TQuArs – a.a. 2010/11
Tecniche quantitative per l’analisi nella ricerca sociale
Giuseppe A. Micheli
Lezione B.4
Biginissimo
su stima per intervalli e
prova delle ipotesi
In questa lezione..
In questa lezione faremo una galoppata velocissima per dare
almeno una idea di larga massima dei seguenti concetti base
della teoria della stima:
• Campionamento e stima puntuale
• Stima per intervalli di confidenza
• Verifica di ipotesi statistiche
Rappresentazioni imperfette
della realtà sociale
L’estrazione di un campione genera necessariamente una rappresentazione
imperfetta della realtà sociale indagata, che si aggiunge alla non piena
attendibilità degli strumenti di rilevazione, o errore di misurazione. Le conclusioni
che si possono trarre sono circondate da un certo grado di incertezza.
ˆ
ˆ
Vero valore del parametro di interesse
Stima parametro determinata sul campione
Errore totale della stima
Modello degli errori
In realtà non può essere determinato esattamente. Dobbiamo accettare il fatto
che la conoscenza della realtà ha carattere inferenziale quindi incerto.
Tuttavia, l’applicazione di regole formali consente di definire l’incertezza
che circonda le stime di interesse (specificando l’errore totale di stima).
Le regole formali consistono nell’adozione di metodi probabilistici per
la selezione di un campione, che ne assicurino la “imparzialità”.
La regola più semplice è che ogni unità di popolazione abbia la stessa
probabilità di entrare a far parte del campione (c. casuale semplice).
Terminologia da non
trascurare
Sulla scia del caso concreto, chiariamoci una volta per tutte il significato di
alcuni termini ricorrenti:
STIMA - Valore di una misura statistica
associata a un particolare campione ePARAMETRO - E’ una misura stratto. Quando selezioniamo uno specistatistica, solitamente una misura fico campione dalla popolazione e calcosintetica di posizione, di variabilità liamo, ad esempio, la media aritmetica
o di forma rilevata sulla popola- (ma anche altre misure) otteniamo un
zione (la media, la varianza, l’indice valore denominato stima del corridi simmetria, la probabilità del veri- spondente parametro della popolazione.
ficarsi di un dato evento e così via)
Un parametro non può essere STIMATORI - Le statistiche sono invece
determinato in modo esatto, ma delle funzioni delle osservazioni camsolo stimato, fatta eccezione dei pionarie, nel senso che esse dipendono
casi in cui si effettuano indagini dagli elementi del campione estratto dalla
censuarie avvalendosi di strumenti popolazione. I valori corrispondenti a tali
di rilevazione immuni da errori di statistiche sono dette stime corrette o
misurazione.
distorte. Una statistica è ciò che il ricercatore conosce, mentre un parametro è
ciò che desidera conoscere.
L’estrazione campionaria
Consideriamo di voler fare inferenza relativamente ad una certa
caratteristica X. Supponiamo che nella popolazione tale caratteristica
sia distribuita normalmente con media e varianza 2 e che una
variabile idonea alla sua rappresentazione sia una variabile continua.
Estraiamo allora dalla popolazione un campione casuale semplice con
reimmissione di dimensione pari a n (ripetiamo cioè la singola
prova/estrazione un numero n di volte).
Ogni estrazione, regolata dalle leggi del caso, corrisponde ad una
variabile casuale (v. c.) con distribuzione pari a quella della
popolazione, quindi con media e deviazione standard [Xi N(, )]
Il campione nel suo complesso è l’insieme di n
v.c. (X1, X2, …, Xn) tra loro indipendenti ed identicamente distribuite.
Se i valori campionari sono estratti da una popolazione con distribuzione N(, ), allora la media campionaria ha distribuzione: N(, /n).
Chiamiamo errore standard (es) la deviazione standard della
media campionaria
Stimatore non distorto di
Se dunque le Xi sono v.c. “estrazioni campionarie”, la distribuzione
“media campionaria” ha media pari proprio alla media della
popolazione:
E’ uno stimatore corretto (o
E( X ) E(Mn )
X non distorto) della media della
popolazione.
Possiamo allora lanciarci in una definizione più generale:
Una statistica (o stimatore) è NON DISTORTA (o corretta) se la sua
media entro la distribuzione di tutti i possibili campioni è proprio pari
al parametro della popolazione che si vuole stimare.
