(Curva di Gauss).

Unità 4
La curva gaussiana
Variabili standardizzate
1
L’espressione matematica della distribuzione gaussiana è data da

1
f (x) 
e
 2
( x   )2
2 2
   x  
Osservazione. Questa funzione densità
completamente definita dai parametri  e  .
probabilità
è
La curva corrispondente ha una forma a campana del tipo in
figura sotto ed è simmetrica rispetto al valore medio.
0,68
0,16 

 0,16
 
X
2
 Essendo la curva simmetrica rispetto al valore medio, è chiaro
che le aree sottese alla curva stessa fra – e  e fra  e +,
valgono entrambi 0,5. In altre parole c’è una probabilità pari al
50% che la variabile casuale X assuma un valore più basso o più
alto del valore medio.
 Il valore medio coincide quindi con la mediana.
 Il valore medio coincide anche con la moda.
 Valore medio, moda e mediana coincidono.
0,68
0,16 

 0,16
 
X
3
 Le ascisse  –  e  +  individuano i due punti (punti di
flesso) in cui la curva cambia la concavità.
 L’area sottesa alla curva nell’intervallo [ – ,  + ] è circa il
68% dell’area sottesa a tutta la curva (vale infatti 0,6827).
 A ciascuna delle due rimanenti code della curva corrisponde
perciò un’area pari a circa 0,16.
 L’area che sta sotto la curva nell’intervallo [–1,96, +1,96]
vale 0,95; c’è cioè una probabilità del 95% che un’osservazione
cada all’interno di questo intervallo.
 Tale probabilità sale al 99% se si considera l’intervallo
[–2,58, +2,58].
0,68
0,16 

 0,16
 
X
4
5
 In generale la probabilità che un’osservazione cada all’interno
di un generico intervallo [ – h,  + h ], con h arbitrario, può
essere facilmente dedotta da tabelle riportate nei principali
manuali di statistica.
 Il parametro  (valore medio) individua la posizione
occupata dalla curva nel piano. Infatti, tenendo costante  e
facendo variare , la curva trasla semplicemente lungo l’asse
delle ascisse, come è mostrato in figura sotto.



x

6
 Il parametro  (deviazione standard) dà invece informazioni
su come i valori sono più o meno dispersi attorno alla media.
 Ciò è evidente guardando la figura sotto che riporta tre
diverse curve gaussiane aventi lo stesso valore di , ma valori
differenti per . All’aumentare di  la curva diventa più piatta,
poiché i valori sono più dispersi attorno alla media.




X
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LA STANDARDIZZAZIONE
La standardizzazione è un procedimento che riconduce una
variabile aleatoria distribuita con media μ e deviazione standard
σ, ad una variabile aleatoria con distribuzione standard, ossia
con media zero e deviazione standard pari a 1.
È particolarmente utile nel caso della variabile casuale normale
per il calcolo della funzione densità di probabilità e dei percentili
con le tavole della gaussiana standard.
Infatti i valori della distribuzione normale sono tabulati per
media zero e varianza unitaria.
8





Z
Curva gaussiana standardizzata
Il procedimento prevede di sottrarre alla variabile aleatoria la sua
media e dividere il tutto per la deviazione standard, passando così
dalla variabile originaria X ad una nuova variabile Z (Z-score o
standard score):
Z
X 

9
Area sottesa alla curva di Gauss standardizzata nella coda a destra di Z
Area a
destra
di Z
10
Area sottesa alla curva
di Gauss standardizzata
a sinistra di Z
Area a
sinistra
di Z
11
Uso della tavola di probabilità gaussiana
Due sono gli usi della tavola di probabilità:

Definito un intervallo di valori per X, si vuole calcolare la
probabilità che un valore x cada al suo interno.

Definita una probabilità, si vuole calcolare l’intervallo dei valori X
che corrisponde a tale probabilità.
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Esercizio 1
Si consideri una popolazione con altezza distribuita in maniera
gaussiana con media (µ) pari a 172,5 cm e con deviazione standard
(σ) pari a 6,25 cm.
Qual è la probabilità di incontrare un individuo estratto da tale
popolazione di altezza superiore a cm 190?
Z = (190 – 172,5) / 6,25 = 2,8
Dalla tavola precedente risulta
P = 1 – 0,9974 = 0,0026
Quindi la probabilità di trovare un soggetto più alto di 190 cm è
inferiore a 0,3%.
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Esercizio 2
Qual è la probabilità di
incontrare un individuo estratto
dalla popolazione dell’esercizio
1 con un’altezza compresa tra
cm 165 e175?
Z1= (165 – 172,5) / 6,25 = -1,2
Z2= (175 – 172,5) / 6,25 = 0,4
P(Z1) = 0,115
P(Z2) = 0,345
P(165 ≤ X ≤ 175) =
= P(-1,2 ≤ Z ≤ 0,4) =
= 1- [0,115 + 0,345] = 0,54
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Esercizio 3
Qual è quel valore di altezza
che delimita il 5% superiore
della distribuzione?
P = 0,05  z = 1,645
z = (x-172,5)/6,25 = 1,645
↓
x = 172,5 + 6,25∙1,645 = 182,78
Circa il 5% della popolazione in
studio ha un’altezza superiore
di 182,78 cm.
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