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Capitolo 11
Probabilità
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Fenomeni deterministici e fenomeni casuali.
• Sistema meccanico deterministico: moto rettilineo uniforme
(Velocità costante: 10m/s)
– Dopo 1s: percorsi 10m,
– Dopo 2s: percorsi 20m,
–...
Siamo quindi in grado di predire esattamente il suo moto.
• Sistema non deterministico (casuale): immaginiamo di lanciare un dado a sei
facce senza mai averne visto uno, né averne sentito parlare.
– Al primo lancio: esce 4,
– Al secondo lancio: esce 2,
– Al terzo lancio: esce 1,
–...
Il risultato non è prevedibile prima del lancio stesso.
⇒ Un solo lancio non porta a ipotizzare il concetto di casualità;
ma
– quando mi accorgo che il dado può dare diversi risultati ;
– quando mi accorgo che questi risultati non sono prevedibili ;
⇒ Si tratta di un fenomeno la cui realizzazione è condizionata dal caso.
⇒ La casualità è quindi legata a fenomeni che ammettono più di un esito.
Un fenomeno casuale, o aleatorio, è un fenomeno osservabile ma non
prevedibile.
Matematica
I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
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Dado e casualità
• L’unica certezza che abbiamo è che il punteggio che
otteniamo in ogni lancio è compreso tra 1 e 6.
Spazio ambiente S.
• L’esperienza ci suggerisce che non c’è nesso tra l’esito di
un lancio e i successivi.
Indipendenza dei risultati di lanci consecutivi.
• L’esperienza ci suggerisce che a ogni lancio ci aspettiamo
che possa uscire indifferentemente una qualsiasi delle sei
facce.
Legge della “casualità” di ogni singolo lancio.
Come vedremo questo non significa che non siamo in grado di
dire nulla sull’esito del lancio, ad esempio l’esperienza
quotidiana ci insegna che su dieci lanci consecutivi ottenere
per dieci volte lo stesso punteggio sia un evento in qualche
modo eccezionale, almeno psicologicamente.
Scopo di questo capitolo è imparare a trattare analiticamente
queste
perProbabilità
ricavarne
delle leggi che “regolano
Matematica
I: Calcolo informazioni
differenziale, Algebra lineare,
e
statistica
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Spazio Ambiente S
• Prendiamo un dado e indichiamo con
S = {f1, f2, f3, f4, f5, f6}
l’insieme costituito dalle sue 6 facce.
• S contiene tutti i possibili esiti del fenomeno ed è detto
spazio
ambiente.
• I suoi elementi saranno detti eventi elementari.
• In tutto abbiamo 26 = 64 sottoinsiemi di S tra cui
 unico sottoinsieme senza elementi
{f1}, {f4} sottoinsiemi con un solo elemento
{f1, f2}, {f3, f5} sottoinsiemi con due elementi
...
...
• Ogni possibile sottoinsieme di S sarà chiamato evento.
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Operazioni tra eventi
Indichiamo con A e B gli eventi
A = {f2, f4, f6}
(ho un risultato pari)
B = {f1, f2, f3}
(ho un risultato più piccolo di 4)
Indicheremo con AB l’intersezione e con A + B l’unione.
• intersezione di due eventi: entrambi gli eventi accadano,
AB = {f2, f4, f6} ∩ {f1, f2, f3} = {f2},
avere un risultato pari più piccolo di 4.
• unione di due eventi corrisponde al fatto che almeno uno
degli
eventi accada,
A + B = {f2, f4, f6} ∪ {f1, f2, f3} = {f1, f2, f3, f4, f6}.
• Il complementare di un evento corrisponde al fatto che
quell’evento non accada,
A = {f2, f4, f6} = {f1, f3, f5},
ossia se non esce un numero pari.
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Insiemi mutuamente esclusivi (partizioni)
• Due insiemi A e B si dicono mutuamente esclusivi se hanno
intersezione vuota, ossia se AB = .
• Più insiemi (A1,A2, . . . , An) sono mutuamente esclusivi se lo
sono a due a due in tutti i modi possibili AiAj = , ∀i  j.
• Tre o più insiemi possono avere intersezione nulla ma non
essere
mutuamente esclusivi.
Definizione di partizione dello spazio ambiente S. Chiamiamo
partizione dello spazio ambiente S una classe di
sottoinsiemi (eventi) mutuamente esclusivi la cui unione è
l’insieme S. Quindi, A1, . . . An, . . .sono una partizione di S
se valgono le seguenti due proprietà:
• Gli insiemi sono mutuamente esclusivi,
∀ i  j, AiAj = .
L’unione degli insiemi è tutto S, ossia
A1 + lineare,
A2 +Probabilità
. . . +eAn + . . . = S.
