C - Dipartimento di Fisica e Astronomia

Prima Settimana
Elementi di trigonometria Piana
Alcuni sviluppi in serie
Un'equazione trascendente
La serie binomiale
I triangoli piani
Elementi di trigonometria sferica
Coordinate polari sferiche e cartesiane
Vettori
Alcuni esercizi
18/04/2005
C. Barbieri Astronomia I AA2004-05
1
Elementi di trigonometria piana
1 radiante ≈ 57°.2957795 ≈ 3437’.74677 ≈ 206264”.806 (= R")
1” ≈ 0.000004848 radianti,
1’ ≈ 0.000290888 radianti,
1° ≈ 0.017453292 radianti
angolo θ (rad) = θ ”/206264.806 = θ ”/R", θ ” = 206264.806· θ (rad)=R"θ
 ( " ) 
( " )  ( " )

 206264.8 
n
n 1
 ( " ) n 1
La ragione della differenza tra unità teoriche e pratiche è la seguente: per
definizione, il radiante è l’arco uguale al raggio, ed è l'unità da usarsi in tutte le
formule teoriche. Tuttavia, la circonferenza non è un multiplo razionale dell’arco,
e per eseguire misure con cerchi graduati, o con encoders digitali, ci vorranno
sempre unità razionali, per cui conviene suddividere il cerchio in 360° di 60' di 60"
ciascuno..
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Ore, minuti e secondi come angoli
Si faccia attenzione all'uso astronomico ma anche
geografico di utilizzare unità di angolo che hanno lo stesso
nome di unità di tempo:
24h = 360° = 2π rad, 1h = 15° ≈ 0.26179935 radianti
4m = 1° ≈ 0.017453292 radianti,
1s = 15”≈ 0.000072722 radianti
È solo grazie alla (quasi) regolare rotazione della Terra che
gli angoli dei corpi celesti rispetto al meridiano possono
essere usati anche per misurare il passare del tempo,
ma i due concetti non devono essere confusi!
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3
Alcune formule trigonometriche
sin(   )  sin  cos   cos sin 
cos(   )  cos cos   sin  sin 
tan   tan 
tan(   ) 
1 tan  tan 
(da cui seguono in particolare le formule di duplicazione
e quelle di bisezione, che si lasciano per esercizio)
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Alcuni sviluppi in serie
ei  ei
1
1
sin  
   3   5 
2i
3!
5!
ei  ei
1 2 1 4
cos 
 1    
2
2!
4!
1 e2i  1
1
2
tan   2i
   3   5 
i e 1
3
15
e
sin 
 (1)k
 2k 1
(2k  1)!
 (1)k
 2k
(2k )!
2n
2 n 1
2
B

2n
(1)n1
+
(2n)!
+
+
(  's)
(  ' s)
(- /2<   / 2)
1 2 1 4
 1     
2
6
(dove i B2n sono i numeri di Bernoulli e i è l’unità immaginaria)
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Sviluppi inversi
Qualunque serie convergente del tipo:
    a 2  b 3  c 4  d 5 
si può invertire come:
     2   3   4   5 
dove:
a 
  b  2a 2
  c  5a 3  5ab
2
2
2
  d  14a  3b  18a b  4ac
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6
Sviluppi inversi di sin e tan
1 3
3
5
5
  sin   sin   sin  
sin 7  
6
40
112
1 3
1 5
1 7
  tan   tan   tan   tan  
3
5
7
Da queste formula, vediamo che le differenze prime tra le funzioni sin , tan e
l'arco  , sono quantità del terzo grado (e segno opposto), mentre la funzione
cos differisce da 1 per un termine del secondo grado.
Dunque, quando gli angoli sono molto piccoli, è legittimo confondere l'arco 
con sin oppure con tan, e con minor precisione porre cos = 1.
Quando poi approssimiamo l'arco  con sin (oppure con tan ), la funzione
restituisce il valore dell'arco in radianti. Per ottenere secondi d'arco,
moltiplichiamo il valore in radianti per R" = 2062064".8.
Ad es., se sin = 0.00141, allora   0.00141x206264".8 = 290".83.
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Esempi pratici - 1
Esempio: si voglia determinare il massimo valore di  per cui:
tan    1"
Si scriva:
3
1
tan    