Se siamo quindi interessati a fare inferenza sulla media della
popolazione (), una stima corretta per tale parametro è proprio la
media campionaria X
Stime puntuali
Si può verificare che lo stimatore media è migliore dello stimatore
mediana, nel senso che, per esso, le fluttuazioni intorno al valore
medio della popolazione (che è poi il parametro da stimare) generate
dal processo di campionamento sono più piccole.
La media campionaria è anch’essa una v.c. perché sono molteplici i
modi di estrarre n unità (dimensione del campione) dalle N unità della
popolazione (universo).
La media della popolazione è un parametro fisso (anche se ignoto),
mentre possiamo ottenere una diversa media campionaria per ogni
diverso campione di n elementi che estraiamo dagli N della
popolazione.
Il primo passo consiste quindi nel fare inferenza su un parametro
della popolazione a partire da una sua stima corretta. Si parla in tal
caso di STIMA PUNTUALE (stima di un parametro di una
popolazione data da un solo numero).
Un esempio numerico
Soffermiamoci con questo esempio sulla stima puntuale della media m. La popolazione di riferimento è costituita da N = 6 studenti che frequentino un corso
universitario. Per ciascuno di questi studenti è noto il voto ottenuto all’esame di
Statistica Sociale, come riportato nella seguente tabella:
Unità/studente
Voto
A
25
B
28
C
27
D
30
E
30
F
26
Il voto medio tra questi 6
studenti è 27,6667 28
Supponiamo ora di estrarre un campione di 2 elementi, scegliendo un primo
elemento e, senza reimmetterlo nella popolazione, estraendo un secondo
elemento. Enumeriamo tutti i possibili 15 campioni di ampiezza 2 estraibili dalla
nostra popolazione studentesca:
N° Campione
1
A
Unità/studenti del campione
B
25
Voti osservati
28
Voto medio campionario
26,5
2
3
4
5
6
A
A
A
A
B
C
D
E
F
C
25 25
25
25
28
27 30
30
26
27
26 27,5 27,5 25,5 27,5
7
B
D
28
30
29
8
B
E
28
30
29
9 10
11
12
B
C
C
C
F
D
E
F
28 27
27
27
26 30
30
26
27 28,5 28,5 26,5
13
D
E
30
30
30
14
D
F
30
26
28
15
E
F
30
26
28
Deviazione di Mn da
Se non conoscessimo il valore medio pari a 27,67 della popolazione - situazione
in realtà molto usuale proprio per la rilevanza che hanno i metodi probabilistici
di stima dei parametri - potremmo ricorrere ad uno dei 15 campioni, estrarlo e
calcolarne il valore medio.
Ci si accorge subito, però, che essendo la media (ignota) della popolazione pari
a 27,67, le stime calcolate entro i 15 campioni possono risultare a volte molto
vicine alla vera media, ma altre volte anche molto lontane. La tabella seguente
mostra sinteticamente l’allontanarsi di ciascuna media campionaria dal valore
della media m.
Entità della deviazione Numero
della media
campioni
campionaria dalla
media della
popolazione
< -2
2
- 2 | -1
3
-1| 0
4
0
0
0 | +1
4
+1 | +2
2
Totale
15
Neanche un campione su 15
porta a una valutazione esatta della media della popolazione! Se siamo disposti ad
accettare un errore al più di
2 unità ben 13 campioni su
15 soddisfano il livello di
accuratezza richiesto.
La distribuzione campionaria di Mn
Ritorniamo alla tabella che riporta tutti i 15 possibili campioni. Non a caso
abbiamo usato il rosso per distinguere l’ultima riga, corrispondente alle medie di
ciascuno dei 15 campioni estratti.
Queste medie variano da un campione all’altro. Esse determinano perciò una
distribuzione campionaria di un particolare stimatore, qual è la media Mn,
funzione delle osservazioni campionarie che di volta in volta si realizzano. Nella
riga rossa la distribuzione è però presentata sotto forma di serie. Rivediamola
in forma di seriazione, forse più consona al nostro modo di apprendere:
Media
campionaria
= Stima =
Mn
25,5
26
26,5
27
27,5
28
28,5
29
30
Totale
Numero
campioni =
Numerosità
assolute
1
1
2
1
3
2
2
2
1
15
Frequenza
relativa
1/15
1/15
2/15
1/15
3/15
2/15
2/15
2/15
1/15
1
Verifichiamo la proprietà di correttezza
dello stimatore Mn. Se calcoliamo la media
tra tutte le 15 stime otteniamo:
1/15[(25,5x1) + (26x1) + (26,5x2) +
(27x1) + (27,5x3) + (28x2) + (28,5x2) +
(29x2) + (30x1)] 27,67 = E(Mn) = m
Distribuzione della media
campionaria Mn
Stima intervallare
Ognuna delle possibili medie campionarie di n unità può essere quindi
considerata come un’osservazione ottenuta da una distribuzione
normale con valore atteso proprio uguale a µ (e varianza pari a 2/n).
