Cenni di teoria ergodica
Enrico Scalas (DISTA Università del Piemonte Orientale)
www.econophysics.org
Riunione Ancona - 7-8 ottobre 2004
Riassunto
• Il teorema di Liouville
• Il teorema del ritorno di Poincaré
• Ergodicità
• Il teorema ergodico per i processi stocastici
• Discussione
Il teorema di Liouville I
(da V.I. Arnold, Metodi matematici della
meccanica classica, Editori Riuniti):
L’evoluzione temporale conserva il volume: per
ogni regione D dello spazio delle fasi si ha:
vol(gt D) = vol(D)
(si può dimostrare direttamente usando le
equazioni di Hamilton)
Il teorema di Liouville II
Il teorema del ritorno di Poincaré
(sempre dal libro di Arnold):
Sia g una trasformazione continua e biunivoca che
conservi il volume e che trasformi una regione
limitata D di uno spazio euclideo in se stessa:
g D = D.
Allora in ogni intorno U di un punto qualsiasi della
regione D esiste un punto x appartenente a U che
ritorna in U, cioè gn x appartiene a U per qualche
n>0.
(questo teorema è molto semplice da dimostrare: il
punto cruciale è che D è limitata)
Ergodicità
(da D. Ruelle, Caso e caos, Bollati Boringhieri, 1992):
Def: Diciamo strato di energia (energy shell) ME
l’insieme dei momenti p e delle coordinate q per cui si
ha H(p,q) = E.
Def: L’evoluzione temporale sullo stato di energia ME si
dice ergodica se dato J contenuto in ME e tale che
gt J = J, si ha necessariamente vol(J) = 0 o
vol(J) = vol(ME).
Se l’evoluzione temporale è ergodica e se consideriamo
un qualsiasi sottoinsieme A di ME e indichiamo con TA il
tempo che il sistema trascorre in A per 0< t <T durante
l’evoluzione temporale, si ha che il rapporto TA/T tende
al rapporto vol(A)/vol(ME) per T che tende ad infinito. In
altre parole, le medie temporali tendono alle medie di
insieme.
Il teorema ergodico per i processi stocastici I
(da B. Gnedenko, The theory of probability, MIR, 1976):
Nel 1931, Birkhoff dimostrò un teorema generale della
meccanica che aveva una notevole generalizzazione
probabilistica. Khinchin fu il primo ad accorgersene nel
1934. Il teorema è il seguente:
Se un processo stocastico continuo e stazionario S(t)
ha valor medio finito, allora con probabilità 1 esiste il
limite:
T
1
lim
S t dt
T T
o
Il teorema ergodico per i processi stocastici II
(da A Papoulis, Probabilità, variabili aleatorie e processi
srocastici, Bollati Boringhieri):
Se il limite della media temporale esiste, a che cosa
tende?
Se esiste il valor medio E(S(t)) = e la funzione di
autocorrelazione RSS() tende a zero per tendente a
infinito allora vale con probabilità 1:
T
1
lim
S t dt
T T
o
Esempio semplice
S(t) = C(t) + N, con C(t) successione di numeri
distribuiti uniformemente tra 0 e 1 e N variabile aleatoria
normale N(0,1) è stazionario, ma non ergodico;
infatti, il valor medio di insieme vale 1/2 (E(S(t)) =
E(C(t)) + E(N) = 1/2 + 0 = 1/2);
invece, il valor medio temporale vale 1/2 + N.
Discussione
From [email protected] Mon Nov 1 13:13:16 1993
Date: Mon, 1 Nov 1993 15:03:03 -0400 (EDT)
From: allin cottrell <[email protected]>Subject: Re: ergodicity
To: [email protected]
Jim Devine's question: Explain the terms 'ergodic' and 'non-ergodic' in terms of the errors
in econometric equations.
Answer: If the process under examination is non-ergodic, then econometric equations are
in error!
Explanation: In all econometric work, one is assuming that the time-series behavior of the
variables of interest gives us a handle on the nature of the statistical processes according to
which those variables are generated. For instance, one estimates C(t) = a + bY(t) + u(t), on the
assumption that the variance (across time) of the residual from this equation provides an
estimate of the variance of the distribution from which the error u(t) is drawn, each
period. This, as I understand it, is the assumption of ergodicity. But if aggregate consumption is
non-ergodic, the observed past values of the residual from an equation such as the above do not
tell us anything about the statistical process generating the consumption data in each period.
Comment: It seems to me that the claim that economic processes are non-ergodic borders
on nihilism. Paul Davidson likes to argue that non-ergodicity provides a foundation for a
Keynesian approach to the demand for money (liquidity preference being related to fundamental
uncertainty). But I think this line of argument is self-destructive. If the past really provides *no*
guide to the future, then what makes anyone think that holding money is preferable, from the
point of view of liquidity, to holding stocks of toothpaste or radioactive waste?