3 206264.8
  3 3/ 206264.8  0.02441
"  R"  5034".9  124'
Oppure, se il limite delle misure o dei calcoli fosse 0".01, sarà
lecito porre  " = R"sin nella condizione (valida per la tangente e
a fortiori per il seno):
 " 2
3
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 0".01
( " )3
 0".01( R ") 2
3
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 "  1000"
8
Esempi pratici - 2
Un altro esempio importante è il calcolo di uno sviluppo in serie di Taylor
usando piccoli incrementi finiti:
df
1 d2 f 2
f ( )  
 

2
d
2! d
Si supponga di usare come minimo incremento il valore  = 50” = 0.00024 rad. Il
quadrato dell’incremento è 2 = 0.00024x50” = 0”.012 (nota, arcsec, non arcsec
quadrati!).
Tenendo in considerazione l’ampiezza delle derivate, vediamo che se ci arrestiamo
al primo termine otteniamo la funzione con una precisione di pochi centesimi di
secondo d’arco; se ci bastasse una precisione di pochi decimi di arcsec, allora
potremmo aumentare l’incremento a 150”, e così via. Queste considerazioni sono
importanti quando si derivano i valori degli angoli dagli sviluppi in serie delle
funzioni trigonometriche. Per esempio, vicino a 0°, l’errore sull’angolo  può
essere molto maggiore dell’errore sul cos, mentre vicino a 90°, l’errore
sull’angolo  può essere molto maggiore dell’errore sul sin.
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Un’importante equazione trascendente
Mediante le espressioni complesse delle funzioni trigonometriche,
possiamo risolvere l'importante equazione trascendente:
tan x  m tan y
Poniamo:
1 m
q
1 m
(m > 0)
(|q| < 1)
Lagrange, usando appunto le espressioni complesse, dimostrò che :
q2
q3
q4
x  y  q sin 2 y  sin 4 y  sin 6 y  sin 8 y 
2
3
4
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Lo sviluppo in serie binomiale - 1
Dato un numero reale qualunque m, si ha:
m(m  1) 2 m(m  1)(m  2) 3
x 
x 
2!
3!

 m
 m 2
 m
 1    x    x      xn
( x  1)
0 n 
1 
2 
(1  x) m  1  mx 

 m   m  m(m  1) (m  k  1)
in cui si è usata la notazione abbreviata:    

k!
k  mk
e in cui:  m    m   1
0
m
   
(1  x) 1/ 2  1 
In particolare:
1
1 3 2 1 3  5 3
x
x 
x 
2
24
246
2 1/ 2
(1  x )
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1 2 1 3 4 1 3  5 6
 1 x 
x 
x 
2
24
246
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I triangoli piani - 1
Consideriamo ora un triangolo piano, avente vertici A, B, C, lati
a, b, c (perimetro 2s = a+b+c) e angoli opposti ai lati , ,  .
E’ ben noto che :
    
Cioè la conoscenza di due
angoli è sufficiente per
determinare il terzo.
In generale la conoscenza di 3 elementi è sufficiente per
trovare gli altri 3, con la notevole eccezione:
dati i 3 angoli, i 3 lati non sono univocamente determinati
(mentre, dati i 3 lati, i 3 angoli sono univocamente determinati).
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I triangoli piani - 2
Utili relazioni sono:
sin  sin  sin 
1



a
b
c
2R
a 2  b 2  c 2  2bc cos
tan
(Legge dei seni, in cui R è il raggio del
cerchio circoscritto)
(Legge del coseno)
 
a b
(legge delle tangenti)
2

tan   tan   tan   tan  tan  tan 
a  b tan   
1
1
1
2
sin   sin   sin   4 cos  cos  cos 
2
2
2
1
1
1
cos   cos   cos   4sin  sin  sin   1
2
2
2
sin 2  sin 2   sin 2  4sin  sin  sin 
1
1
1
1
1
1
tan  tan   tan a tan   tan  tan   1
2
2
2
2
2
2
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I triangoli piani - 3

