Capitolo 4
Grafici di funzioni
e approssimazioni
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
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Derivate di ordine superiore
Analizziamo il limite del seguente rapporto incrementale
Nel caso in cui tale limite esiste si chiama derivata seconda di
f in x0 e si indica con f(x0) o con uno sei seguenti simboli
Il processo potrebbe continuare per n volte portando alla
definizione della derivata n-esima di f
Si dice anche che f(n) è la derivata di ordine n di f, per
convenzione f(0) = f.
f → f → f → ...
Esempio:
f(x) = sin x + x2 → f(x) = cos x + 2x → f(x) = -sin x + 2 ...
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Derivata seconda e convessità
Teorema 4.1 Sia f : (a, b) → R, f derivabile due
volte in (a, b), allora f è convessa (concava)
se e solo se f(x) ≥ 0 (f(x) ≤ 0) per ogni x in
(a, b).
Che cosa succede se cambia concavità?
Definizione 4.1 (Punto di .esso) Sia f : (a, b)
→ R,
x0 ∈ (a, b) un punto in cui esiste la derivata
(finita o meno). Il punto x0 si dice di flesso se
esiste un intorno destro di x0 in cui f è
convessa (concava) e un intorno sinistro di x0
in cui f è concava (convessa).
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Test della derivata seconda
Teorema 4.2 Sia f : (a, b) → R, una funzione
derivabile due volte in (a, b), x0 ∈ (a, b) punto
stazionario, f(x0) = 0,
i) se f(x0) > 0, allora f ha un minimo locale in x0;
ii) se f(x0) < 0, allora f ha un massimo locale in x0.
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Uno strumento di calcolo
Teorema 4.3 (Regola di De l’Hôpital)
Siano -∞ ≤ a < b ≤ +∞ e f, g : (a, b) → R
due funzioni tali che
i)
ii) f, g derivabili in (a, b), g’(x) 0 per x ∈ (a,
b);
iii) esiste il limite (finito o infinito)
allora esiste anche il limite
Quando si usa: forme indeterminate
Attenzione agli abusi
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Grafico di una funzione
Andar per punti ... non basta
Che cosa ci interessa?
• Informazioni locali (nel senso di intorni,
anche di ±∞);
• informazioni globali (l’intero grafico).
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Informazioni globali
Facciamo una scaletta (solo indicativa:
non siamo troppo “rigidi”.
• Dominio
• Intersezioni
• Simmetrie
• Asintoti
• Intervalli di monotonia
• Massimi e minimi locali
• Concavità e punti di flesso
• Disegno del grafico qualitativo di f
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Esempio.
Studiamo il grafico della funzione
Non si specifica il dominio, il più grande dominio dove
l’espressione di f(x) abbia senso è
dom(f) = (-∞,-1) ∪ (-1, 1) ∪ (1,+∞).
L’equazione f(x) = 0 ha un unica soluzione x = 0 che fornisce
l’unica intersezione con gli assi coordinati.
La funzione risulta essere dispari f(x) = -f(-x).
I limiti interessanti (per punti di accumulazione estremi di
intervalli contenuti nel dominio)
Segue…
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• La retta di equazione y = 0 è un asintoto
orizzontale, mentre la retta di equazione x
= 1 e la retta di equazione x = -1 sono
asintoti verticali.
• A questo punto sarebbe possibile un
primo schizzo del grafico ...
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• Calcoliamo la derivata prima
Il denominatore è sempre positivo mentre il numeratore è
sempre negativo. La derivata prima è sempre strettamente
negativa:
le restrizioni della f in ogni intervallo componente il
dominio sono strettamente decrescenti.
Attenzione: parliamo di restrizioni non dell’intera funzione.
Non vi sono punti stazionari.
• Calcoliamo la derivata seconda
….
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Lo studio del segno della derivata seconda `e riassunto
nella seguente tabella
La funzione risulta essere concava negli intervalli (-∞,1) e (0, 1) (separatamente) e convessa negli intervalli
(-1, 0) e (1,+∞) (separatamente). Il punto x = 0
risulta essere un punto di flesso.
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Da tutte le informazioni raccolte deduciamo il
grafico qualitativo della funzione f.
Provare con le
funzioni analizzate
nel testo
(prima provare poi confrontare ...)
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Approssimazioni locali: polinomio di Taylor
Idea: sostituire localmente ad una funzione
complicata f una sua approssimazione “semplice”
(per esempio polinomiale)
Esempio: tra tutte le retti passanti per il punto (x0,
f(x0)) del grafico di una funzione f, la retta tangente
rappresenta l’approssimazione migliore della curva
f(x) vicino al punto x0. Questo ovviamente vale per
le funzioni derivabili.
Vogliamo approssimazioni migliori con polinomi di
grado più elevato.
Per esempio: tra tutte le parabole quale approssima
meglio localmente?
Fatto essenziale: la regolarità della funzione f (in
relazione al grado del polinomio).
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Il polinomio migliore dovrà condividere localmente
alcune proprietà (geometriche) della funzione f.
Teorema 4.4 (Teorema di Taylor) Sia f : (a, b) → R una
funzione derivabile n volte in x0 ∈ (a, b), allora esiste
ed è unico il polinomio Tn(x) di grado ≤ n tale che
f(k)(x0) = T(k) n (x0), k= 0, ..., n.
Se inoltre f è derivabile n+1 volte in (a, b), escluso al più
il punto x0, per ogni x ∈ (a, b) esiste un c compreso
tra x0 e x tale che
(resto di Lagrange).
Nota: nel caso in cui x0 si parla di polinomio di Mac
Laurin.
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Applicazioni: valutazione numerica di
funzioni, forme indeterminate, metodi
numerici, ...
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