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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Definizione di angolo
Un angolo è la parte di piano descritta da una semiretta a che ruota
attorno alla sua origine.
Inoltre, poiché la rotazione può avvenire in due modi diversi conveniamo
di considerare:
• angoli orientati positivamente se la rotazione avviene in verso antiorario
• angoli orientati negativamente se la rotazione avviene in verso orario
• dalla definizione precedente deriva che è possibile considerare angoli
maggiori di un angolo giro: basta continuare a far ruotare la semiretta
oltre tale angolo.
L’angolo α supera l’amgolo giro dell’angolo β.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Misure di angoli
Grado sessagesimale: novantesima parte dell’angolo retto.
Il grado non ha multipli, ma ha dei sottomultipli:
• il primo, corrispondente a
1
di grado
60
• il secondo, corrispondente a
1
60
di primo, cioè a
1
di grado.
3600
Con gli angoli si possono eseguire le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione
per un numero reale.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Misure di angoli
ESEMPIO
32°25¢48¢¢ +12°42¢36¢¢
Sommiamo gradi con gradi, primi con primi e secondi con secondi.
32° +12° = 44°
25¢ + 42¢ = 67¢
48¢¢ + 36¢¢ = 84¢¢
Il valore ottenuto per i secondi supera 60, cioè in esso è contenuto 1 primo, quindi:
aggiungiamo 1 ai primi ottenendo
44°68¢24¢¢
Anche il valore ottenuto per i primi supera 60, quindi in esso è contenuto 1 grado:
aggiungiamo 1 ai gradi ottenendo
La somma dei due angoli, in forma normale, è quindi:
45°8¢24¢¢
45°8¢24¢¢
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Misure di angoli
Un radiante è l’ampiezza di un angolo al quale corrisponde un arco AB la cui lunghezza
raggio r.
è uguale al
In questo modo, ad esempio, un angolo giro misura:
angolo giro
angolo piatto
angolo retto
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Misure di angoli
In generale, per passare dalla misura di un angolo in gradi a quella in radianti, e viceversa, si usa la
proporzione
x : misura nell’angolo in radianti
y : misura nell’angolo in gradi
ESEMPIO
se vogliamo sapere quanto misura in gradi l’angolo di
rispetto a y
radianti, basta risolvere la proporzione
oppure più semplicemente attribuire a π il suo valore in gradi:
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Circonferenza
goniometrica
Circonferenza goniometrica: circonferenza nel piano cartesiano con centro nell’origine degli assi e
raggio unitario.
In una circonferenza goniometrica ad un angolo orientato α, avente il
vertice nel centro O e il primo lato coincidente con il semiasse positivo
delle ascisse, possiamo associare un punto P appartenente alla
circonferenza stessa.
Se a due angoli α e β è associato
lo stesso punto P allora:
k indica il numero di giri che OP deve
compiere per ritornare su se stessa.
Si possono anche descrivere angoli negativi facendo compiere una
rotazione oraria a OP.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Definizione
Un angolo α, a meno di multipli di 360°, è completamente individuato se sono date le coordinate del
punto P sulla circonferenza.