( s  b)( s  c)

sin 
cos 
2
bc
2
s( s  a )

( s  b)( s  c)
r
tan 

2
s( s  a)
sa
bc
(note come formule di Brigg), in cui:
( s  a)( s  b)( s  c) è il raggio del cerchio inscritto
s
r
1
abc
2 sin  sin 
K  sr  bc sin   c

2
2 sin 
2R
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è l’area.
14
Una applicazione dello sviluppo in serie
binomiale al triangolo piano
a 2  b 2  c 2  2bc cos
Riprendiamo la formula del coseno:
che scriviamo come:
 b2  2bc cos  
a  c 1 

2
c


2
2
Supponiamo che sia b/c << 1 per cui possiamo trascurare (b/c)2.
Poniamo allora bcos = x . Siccome sia a che c sono quantità positive avremo,
dallo sviluppo in serie binomiale:
1 1

a c
1  x (3 x 2  b 2 ) (5 x3  3 xb 2 )
 1  


2
3
2c
2c
2x c  c
1
c
1



che useremo varie volte nel seguito.
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Elementi di trigonometria sferica
La trigonometria sferica trova le sue origini nel mondo greco, con Ipparco di
Nicea (circa 180 B.C.), and poi con Claudio Tolomeo (II secolo D.C.).
Nel XIX secolo, Carl F. Gauss mise in forma sistematica le relazioni che
verranno qui usate.
- La sfera è il luogo, nello spazio 3D cartesiano, dei punti che hanno la stessa
distanza R da un dato centro O.
- La sua superficie è dunque finita ma illimitata.
- Ogni piano passante per il centro definisce sulla sfera un cerchio massimo di
raggio R; consideriamo uno di questi come piano equatoriale. La retta
passante per O e perpendicolare al piano equatoriale definisce sulla sfera due
punti che sono i poli del cerchio massimo.
- Poniamo ora R = 1, in modo che l’area sulla superficie si possa esprimere in
steradianti, o in unità pratiche gradi quadrati.
- L’area di tutta la sfera è allora:
4 sr = 4 (360/2) 2 = 129600/ ≈ 41252.96125 gradi quadrati
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I triangoli sferici -1
Tre cerchi massimi dividono
la sfera in 8 porzioni:
chiameremo triangolo
sferico quella parte i cui lati
sono tutti minori di , cioè
quella parte contenuta tutta in
un emisfero
(N:B: tra 0 e , l’arccos è a
valore singolo, l’arcsin no!) .
Si usa indicare i vertici con le lettere maiuscole A,B,C, e i lati con le lettere
minuscole a, b, c corrispondenti al vertice opposto.
L'angolo nel vertice A o B o C si indica con la stessa lettera del vertice, ma
in corsivo, A, B, C.
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I triangoli sferici -2
1.
Sulla sfera di raggio unitario, l'arco di cerchio massimo K'H' ha lunghezza 
pari all'angolo al centro K'OH' oppure all'angolo al polo KPH = K'PH'.
2.
Il triangolo sferico è fatto dunque di 3 archi massimi; ad es. HK non è lato di
un triangolo sferico, e anzi la distanza tra H e K misurata sul parallelo è
sempre maggiore di quella misurata sul cerchio massimo.
3.
Un triangolo sferico può avere tutti e tre gli angoli retti;
4.
In generale: 0 < a + b + c < 2 ,
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 < A + B + C <3
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18
Geodesica sulla sfera
Si noti che c’è un solo circolo massimo che colleghi due
punti sulla sfera (a meno che i punti non siano
diametralmente opposti), ma infiniti cerchi minori;
la distanza angolare tra i due punti è allora univocamente
definita solo lungo il cerchio massimo, e si può dimostrare che
è anzi il percorso di lunghezza minima che li colleghi .
Si usa dire allora che l’arco di cerchio massimo è la geodesica
tra i due punti sulla sfera, così come la linea retta lo è per due
punti nello spazio euclideo.
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Relazioni di Gauss
cos a  cos b cos c  sin b sin c cos A
(legge dei coseni)
sin a cos B  cos b sin c  sin b cos c cos A
sin A sin B sin C


