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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia
Equazione dell’energia termica
^
ρ
Velocità di
accumulo
dell’energia
interna per
unità di
volume
DU
   q   p  v    : v 
Dt
Velocità di INOUT per
conduzione
dell’energia
interna per
unità di
volume
Velocità
reversibile di
aumento
dell’energia
interna per
unità di
volume per
effetto della
compressione
Velocità
irreversibile di
aumento
dell’energia
interna per
unità di
volume per
effetto della
dissipazione
viscosa
Vogliamo scrivere l’equazione dell’energia termica in
funzione della temperatura
1
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia
Eq. energia termica in funzione di T
Esprimiamo l’Energia interna per unità di massa in termini di Entalpia per u.m.
U  H  pV  H   p  
^
^
^
^

Quindi
DU
DH
D p  


Dt
Dt
Dt
^

^
^

^
 1  D
DU
D H Dp


 p   2 
Dt
Dt
Dt
   Dt
Dall’eq. di continuità
Si ottiene quindi la
seguente espressione
della energia interna
in termini di entalpia

 1 Dp
DU
DH
D1   


  
p
Dt
Dt

Dt
Dt



^
^
^
DU
D H Dp p D



Dt
Dt
Dt  Dt
Dρ
  ρ  v 
Dt
^
^

1 Dρ
   v 
ρ Dt
^
DU
D H Dp


 p  v 
Dt
Dt
Dt
2
Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia
Eq. energia termica in funzione di T
^
DU
ρ
   q   p  v    : v 
Dt
L’equazione energia termica
^

Abbiamo trovato
^
DU
D H Dp


 p  v 
Dt
Dt
Dt
^
Uguagliando

D H Dp

 p  v      q  p  v    : v 
Dt
Dt
^
Quindi si ottiene
ρ
DH
Dp
   q  
  : v 
Dt
Dt
Abbiamo espresso la equazione dell’energia in termini di Entalpia
Bisogna ora esprimere la dipendenza di H dalla temperatura
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia
Eq. energia termica in funzione di T
 ^
H
d H 
 T

^

 ^

H
dT




 p
p



 dp

T

 ^
^

 V
d H  C p dT  V  T 

 T


^
^

 ^
^
^

 V
DH
DT

 C p
 V  T 
Dt
Dt

 T


^
sostituiamo
^
 
 
  dp
 
 p 
 
  Dp
 
  Dt
 p 
^ DT
1
DH
 1    Dp

 C p
   T 
 
Dt
Dt
 T  p  Dt
 
 1  
 1   
 1  
   T  
  T  
 T 
  T 
  T 
 2 T 
 T  p
  T  p
p

p 
  
  ln  
1
    ln  p  
 
  p
   p 
essendo
1
 T 
  ln T 

   ln T  p  
 
 T p
 T  p T
  ln  


  ln T  p
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia
Eq. energia termica in funzione di T
^
^ DT    ln    Dp
DH

 C p
 1  
 
Dt
Dt    ln T  p  Dt
abbiamo trovato
^
DH
Dp
ρ
   q  
  : v 
Dt
Dt
^
uguagliando
C p


DT
  ln   Dp
    q   :  v   

Dt

ln
T

 p Dt
Questa è la equazione di variazione della temperatura
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia
Equazione di variazione della temperatura
per gas ideali
GAS IDEALE
  T 
 T  
  ln  










  ln T  p   T  p   T  p
Dalla eq. di stato dei gas

T
P

 R2
 P  1 T P  1 

 

2
T R T
R T 
R  costante particolar e del gas 
P
RT
R
M
 T  
P P 1 

 
 2 
2
  T  p R R  T 
P2  1 
2
  2    2  1
2 2
R   T 

R  costante universale dei gas
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia
Equazione di variazione della temperatura per gas ideali
GAS IDEALE
  ln  
Essendo quindi 
  1
  ln T  p
^
C p
Ipotesi:
1) Dissipazione viscosa trascurabile
2) Flusso conduttivo da legge di Fourier
La relazione tra i calori specifici è


DT
Dp
    q   :  v  
Dt
Dt
^
C p
^
^
C p  Cv
DT
Dp
 k 2T 
Dt
Dt
R
D
Ed utilizzando la eq. di continuità
     v 
Dt
Dp
DT
D
e la legge di stato dei gas
 R
 RT
Dt
Dt
Dt
si ha
^
 Cv
DT
 k 2T  p  v 
Dt
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia
Forme semplificate eq. energia termica
^
C p


DT
  ln   Dp
    q   :  v   

Dt
  ln T  p Dt
FLUIDO A P COSTANTE
Dp
0
Dt
^
DT
C p
 k 2T
Dt
Dissipazione viscosa trascurabile
Flusso conduttivo da legge di Fourier
FLUIDO CON ρ costante
  ln  