Possiamo allora definire le seguenti funzioni goniometriche:
 seno dell’angolo α, e scriviamo sin α, l’ordinata del punto P: sin α = yP
 coseno dell’angolo α, e scriviamo cos α, l’ascissa del punto P: cos
α = xP
Tracciando la semiretta tangente in A alla circonferenza
goniometica e indicando con Q la sua intersezione con la
semiretta OP, chiamiamo:
 tangente dell’angolo α, e scriviamo tan α, l’ordinata
del punto Q: tan α = yQ
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Caratteristiche
 la funzione seno e la funzione coseno hanno periodo 360°, cioè:
k ÎZ
 la funzione tangente è periodica di periodo 180°, cioè:
k ÎZ
Al reciproco della funzione tangente viene dato il nome di cotangente, cioè:
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Grafici delle funzioni
goniometriche
y = sin x
 Insieme di definizione: R
 −1 ≤ y ≤ 1
 Periodo: 360° (2π)
 Passa per i punti:
x
0°
π
2
π
3
π
2
2π
y
0
1
0
−1
0
Il grafico della funzione
seno è simmetrico
rispetto all’origine
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Grafici delle funzioni
goniometriche
y = cos x
 Insieme di definizione: R
 −1 ≤ y ≤ 1
 Periodo: 360° (2π)
 Passa per i punti:
x
0°
π
2
π
3
π
2
2π
y
1
0
−1
0
1
Il grafico della funzione
coseno è simmetrico
rispetto all’asse y
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Grafici delle funzioni
goniometriche
y = tan x
 Insieme di definizione: la tangente non è definita in
 Periodo: 180° (π)
π
2
 Gli angoli compresi tra − π
2
quando x si avvicina a − π
2
 Gli angoli compresi tra 0 e
hanno la tangente positiva che cresce molto rapidamente al crescere di x
e 0 hanno la tangente negativa che diminuisce molto rapidamente
Il grafico della funzione
tangente è simmetrico
rispetto all’origine
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Relazioni fondamentali
Tra le funzioni che abbiamo definito esistono delle relazioni:
• Prima relazione fondamentale della goniometria
Deriva dal teorema di Pitagora
applicato al triangolo OHP nella
circonferenza goniometrica.
• Seconda relazione fondamentale della goniometria
Deriva dalla similitudine dei
triangoli OHP e OKQ nella
circonferenza goniometrica.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Relazioni fondamentali
Dalle due relazioni fondamentali si possono ricavare le formule che permettono di calcolare le
funzioni goniometriche di un angolo a partire dal valore di una di esse.
sin α
sin α
cos α
tan α
cos α
tan α
sin α
cos α
tan α
Il segno ± viene attribuito in funzione del quadrante in cui cade la semiretta OP che definisce l’angolo
α.
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Valori delle
funzioni goniometriche
Con considerazioni di carattere geometrico si possono ricavare i valori delle funzioni goniometriche di
alcuni angoli particolari.
x (in gradi)
30°
45°
60°
x (in radianti)
sin x
cos x
1
2
3
2
tan x
3
3
2
2
2
2
1
3
2
1
2
3
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I triangoli rettangoli
Risolvere un triangolo significa trovare le lunghezze di tutti i suoi lati e le misure di tutti i suoi angoli.
Per il triangolo rettangolo valgono i seguenti due teoremi.
Primo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è
uguale:
al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto
(al cateto che si deve trovare),
oppure
al prodotto della misura dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo
adiacente (al cateto che si deve trovare).
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
I triangoli rettangoli
Secondo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di ciascun
cateto è uguale:
al prodotto della misura dell’altro cateto per la tangente dell’angolo
opposto (al cateto che si deve trovare),
al prodotto della misura dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo
adiacente (al cateto che si deve trovare).
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
I triangoli rettangoli
ESEMPIO
Di un triangolo rettangolo sono note le misure in cm di due cateti: b = 12,4,
c = 9,6. Vogliamo risolvere il triangolo e determinare la misura dell’altezza
relativa all’ipotenusa.
Con il teorema di Pitagora possiamo subito determinare la misura
dell’ipotenusa:
a = b2 + c 2 = 12,42 + 9,62 » 15,68
Dalle relazioni della slide
precedente ricaviamo che:
Possiamo ora calcolare
Per trovare l’altezza relativa all’ipotenusa, basta applicare il primo teorema ad uno dei triangoli
rettangoli indicati in figura; relativamente al triangolo arancio, dove c rappresenta la misura
dell’ipotenusa, si ha che:
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Area di un poligono
I teoremi sui triangoli rettangoli permettono di risolvere il problema del calcolo dell’area di un poligono.
Il calcolo dell’area di un poligono può sempre essere ricondotto al
calcolo dell’area di un triangolo, per esempio tracciando le diagonali
uscenti da un vertice.
La misura dell’area di un triangolo è data dal semiprodotto delle misure
di due suoi lati per il seno dell’angolo fra essi compreso.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Triangoli qualsiasi
Teorema della corda. In ogni circonferenza, ciascuna corda è uguale
al prodotto del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla
circonferenza che insistono sulla corda.