sin a sin b sin c
(legge dei seni)
cos a cos C  sin a cot b  sin C cot B
cos A   cos B cos C  sin B sin C cos a
e simili permutando le lettere. Dunque, in un triangolo sferico, i 3 lati
sono determinati univocamente dai 3 angoli, una proprietà non
presente nei triangoli piani. Un altro modo di esprimere lo stesso
concetto: non c’è bisogno di uscire dalla superficie della Terra per
misurarne la curvatura (e con le opportune modifiche, dall’Universo).
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Eccesso sferico e area del triangolo
In un triangolo sferico, si dice eccesso sferico la quantità:
  A B C 
In un generico triangolo sferico si ha la relazione:


sin  A  
a
2
2

tan 
 

2

sin  B   sin  C  
2 
2

sin

e simili per b and c.
L’area del triangolo sulla sfera di raggio unitario vale proprio  sr, e quella
sulla sfera di raggio R vale:
K  R2 ( A  B  C   )
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nelle stesse unità di R2.
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21
Triangoli sferici quasi-piani
Intuitivamente, quando i lati del triangolo sferico sono
molto piccoli in confronto con il raggio della sfera, si
può ricorrere alla approssimazione di un triangolo
piano, sul piano tangente alla sfera. Per una migliore
approssimazione, Legendre ha dimostrato che un
piccolissimo triangolo sferico è equivalente a un
triangolo piano avente gli stessi lati a, b, c e angoli:
  A / 3
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  B  / 3
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  C  / 3
22
Coordinate cartesiane e polari
Nelle applicazioni astronomiche in cui
siano note le distanze all'astro useremo sia
sistemi di riferimento cartesiani (x, y, z)
che sistemi di riferimento polari sferici
(r, , ), a seconda della convenienza.
Le trasformazioni da polari a cartesiane sono:
x  r cos  cos 
R
|Sy  r cos  sin 
|Tz  r sin 
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x
R
d
x

|| r dr  z cos d  yd
|Sdy  y dr  z sin d
|| zr
|Tdz  r dr  r cos d
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23
Da cartesiane a polari
Le trasformazioni inverse sono:
y



r
arctan

x

z

   r arcsin
r

r  x 2  y 2  z 2


dr  cos  cos dx  cos  sin dy  sin  dz

rd   sin  cos  dx  sin  sin dy  cos  dz
r cos  d   sin  dx  cos  dy

Abbiamo dato anche l'espressioni dei differenziali, che sono
utili per valutare sia l'effetto di piccoli incrementi che di
errori di misure (e in tal caso conviene usare i moduli per
massimizzare la stima dell'errore).
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Vettori
Il calcolo vettoriale è utilissimo nel caso del Sistema Solare, perché le distanze
possono essere accuratamente determinate, ma trova impiego anche in problemi
legati alla sfera celeste in generale.
Siano i,j,k i vettori unitari lungo (x,y,z); la posizione del punto H sulla sfera unitaria
può essere rappresentata dal vettore unitario rH:
rH ( x, y, z )  rH ( ,  )  xi  yj  zk
e con riferimento alle coordinate angolari (, ) sarà:
x  cos  cos 
y  sin  cos 
z  sin 
 cos  cos  