 0
  ln T  p
^
DT
2 Dissipazione viscosa trascurabile
C p
 k T Flusso conduttivo da legge di Fourier
Dt
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia
Forme semplificate eq. energia termica
^
C p


DT
  ln   Dp
    q   :  v   

Dt
  ln T  p Dt
SOLIDO
(ρ=costante e v=0)  C p T  k 2T
^
t
Flusso conduttivo da legge di Fourier
9
Riepilogo delle forme dell’equazione
energia termica - Riferimento lagrangiano
10
Riepilogo delle forme dell’equazione
energia termica - Riferimento fisso
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Soluzione dei problemi con scambio di energia
La soluzione in genere richiede la soluzione delle equazioni di
• Continuità
• Bilancio di quantità di moto
• Bilancio di energia
Le equazioni non possono essere risolte indipendentemente
 e m dipendono da T
nella equazione
dell’energia compare
la velocità
l’eq. del moto non può
essere risolta se non è
risolta quella dell’energia
l’eq. dell’energia non può
essere risolta se non è
risolta quella del moto
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Soluzione dei problemi con scambio di energia
Una notevole semplificazione si ha se si può assumere
 e m costanti con T
1. Si risolve l’eq. del moto
(si valuta la variazione spaziale
e/o temporale della velocità)
2. Si risolve l’eq. dell’energia
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Convezione naturale
Cella convettiva in casi di lastra verticale a Ts immersa in
un fluido a T (Ts  T)
Ts
T
Esempio Ts > T
Il trasporto di calore per convezione
naturale si realizza quando una superficie
solida è a contatto con un fluido a T
diversa.
A causa della differenza di T il calore va
dal corpo al fluido o viceversa e determina
una variazione di densità del fluido in
prossimità della superficie di contatto.
La differenza di densità fa muovere la
porzione di fluido meno densa verso l’alto
e quella più densa verso il basso.
Questo movimento rende il meccanismo di
trasporto di calore più efficiente (rispetto a
quello che si avrebbe con il fluido fermo) e
si chiama convezione naturale.
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia
Equazione del moto in sistemi non isotermi
L’equazione del moto ricavata per sistemi isotermi vale anche per sistemi
non isotermi purchè si tenga conto che ρ e μ dipendono da T e P.
Dv
ρ
  p    τ   ρ g
Dt
La variazione di  è particolarmente importante in quanto determina le
forze di galleggiamento e il meccanismo della convezione naturale



 (T )   
T  T  ...
T T
densità espressa mediante
espansione in serie di Taylor
T  T di riferimento (T media)
Se le variazioni di T e di densità sono modeste la serie di Taylor si può fermare al
primo termine


(T)   
TT
T T

Approssimazione di Boussinesq
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Convezione naturale
Coefficiente di espansione termica
Si introduce  = coefficiente di espansione termica [1/K]
1   
   
  T  P
1   
 T    
  T P T
quindi


(T)   
TT
T T


 (T )      T  T

L’equazione del moto diventa



Dv
ρ
  p  ρg    τ   ρg T  T
Dt

 

 g T  T    (T) g

Eq. di Boussinesq
= forza di galleggiamento
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Convezione naturale
Equazione del moto sistemi non isotermi



Dv
ρ
  p  ρg    τ   ρg T  T
Dt

Eq. di Boussinesq
E’ particolarmente utile sia per lo studio di convezione forzata che
naturale
Convezione forzata si trascura il
termine delle forze di
galleggiamento
Si può assumere in molti casi



Dv
ρ
  p  ρg    τ 
Dt
ρ
anche nel termine inerziale

Dv
ρ
  p  ρg    τ 
Dt
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Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia
Equazione del moto: convezione naturale
Se tutto il sistema fosse alla T media e fosse in quiete la eq. del moto
sarebbe quella della idrostatica
p  ρ g
ρ  ρ T ,P
Se il moto è lento questa stessa eq. si può considerare valida anche in
presenza di gradienti di T
  ρ  ρ T, P
Inoltre, per moti lenti si può assumere nel
termine inerziale a sinistra dell’equazione
del moto
Quindi l’eq. di Boussinesq
diventa



Dv
ρ
  p  ρg    τ   ρg T  T
Dt

Dv
ρ
   τ   ρg T  T
Dt

18

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia
Equazione del moto sistemi non isotermi fluidi
newtoniani





Dv
ρ
   p  ρ g  m 2 v  ρ g  T  T
Dt
Dv
ρ
   p  ρ g  m 2 v
Dt

Dv
2
ρ
 μ  v   g T  T
Dt
 Eq. di Boussinesq
Convezione forzata

Convezione naturale
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