Ma noi disponiamo di un unico campione, e quindi di una sola
media campionaria!! Estraiamo un’unica osservazione dalla distribuzione N(µ,2/n), e questa potrà trovarsi vicina al parametro di
interesse (µ, valore centrale della distribuzione) ma anche relativamente lontana (collocandosi su una delle due code della normale).
Dato che la distribuzione normale può teoricamente assumere
valori che vanno da meno a più infinito, non siamo in grado
di costruire nessun intervallo nel quale possiamo
affermare essere contenuto con certezza µ.
Possiamo però puntare ad un obiettivo più modesto ma di
grande utilità: costruire un intervallo che contiene µ non
con certezza matematica ma con certezza probabilistica.
Intervallo di confidenza
L’intervallo di confidenza è un intervallo (ottenuto da dati campionari) che
contiene, con prefissata probabilità (alta a piacere), l’ignoto parametro di interesse
(es. ): Pr(Tinf Tsup)=1- dove 1-, detto “livello fiduciario” è la (prefissata)
probabilità che l’intervallo contenga . Se la media campionaria si distribuisce
secondo una N(,/n), la sua standardizzata seguirà una N(0,1).
Supponiamo di volere un intervallo
che contenga la media della
popolazione con probabilità = 0,95.
Nella N(0,1) a 1-=95% corrisponde
l’area inclusa tra -1,96 e +1,96.
La quantità (x -)/(/n) si distribuisce proprio come una N(=,1). Allora:
Pr-1,96 (x-)/(/n) +1,96 =0,95
0,025
-4
-3
N(0, 1)
0,95
0,025
-2
-1
0
1
2
3
-1,96
+1,96
Che può essere riformulato evidenziando l’intervallo intorno al parametro cercato:
Prx-1,96(/n) x+1,96(/n) = 0,95
e più in generale
Pr[x-/2(/n)] [x+z/2(/n)] = 1-
4
Una controprova
Supponiamo di sapere che la spesa per un certo consumo (X) segua una
distribuzione normale con =30 euro e =2,55. Commissioniamo, per avere una
controprova, a 20 diverse società un’indagine basata su un campione casuale di
100 persone, dando però a ciascuno solo l’informazione che X segue una
distribuzione normale con = 2,55 e che il livello di fiducia deve essere del 95%
(1- =0,95). Ognuna delle 20 società ha gli stessi ingredienti di base: z/2 =1,96;
= 2,55 ed n=100. Ciascuna delle 20 società estrarrà dalla popolazione un diverso
campione, quindi la media campionaria varierà da società a società.
La prima società trova una media campionaria 30,24. Quindi il suo IDC() è 30,24
1,96(2,55/10)=[29,74; 30,74]. La seconda società trova una media 30,12, da cui
IDC() = [29,62; 30,62]. E così via. Dato che la probabilità che l’IDC contenga
è fissata pari al 95%, ci si può aspettare che 19 dei 20 intervalli (il 95%)
contengano e solo per 1 campione estratto l’IDC corrispondente fallisca.
In effetti, tutti e venti gli intervalli contengono =30, tranne uno (il campione 17).
31
30
29
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Rilasciare un’ipotesi senza senso:
la distribuzione t di Student
Nel calcolare l’intervallo di confidenza per la media della popolazione , fin qui si è
supposta la conoscenza della deviazione standard () della popolazione (2). Ipotesi
improbabile! Se non è nota, la cosa più ovvia è sostituirvi uno stimatore
“corretto” di . La teoria della stima ci dice che
s2x= (xi - Mn)2/(n-1)
è uno stimatore corretto della varianza della popolazione. (dove il denominatore (n-1) è ora un parametro importante, detto “gradi di libertà”, gl). Sostituendo s
a nella standardizzazione di x per la costruzione dell’intervallo di confidenza, si
ottiene una nuova statistica:
(xi-) / (s/n) ~ t
Questa misura segue una
nuova legge di distribuzione detta t di Student:
Area di probabilità = 10%
Esempio: g.l. = 5
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
t* = 1,48
3
4
La distribuzione è simile alla
Normale, ma più appiattita.
