra nullo
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Lastra piana
Schematizzazione del trasporto di calore nella direzione y
(ortogonale al moto)
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Lastra piana
Teoria dello strato limite e analogia di Colburn
Dalla teoria dello strato
limite si ottiene la
funzione f(Pr) = Pr1/3
Si definisce il parametro di Colburn
E quindi essendo
f
Nu  Re Pr1/ 3
2
f
Nu  Re Pr1 / 3
2
jH 
Nu
Re Pr1 / 3
f
jH 
2
Analogia di
Colburn
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Lastra piana
Conclusioni per lastra piana
Analisi dimensionale
Analogia di Reynolds
Valida solo per Pr=1
Teoria del film
Teoria dello strato limite
Analogia di Colburn
Nu  NuRe, Pr 
f Nu

2 Re
f
Nu

2 Re f (Pr)
f
Nu

2 Re Pr1 / 3
f
Nu
 jH 
2
Re Pr1 / 3
f
Nu  Re
2
f
Nu  Re f (Pr)
2
f
Nu  Re Pr1 3
2
Nu  jH Re Pr1 / 3
Essendo f = f(Re) il risultato dell’analisi dimensionale è confermato
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Lastra piana
Fattore di Colburn jH e Nu per lastra piana (Re,Pr)
Per lastra piana e strato limite
laminare il fattore di attrito è
essendo
f
 0.664 Re 1 / 2
2
f
Nu  Re Pr1/ 3
2
Nu  0.664 Re1 / 2 Pr1 / 3
quindi
f
jH   0.664 Re 1 / 2
2
Abbiamo ottenuto una
relazione che ci consente
di calcolare Nu e quindi h
da Re e Pr
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata – Lastra piana
Altre geometrie
L’analogia di Reynolds (Pr=1) e quella di Colburn (valida per ogni Pr)
valgono solo quando non c’è attrito di forma ossia
per moto intorno a lastra o in un tubo. Per le altre geometrie (moto intorno a
cilindro o sfera) risulta f/2 > jH. In ogni caso però è:
Nu = f (Re, Pr)
La dipendenza funzionale è in genere espressa da:
Nu  a Re m Pr n
Una volta noto Nusselt è possibile calcolare il coefficiente di trasporto h
dalla definizione di Nu:
hL
Nu 
kf
in quanto L e kf sono in genere dati del problema.
Noto h si calcola Q (potenza termica)
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata
Coefficiente di trasporto locale e medio
Poiché in genere il valore del coefficiente di trasporto non è costante
lungo una superficie, si definisce un coefficiente di trasporto locale
corrispondente ad una superficie differenziale dA dove tutte le
proprietà possono considerarsi costanti:
Q  T  hloc dA
La relazione tra coefficiente medio e locale è quindi
hloc

h
dA
A
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Lastra piana
Lastra piana - Coefficiente di trasporto locale e
medio
La definizione di coefficiente di trasporto locale è in caso di lastra piana:
W L
Q  T 
0
 hloc
dxdz
0
Il coefficiente di trasporto medio risulta quindi pari a
W L
h
  hloc
0
dxdz
0
WL
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Lastra piana
Lastra piana - Coefficiente di trasporto locale e
medio
Se la lastra è sufficientemente larga W>>L si possono trascurare gli effetti
di bordo e quindi ipotizzare che il problema sia bidimensionale (non ci
sono variazioni sul piano della superficie di contatto nella direzione z
ortogonale a x) N.B. In genere si indica con x la direzione del moto.
L
Q  T W  h x dx
0
la relazione tra coefficiente medio e locale è in questo caso:
L
h
 hx
dx
0
L
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore
Trasporto di calore intorno oggetti sommersi
Oggetti semplici ( lastra piana, cilindro, sfera)
Oggetti complessi (fascio tubiero)
Il coefficiente h è definito rispetto alla superficie bagnata
dell’oggetto e rispetto al T (Ts-T)
La sup del solido si ipotizza T uniforme
Le proprietà del fluido si valutano alla
temperatura di film = (Ts+T) /2
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore lezione 1/
Espressioni di Nu per oggetti sommersi (convezione forzata)
Strato limite laminare
L’espressione del numero di Nusselt è
Nu = Cr Rem Pr 1/3 (Eq. 5-44 Perry)
I valori di Cr e m sono forniti per le diverse geometrie (Tab. 5-5
Perry)
Validità :
1) corpi singoli immersi in un fluido infinito
2) strato limite laminare
3 ) proprietà del fluido valutate a T di film Tf = (Ts+T)/2
4) L caratteristica e v caratteristica nelle espressioni di Nu e Re
lastra piana = lunghezza nella direzione del moto;
cilindro e sfera = D
v caratteristica = v
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore lezione 1/
Nu per diverse geometrie (strato limite laminare) Perry
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Lastra piana
Espressioni di Nu locale e medio s.l. laminare e turbolento per lastra piana
(convezione forzata) Kreith
Rex < 5x105
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore lezione 1/
Trasporto di calore intorno oggetti sommersi
Caso: GAS cilindro
Kreith riporta la seguente relazione Nu = C Ren
per gas
Pr ≈ 1
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore - Convezione forzata - Lastra piana
Lastra piana – Analogia di Colburn grafico per il calcolo di h
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore
Trasporto di calore intorno oggetti sommersi - cilindro
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore lezione 1/
Trasporto di calore intorno oggetti sommersi - sfera
Nu = 2 + 0.6Re0.5Pr1/3
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore lezione 1/
Trasporto di calore intorno oggetti sommersi – cilindro
direzione del moto normale ad asse di simmetria cilindro
La correlazione è: (Middleman eq. 12.3.5)
Nu
0.52

0
.
35

0
.
56
Re
Pr 0.3