rˆH  ( x, y, z )   sin  cos  
 sin 



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Operazioni sui vettori - 1
Dati due vettori a, b la loro somma è il vettore c dato da:
c  a  b  (ax  bx )i  (a y  by ) j  (az  bz )k
Proprietà associativa e commutativa della somma:
c  a b  b a
a  (b  c)  (a  b)  c
Il vettore differenza d è:
d  a  b  a  (b)
Il prodotto scalare tra due vettori è il numero c dato da :
c  a  b  b  a  ab cos   axbx  a y by  az bz
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Operazioni sui vettori - 2
Il prodotto vettoriale è il vettore:
c  a  b  a  b  (a y bz  az by , az bx  ax bz , ax by  a y bx ) 
 ab sin  u
i j k
c  a  b  a x a y az
bx by bz
Il prodotto vettoriale gode della proprietà associativa, ma non di quella
commutativa:
a  (b  c)  a  b  a  c
c  a  b  b  a
Il prodotto vettoriale si usa anche per definire il momento di una forza F:
consideriamo un punto qualunque O e una forza F la cui direzione non passi per O.
Si conduca da O un vettore r a un punto qualunque lungo la direzione di F. Il
momento di F rispetto a O è il vettore K:
K  r  F  (rF sin  )k
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Operazioni sui vettori - 3
Un vettore può essere derivato e integrato:
da j
d
da
db
da da x
daz
(
a

b
)

b


a


i
j
k
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
z z
z
d
da
db
( a  b) 
b a 
dt
dt
dt
z
a (t )dt  i a x (t )dt  j a y (t )dt  k a x (t )dt
In Dinamica e in Meccanica Celeste si usa spesso (ma non sempre) indicare
le derivate prime e seconde di un vettore nella seguente maniera:
da
 a
dt
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d 2 a da

 
a
2
dt
dt
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Operazioni sui vettori - 4
E' importante ricordare che non tutte le entità specificate da un
modulo e da una direzione sono vettori bona fide. La legge di
composizione e la proprietà commutativa sono anche elementi
essenziali per la definizione di vettore. In particolare, rotazioni
angolari finite di un corpo rigido non sono vettori, perché
non obbediscono alla proprietà commutativa. Tuttavia,
rotazioni infinitesime, e dunque anche le velocità angolari,
sono davvero vettori.
Incontreremo poi vettori r riferiti a un sistema di coordinate
ruotante con velocità angolare  rispetto a un riferimento
inerziale. La derivata totale di r rispetto agli assi inerziali sarà:
rinerziale  rrelativa  ω  r
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Esempio: il movimento del centro del Sole
rispetto al baricentro B del sistema solare
Questo esempio verrà illustrato
con maggior dettaglio in seguito,
ma qui si vuole dare un'idea delle
distanze coinvolte. Si ricordino i
seguenti valori approssimati:
- il raggio del Sole è 7x105 km.
- 1 Unità Astronomica è pari a
1.5x108 km = 200 raggi solari.
Dunque all’epoca presente il baricentro B del sistema solare è
apprezzabilmente esterno al disco del Sole. Il pianeta di gran
lunga dominante in queste considerazioni è Giove, la cui massa è
circa 1/1000 della massa del Sole. Intervengono poi Saturno,
Venere, la Terra, e gli altri pianeti.
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Che trasformazioni applicare?
Come si è accennato, le trasformazioni tra i vari sistemi di
riferimento che tra poco introdurremo sono delle roto-traslazioni rigide.
Ne vedremo vari esempi.
Tuttavia, nelle trasformazioni tra riferimenti in moto relativo
può intervenire la velocità finita della luce a alterare le direzioni
apparenti degli astri.
Quando poi dovremo trasformare sistemi di riferimento di
velocità e di accelerazione (derivate prime e seconde delle posizioni
rispetto al tempo), sorgerà una ulteriore difficoltà:
- le derivate vanno fatte rispetto al tempo, e allora quale tempo si deve
usare? Ne daremo varie definizioni operative.
Approfondiremo questi concetti dopo aver trattato i vari sistemi di
riferimento.
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C. Barbieri Astronomia I AA2004-05
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Esercizio svolto nr. 1
Area del triangolo sferico per 3 stelle
Le coordinate di 3 stelle in un generico riferimento sferico sono:
(,)A = (0°, 0°),
(,)B = (1°, 0°),
(,)C = (1°, 1°)
Ricavare gli elementi e l’area del triangolo. Ripetere l’esercizio se le coordinate sono:
(,)A = (0°, 0°),
(,)B = (15°, 0°),
(,)C = (15°, 45°)
Nel primo caso, il triangolo ha lati sufficientemente piccoli da potersi considerare piano, con
angolo retto nel secondo vertice. Pertanto l’area sarà A = ½ gradi quadrati = 1.2x10-5 sr.
Nel secondo caso invece, il triangolo deve essere considerato completamente sferico. Due lati
valgono rispettivamente a = 15° e b = 45°, mentre l’angolo in B è retto.
Ricaviamo il lato c che passa per A e per C: c = 46°.9205, sin c = 0.703406
Dalla formula dei seni:
sin B 
sin b 0.707107