Applicando il teorema della corda a un triangolo qualsiasi:
Uguagliando i rapporti otteniamo:
Teorema dei seni. In ogni triangolo i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Triangoli qualsiasi
Teorema di Carnot. In ogni triangolo, il quadrato della misura di
un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri
due lati, diminuita del loro doppio prodotto moltiplicato per il
coseno dell’angolo fra essi compreso.
Questo teorema è anche noto come teorema del coseno.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Triangoli qualsiasi
ESEMPIO
L’applicazione del teorema dei seni e del teorema di Carnot permette di risolvere qualunque triangolo.
Risolviamo il triangolo sapendo che
Calcoliamo β = 180° − (60° + 45°) = 75°
Usiamo poi il teorema dei seni per calcolare le misure degli altri due lati a e c:
15
a
=
sin 75° sin 60°
15 sin 60°
a=
= 13,45
sin 75°
15
c
=
sin 75° sin 45°
c=
15 sin 45°
= 10,98
sin 75°
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Scalari e vettori
In fisica si lavora con due tipi di grandezze: le grandezze scalari e le grandezze vettoriali.
Le grandezze scalari sono quelle grandezze che sono individuate in modo completo da un numero, il
quale esprime la misura della grandezza rispetto all’unità prefissata.
Esempi:
• Il tempo (si misura in secondi con i suoi multipli)
• La massa (si misura in chilogrammi con i suoi multipli e sottomultipli)
• L’angolo (si misura in gradi oppure in radianti)
Le operazioni tra grandezze scalari si svolgono come le operazioni tra numeri.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Scalari e vettori
Altre grandezze fisiche, per poter essere descritte, necessitano di maggiori informazioni.
Esempio: se dobbiamo indicare uno spostamento, non basta dire “Mi sono spostato di tre metri”,
dobbiamo anche indicare in quale direzione e verso ci siamo mossi.
Queste grandezze si definiscono vettoriali.
Le grandezze vettoriali sono quelle grandezze che sono individuate da tre caratteristiche:
una direzione, che indica la retta lungo cui agisce la grandezza
un verso, determinato dal senso di percorrenza della retta che rappresenta la direzione
un’intensità o modulo , che è il valore numerico che esprime la misura della grandezza rispetto a
una certa unità.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
I vettori
Per rappresentare una grandezza vettoriale si usa un vettore.
Un vettore si rappresenta mediante un segmento orientato e si indica di solito con una lettera
maiuscola cui viene sovrapposta una freccia.
v
s
a
Il modulo di un vettore si indica con la stessa lettera senza la freccia:
v
s
a
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
I vettori
Vettore nullo: vettore in cui il segmento orientato ha gli estremi coincidenti. Il vettore nullo si indica
con il simbolo:
0
Vettori opposti: vettori con la stessa direzione, stesso modulo ma versi opposti.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Operazioni con i vettori
L’addizione
Dati due vettori a e b, si definisce loro somma il vettore c che si ottiene che la seguente regola:
si dispongono i due vettori in modo che b sia consecutivo ad a
si considera il vettore c che ha come origine l’origine di a e come secondo estremo il secondo
estremo di b
Di c si dice che è il vettore risultante dalla somma di a + b.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Operazioni con i vettori
La sottrazione
Dati due vettori a e b, si definisce loro differenza il vettore c che si ottiene sommando a con l’opposto
di b.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Operazioni con i vettori
Le definizioni date di somma e differenza di due vettori a e b, che costituiscono anche un
procedimento per determinarle, equivalgono a quella che solitamente viene indicata come “regola del
parallelogramma”.
Disegnati due vettori in modo che le loro origini coincidano in un punto O, si costruisce il
parallelogramma che ha per lati i due vettori: la loro somma è la diagonale uscente da O, la loro
differenza è l’altra diagonale (orientata dal secondo verso il primo termine della sottrazione).
