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Capitolo 5
Integrali, aree,
primitive
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Alcuni esempi
Derivate e calcolo di aree hanno insospettabili connessioni.
Definizione 5.1 (Funzione primitiva) Sia f : I → R, I intervallo. Una funzione F : I
→ R derivabile si dice primitiva di f in I se
F(x) = f(x) ∀x ∈ I.
Problema: come calcolare una primitiva? Dobbiamo “invertire” la tabella delle
derivate.
Calcolo di aree. Calcolo dell’area della regione delimitata da varie curve.
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Idea per il calcolo dell’area
Un metodo ragionevole per procedere potrebbe consistere nell’approssimare l’area
con l’area di regioni più “semplici”e poi effettuare una operazione di limite. Per
esempio dividiamo l’intervallo [a, b] in N sottointervalli per mezzo della suddivisione
a = x0 < x1 < ... < xN = b.
Indichiamo con Dxi la lunghezza dell’i-esimo sottointervallo [xi-1, xi].
Sopra ogni sottointervallo [xi-1, xi] “costruiamo”
un rettangolo con base il sottointervallo e altezza
di lunghezza f(xi). L’area di questo rettangolo
è f(xi) × Dxi. La somma di tutte le aree è
SN = f(xi)Dxi + ... + f(xN)DxN.
Possiamo supporre che SN sia un’approssimazione
dell’area della regione R sottesa dal grafico
della funzione f. Al crescere di N, e contemporaneamente
con la riduzione Dxi → 0, possiamo definire
area(R) = lim SN, per N → +∞, maxDxi → 0.
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Integrale secondo Riemann
Consideriamo una funzione limitata e definita nell’intervallo chiuso e limitato
[a, b],
f : [a, b] → R, ∃k ≥0 tale che |f(x)| ≤ k ∀x ∈ [a, b].
Una partizione P dell’intervallo [a, b] un insieme ordinato e finito di punti P
= {x0, ..., xN}, dove
x0 = a < x1 < ... < xN-1 < xN = b.
Una partizione P produce una suddivisione dell’intervallo [a, b] in N
sottointervalli
[a, x1], [x1, x2], ..., [xN-1, xN].
Indichiamo con Dxi la lunghezza dell’i-esimo intervallo della partizione,
Dxi = xi . xi-1.
Dato che la funzione f limitata, gli insiemi
Si = {f(x), x∈ (xi-1, xi)}
sono non vuoti e limitati, quindi esistono sia l’estremo inferiore mi che
l’estremo superiore Mi.
Le somme di Riemann superiore ed inferiore di f corrispondenti alla
partizione P sono definite dalle relazioni
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Integrale secondo Riemann
Osserviamo che, posto m = inf im(f) e M = supim(f), risulta
m(b - a) ≤ s(f,P) ≤ S(f,P) ≤ M(b - a),
quindi esiste l’estremo inferiore e superiore dell’insieme
{s(f,P), P partizione di [a, b]},
e dell’insieme
{S(f,P), P partizione di [a, b]}.
e possono verificarsi due casi,
• sups < inf S, oppure
• sup s = inf S.
Nel secondo caso la f risulta integrabile.
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Definizione 5.2 (Funzione integrabile) Una funzione f : [a, b] → R limitata
si dice integrabile (secondo Riemann) su [a, b] se supP(s) = infP(S). Il
valore comune di questi due estremi si chiama integrale (di Riemann) di
f in [a, b] e sar denotato con uno dei simboli
dove I = [a, b] il dominio di integrazione e f = f(x) la funzione integranda.
Problemi e necessità.
• Condizioni di integrabilità.
• Calcolo degli integrali
Condizioni di integrabilità
Consideriamo f : [a, b] → R,
• se f è limitata e monotona allora f è integrabile.
• Se f è continua allora f è integrabile.
Nota. La sola limitatezza non basta.
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Proprietà dell’integrale
f localmente integrabile: integrabile in ogni intervallo chiuso e
limitato
incluso nel dominio.
Definizione 5.3 Sia f : I → R, I intervallo, f localmente
integrabile, a, b ∈ I. L’integrale da a a b di f il numero reale
definito come segue
I due numeri a e b vengono detti primo e, rispettivamente,
secondo estremo di integrazione.
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Valor medio
Definizione 5.4 (Valor medio integrale) Sia f : [a, b] → R
integrabile, si chiama valor medio di f nell’intervallo [a, b] la
quantità
Dalla proprietà iv) degli integrali si deduce che il valor medio
integrale
di f compreso tra il suo sup e il suo inf
Se f anche continua, assume tutti i valori tra l’estremo inferiore
e l’estremo superiore della sua immagine.
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Nota. Per il punto ii) del Teorema del valor medio la continuità è
essenziale.
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Relazioni tra integrazione e derivazione
Sia f una funzione localmente integrabile in un
intervallo I, sia a ∈ I, possiamo considerare la
funzione integrale
Osservazione. La funzione F è una funzione continua se f è
integrabile.
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Risultati fondamentali
Teorema 5.3 (Primo teorema fondamentale del calcolo
integrale)
Sia f una funzione localmente integrabile in un intervallo I e a
∈ I,
sia F la funzione integrale
Sia inoltre x0 un punto interno a I, se f è continua in x0 allora
esiste F(x0) e si ha F(x0) = f(x0).
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Risultati fondamentali
Teorema 5.4 (Secondo teorema fondamentale del calcolo
integrale)
Sia I un intervallo, f : I → R una funzione continua e derivabile
con funzione derivata f continua nell’intervallo I; sia a ∈ I,
allora
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Integrali indefiniti
Definizione 5.5 (Integrale indefinito) Sia f : I → R, I intervallo,
f continua in I. L’insieme delle primitive di f si chiama integrale indefinito di f
e si denota con il simbolo
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Calcolo di primitive
Nella Tabella che segue si riportano
alcuni integrali indefiniti (il simbolo C
sta ad indicare una costante reale generica).
La primitiva si può trovare leggendo
la tabella delle derivate “al contrario”,
in tal senso si dice che “l’integrazione
l’operazione inversa della derivazione”.
Affermazione impropria ma suggestiva.
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Integrazione per sostituzione
Idea: sostituire un integrale complicato con uno più “semplice”. Questo
viene fatto sostituendo al posto di x una funzione di x. Formula
Nota. Dal punto di vista del calcolo facilita scrivere la sostituzione nel
seguente modo (che produce un risultato corretto anche se formalmente
impreciso): si individua la sostituzione u = g(x), avvalendosi della forma
du/dx = g(x) si scrive du = g(x)dx, quindi se F = f.
Esempio. consideriamo l’integrale indefinito
Se si pone u = cosx, formalmente du = -sin xdx e potendo “operare con dx
e du dopo il segno di integrale”,
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Integrazione per parti
Idea: utilizzare la regola della derivata del prodotto (fg) = fg+fg. Formula,
Nota. l’applicazione della regola non “meccanica”e non sempre porta a una
semplificazione del problema.
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