 0.968100
sin c 0.730406
sin A 
B = 75°.489
sin a 0.258819

 0.354352
sin c 0.730406
A = 20°.754
Vediamo facilmente che l’eccesso sferico è pari a  = 6°.24, cioè l’area è pari a:
/180 = 0.109 sr.
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Esercizio svolto nr. 2
Completiamo l’esercizio calcolando l’area del triangolo sferico per A, B
e il polo. In tal caso il lato b e il lato c divengono di 90°, come pure gli
angoli A e B. L’angolo al polo è 15°, per cui l’area del triangolo sferico
sta all’area della semi-volta celeste come 15/360 = 0.04, e dunque l’area
vale 0.04x2 = 0.262 sr.
Da un altro punto di vista, se dividiamo la sfera in 24 fusi orari, ciascun
fuso ha un’area di 4/24 = 0.524 sr, e dunque il triangolo dall’equatore
verso il Polo ha metà di questo.
Per differenza ricaviamo anche che l’area PAC vale 0.262 – 0.109 =
0.153 sr.
Lo si dimostri direttamente.
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Esercizio svolto nr. 3
ricordiamo gli sviluppi in serie di sen e tan:
sen a  a 
1 3 1 5
 1

a  a    a 1  a 2 ) 
3!
5!
 6

1
2
 1 
tan a  a  a 3  a 3    a1  a 2 
3
15
 3 
Quando l’arco a e' piccolo, l'errore commesso confondendo il seno con l'arco e'
inferiore al primo termine trascurato, cioè a quello in a3; nel caso della tangente e' un
po' superiore al doppio di quello commesso per il seno, e in senso contrario (il termine
in a5 supera 0".01 solo a circa 5°). Calcoliamo il valore massimo che si può dare ad a
affinché l'errore sia inferiore a un limite prefissato, mettiamo 1". Si avrà:
a3
1
1


6 206265 32.5
amax
1
57.3


 146'
32.5 32.5
Quando si può confondere l'arco con il suo seno, quest'ultima funzione restituisce il valore
dell'angolo in radianti. Per convertirlo in secondi d'arco lo si moltiplica per 2062064".8. Se
ad es. sena = 0.00141, se ne conclude che a = 0.00141x206264".8 = 290".83. Dunque si
ha:
n 1
(a" ) n
 (a" ) 
n
a"
n
n 1
(
a
"
)

(
a
"
)

(
a
"
)
a
a 


a
 206264.8 
(206264.8) n
206264.8
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Alcuni esercizi per casa
1.
2.
3.
4.
5.
la Luna ha parallasse media di 3422".70, si esprima il seno della
parallasse in secondi d'arco arrestandosi al secondo termine.
sia sulla superficie terrestre a = 5000 m, b = 3000 m,  = 40°.5. Si
trovino gli altri elementi del triangolo.
Dato il rettangolo piano con vertici A, B sulla superficie della terra, di
lato c = 100.0 km e angoli ad esso adiacenti  = 87°,  = 88°, si
vogliano gli altri elementi del triangolo; in questo caso, il lato c e' da
intendersi come corda passante per i due vertici di base, mentre il
vertice C puo' essere un satellite.
Discutiamo in 2) gli effetti degli errori di misura, supponendo che
l'errore su c sia di 0.1 km, e quelli sugli angoli ,  di 1'
Si discuta la propagazione degli errori con il tendere di ,  entrambi
verso 90°
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