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Operazioni con i vettori
La moltiplicazione per uno scalare
Consideriamo un vettore a e un numero reale k non nullo (uno scalare); si dice prodotto di a per k,
e si indica con k  a, il vettore che ha
 la stessa direzione di a
 lo stesso verso di a se è k > 0, verso opposto ad a se è k < 0
 modulo che si ottiene moltiplicando il modulo di a per il valore assoluto di k.
Se è k = 0 il prodotto k  a è il vettore nullo.
ESEMPI
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Scomposizione
di un vettore
Ogni vettore può essere visto come la risultante di altri due vettori di
cui sono note le direzioni.
Problema: scomporre il vettore v lungo le direzioni r e s
Applichiamo in senso inverso la regola del parallelogramma:
• tracciamo dal secondo estremo del vettore v le parallele alle
direzioni r ed s
• individuati gli altri due vertici del parallelogramma,
tracciamo i vettori r e s uscenti da O
r e s sono le componenti del vettore v lungo le direzioni prescelte.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Scomposizione
di un vettore
Possiamo sempre rappresentare un vettore v nel piano cartesiano
con un segmento che abbia origine nell’origine O degli assi cartesiani.
In questo modo v può essere scomposto nei due vettori
coordinati:
vx
e
v y che hanno come direzioni gli assi
v = vx + vy
(per i teoremi sui triangoli rettangoli)
Inoltre:
e
2
v = vx + vy
2
(per il teorema di Pitagora)
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Scomposizione
di un vettore
ESEMPIO
Se il vettore v ha modulo 10 e forma un angolo di 60° con la direzione positiva dell’asse x, le sue
componenti sono:
v x = 10 cos 60° = 10 ×
1
=5
2
v y = 10 sin 60° = 10 ×
3
=5 3
2
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Operazioni con i vettori
nel piano cartesiano
Nel caso in cui i vettori siano dati mediante le loro componenti lungo
gli assi cartesiani:
• il vettore somma ha per somma la somma delle
componenti dei vettori addendi
v = r + s = ( rx + sx , ry + sy )
• il vettore differenza ha per componenti la differenza delle
componenti dei due vettori dati
v = r - s = ( rx - sx , ry - sy )
• il vettore prodotto con uno scalare k Î R ha per componenti
il prodotto delle componenti del vettore per k
v = kr = ( krx , kry )
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Prodotto tra vettori
In fisica si introducono due particolari tipi di prodotto tra vettori.
Il prodotto scalare tra due vettori a e b (si indica con il simbolo a  b ) è
uno scalare (quindi un numero) che, indicato con α l’angolo formato dai
due vettori, si definisce in questo modo
ESEMPIO
Se il modulo di a è 4 e il modulo di b è 6 e i due vettori formano un angolo α di 45°, allora:
a × b = 4 × 6 × cos 45° = 24 ×
2
= 12 2
2
In fisica il prodotto scalare viene utilizzato ad esempio per calcolare il lavoro compiuto da una forza.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Prodotto tra vettori
Dati due vettori a e b e indicato con α l’angolo da essi formato, il loro prodotto vettoriale si indica con il
simbolo a x b; esso è un vettore c che ha:
• modulo dato dall’espressione c = ab sin
α
• direzione perpendicolare al piano definito dai due vettori a e b
• verso stabilito dalla regola della mano destra.
In base a questa regola il verso del vettore risultante si calcola usando le dita della mano destra:
• si punta il pollice nella direzione del primo vettore (il vettore a )
• si puntano le altre dita nella direzione del secondo vettore (vettore b )
• il verso del vettore c è uscente dal palmo della mano.
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Geometria, trigonometria e le applicazioni in Fisica
Prodotto tra vettori
ESEMPIO
Vogliamo calcolare il prodotto vettoriale
c = a× b
con a e b appartenenti al piano della slide e a = 8 e b = 12
3
c = 8 ×12 × sin 60° = 96 ×
= 48 3
2
Direzione: perpendicolare al piano della slide
Verso: entrante nella pagina (il pollice nella direzione di a, le altre dita nella direzione di b, la mano è
rivolta con il palmo appoggiato al piano).
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