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statistica
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“... la probabilità è il grado di fiducia in una scala tra 0 e 1 con
cui un evento occorre. Per convenzione, un evento
“impossibile”
ha probabilità 0, mentre un evento “certo” ha probabilità
1...”J.Bernoulli
Assiomi della probabilità
Sia S un insieme e A la classe di eventi. La probabilità è una
funzione
P :A→R+ ∪ 0
che associa a ogni evento A ∈ A un numero P(A). Questa
funzione
deve soddisfare le seguenti proprietà:
1. per ogni evento A, P(A) ≥ 0;
2. P(S) = 1;
3. se AB = , allora P(A + B) = P(A) + P(B).
Osservazione: la probabilità in uno spazio infinito non viene
definita su ogni sottoinsieme di S, ma solamente su ogni
evento della famiglia A. Quindi, ogni volta che scriveremo
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P(A), dovremo
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statistica
Conseguenze degli assiomi della probabilità
Dagli assiomi della probabilità discendono le seguenti relazioni
• P() = 0.
• Per ogni evento A, P(A) = 1 - P(A).
• Per ogni coppia A e B di eventi, P(A) = P(AB) + P(AB).
• Se A è un evento e B1,B2, . . . , Bn sono eventi che formano
una partizione di S,
• P(A) = P(AB1) + P(AB2) + · · · + P(ABn).
• Per ogni coppia A e B di eventi, P(A + B) = P(A) + P(B) .
P(AB).
• Per ogni coppia A e B di eventi, P(A + B) ≤ P(A) + P(B).
• Se B ⊆ A, allora P(B) ≤ P(A).
Esempio: il modo più intuitivo di introdurre la probabilità di un
evento si basa sul rapporto tra il numero dei casi favorevoli
e il numero dei casi possibili. Si pensi alla situazione del
lancio di una moneta.
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Fenomeni casuali
Sesso del nascituro. Luisa aspetta un bambino. Indichiamo con X il sesso
del nascituro. X può assumere i valori M (maschio) e F (femmina) con
probabilità 1/2.
• I risultati possibili sono 2.
• I valori che X può assumere sono M e F, quindi S = {x1, x2}, con
x1 = M e x2 = F.
• Ipotizzando che la probabilità che X assuma il valore M o F sia 1/2,
abbiamo
p1 = 1/2, p2 = 1/2.
Dado equilibrato. Prendiamo un dado non truccato e indichiamo con X il
risultato di un lancio.
• I risultati possibili sono 6.
• I valori che il dado può assumere sono i numeri interi tra 1 e 6 e quindi S
= {x1, x2, x3, x4, x5, x6}, dove x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6.
• La probabilità che X assuma ogni valore intero tra 1 e 6 è 1/6 e quindi
p1 = 1/6, p2 = 1/6, p3 = 1/6, p4 = 1/6, p5 = 1/6, p6 = 1/6.
La probabilità quindi si “distribuisce” sui possibili risultati.
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Variabile aleatoria o casuale
Definizione. Dato uno spazio di probabilità (S,A, P) si chiama
variabile aleatoria un’applicazione
X:S→R
tale che per ogni x ∈ R, l’insieme {s ∈ S : X(s) ≤ x} sia in A.
Perché questa definizione? Dire che X è una variabile
aleatoria significa che è possibile calcolare
P({s ∈ S : X(s) ∈ I})
(infatti si può calcolare la probabilità solo sugli eventi).
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V.a. (caso discreto)
• Sono quei fenomeni che hanno un numero finito o
numerabile di risultati. I risultati di una variabile aleatoria
discreta X formano l’insieme dei possibili valori assunti
R = {x1, x2, . . . , xN, . . .}.
Gli eventi sono tutti gli insiemi del tipo
A = {X ∈ I},
dove I è un qualunque sottoinsieme dell’insieme dei possibili
risultati R.
• Diremo che è assegnata la legge della variabile aleatoria
discreta
X se è assegnato l’insieme dei possibili valori assunti R, e la
probabilità con cui X assume ciascun valore
dove pX
è
la probabilità che X assuma il valore xk.
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V.a. (caso continuo)
• Sono quei fenomeni che possono assumere tutti i possibili
valori di un intervallo reale
• Nel caso continuo tutti i risultati x di un intervallo
R = {x ∈ R : a < x < b} = (a, b)
sono possibili (anche se non “equiprobabili”). Sono ammessi
intervalli del tipo R = (-∞, b), R = (a,+∞) oppure R = R.
• Gli eventi legati a una variabile aleatoria continua sono tutti
gli insiemi del tipo
A = {X ∈ I},
• La numerosità dei possibili risultati ci costringe a parlare di
densità di probabilità al posto di probabilità di ogni singolo
risultato (che è nulla).
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Esempio: estrazione da un’urna.
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Riassunto
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Esempio: legge dei grandi numeri e dado a 6 facce
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