IL BELLO DELLA GEOMETRIA
Renato Betti – Politecnico di Milano
IL BELLO DELLA GEOMETRIA
quando egli fissava i cieli, io ero là;
quando tracciava un cerchio sull'abisso;
(Proverbi 8, 27)
Renato Betti – Politecnico di Milano
Il bello della geometria – Roma, 30 0ttobre 2009
4
4
In R3: r
………
In Rn: r
3 1
r 2 1
n 1
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(?!)
In R10: r 10 1 2,162...
4
La ipersfera interna esce
dell’ipercubo !
4
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La geometria è la “misura della terra”
La geometria diventa una scienza razionale
I teoremi di Talete di Mileto
(VI sec. aC)
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La geometria è lo studio delle “forme dello spazio”
Teorema di Pitagora
Esistono solo cinque poliedri regolari convessi
(Teeteto, IV aC)
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I solidi platonici
terra
fuoco
aria
acqua
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etere
(modello di universo)
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Teorema di Napoleone
Teorema di Morley
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Forme dello spazio
(aspetti qualitativi, geometria)
Rapporti quantitativi
(calcolo, aritmetica/algebra)
Geometria analitica (Descartes, XVII sec.)
Algebra geometrica:
x ax b
2
a
b
a2
b
4
a2
a
x
b
4
2
La media geometrica non
supera la media aritmetica
ab
ab
2
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omogeneità
e
isotropia dello spazio
invarianza rispetto alla scelta
dell’unità di misura
La geometria è lo studio delle proprietà delle forme che sono
“invarianti” rispetto alle trasformazioni di un “gruppo”
(Felix Klein, 1872)
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Due figure F ed F’ sono “equivalenti” (F ~ F’) se esiste una
trasformazione t di G che trasforma F in F’: t(F) = F’
L’area del triangolo
formato dagli asintoti di
un’iperbole e dalla
tangente in un punto
qualsiasi è costante
(indipendente dal punto)
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xy 1
xy0 x0 y 2
2
A( ,0)
y0
1 4
2
S
2
2 x0 y0 x0 y0
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2
B(0, )
x0
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Proprietà delle forme
l’incentro e il circocentro di un triangolo sono
nozioni simili (= invarianti per similitudine)
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Proprietà delle forme
la nozione di baricentro di un triangolo è
una nozione affine
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Il baricentro
a
N
A
regola del momento:
a.AN = b.BN
b
B
a
2a
a
a
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a
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2a
a
3a
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c
C
E
a
D
b
A
Il teorema di Ceva
F
AF BD CE
1
FB DC EA
(Giovanni Ceva, Milano 1647 – Mantova 1734)
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B
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Proprietà delle forme
Il teorema dei triangoli omologici
(Girard Desargues, 1640)
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La generalità
Esempio: il teorema di Pitagora è una proprietà simile
BC
S
k k2
B' C
T
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U=T+S
a
T a2
2
c
U c
b
S b2
2
c
U c
T S
a 2 b2
2
2
2
1 2 2 a b c
U U
c
c
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In un triangolo rettangolo, la somma delle aree di due
figure simili costruite sui cateti è uguale all’area della
figura, simile alle precedenti, costruita sull’ipotenusa
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La geometria è la scienza del ragionare
corretto su figure scorrette
(G. Polya)
Grazie per l’attenzione