Inoltre, per ogni valore di t si
ha una curva diversa. Nella
figura si è considerato un caso
esemplificativo con 5 gradi di
libertà, per facili-tare la lettura
dei valori della tavola.
Tavola della curva t di Student
Gradi di
libertà
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Area di probabilità
25%
1,00
0,82
0,76
0,74
0,73
0,72
0,71
0,71
0,70
0,70
0,70
0,70
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,69
0,68
0,68
10%
3,08
1,89
1,64
1,53
1,48
1,44
1,41
1,40
1,38
1,37
1,36
1,36
1,35
1,35
1,34
1,34
1,33
1,33
1,33
1,33
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
5%
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,89
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,72
1,72
1,72
1,71
1,71
1,71
2,5%
12,71
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,08
2,07
2,07
2,06
2,06
1%
31,82
6,96
4,54
3,75
3,36
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
2,58
2,57
2,55
2,54
2,53
2,52
2,51
2,50
2,49
2,49
0,5%
63,66
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,05
3,01
2,98
2,95
2,92
2,90
2,88
2,86
2,85
2,83
2,82
2,81
2,80
2,79
La t di Student e le sue proprietà
formali
Non ci interessa in questa sede conoscere la legge di densità di
probabilità di t. E’ sufficiente considerarne le sue proprietà:
1. La legge t varia con il numero dei gradi di libertà (g.l.). Varia cioè al
variare dell’ampiezza del campione.
2. Per ogni valore di n, t ha comunque una distribuzione simmetrica
campanulare intorno a una media = 0, cioè molto simile alla forma
della N(0,1), ma più appiattita nel punto di massimo, e di
conseguenza più dispersa sulle code.
3. Al crescere del numero dei g.l. la distribuzione t converge
rapidamente a N(0,1). Praticamente già per n = 100 le distribuzioni
coincidono, come si vede confrontando i valori critici per z e t per
probabilità di fallimento = 5% e = 1%.
Confronto valori critici di t di
Student e N(0,1)
Caso A) 1 - = 95%
g.l.
t
5
2.57
10
2.23
Valori di t5% con g.l. pari a
15
20
25
30
2.13
2.09 2.06 2.04
60
2.00
120
1.98
Valori
z5%
1.96
Caso B) 1 - = 99%
g.l.
t
5
4.03
10
3.17
Valori di t1% con g.l. pari a
15
20
25
30
2.95
2.85
2.79 2.75
60
2.66
120
2.62
Valori
z1%
2.57
Prender decisioni usando gli IDC
Cerchiamo di capire con un esempio se e come gli strumenti fino ad ora
acquisiti possano essere utilizzati per prendere una decisione.
Un’azienda vuole effettuare un’indagine campionaria sul consumo di taluni
prodotti, e si affida a voi per trovare una valida società per le ricerche di mercato
che esegua l’indagine per conto dell’azienda stessa.
Tra le società entrate in una prima selezione, una in particolare dichiara che il
proprio staff è estremamente preparato: il voto medio di laurea (vml) dei
dipendenti – dicono - è pari a 106 con deviazione standard = 8.
Per non rischiare, decidete di verificare questa affermazione preparandovi a fare
un test sul voto medio di laurea di un campione estratto casualmente di 25
persone dello staff. Il voto medio di laurea tra queste persone risulta pari a 100.
E’ chiaro che il campione estratto ha un voto medio inferiore a quello
dichiarato dalla società. Come spiegarlo? Due le spiegazioni possibili:
Ipotesi Nulla (H0: = 106 )
l’affermazione della società è vera:
lo staff ha veramente un voto medio
pari a 106. E’ capitato che
casualmente è stato estratto un
campione con voto medio più basso.
Ipotesi alternativa (H1: 106 )
l’affermazione della società è falsa:
lo staff non ha un voto pari a 106
(il campione non proviene da una
popolazione con voto di laurea 106)
Una procedura in quattro passi a
partire dagli IDC
Per decidere se è vera l’ipotesi 0 oppure la 1, usiamo l’intervallo di confidenza,
seguendo una PROCEDURA IN QUATTRO PASSI
1) Scriviamo le ipotesi:
Ipotesi 0: = 106
Ipotesi 1: 106
2) Calcoliamo il valore
medio del voto di laurea per
il campione: x = 100
3) Determiniamo un IDC attraverso la distribuzione campionaria,
supponendo di essere pronti a sbagliare una volta su venti (95% degli
IDC intorno alle possibili medie campionarie comprenderà , mentre
nel restante 5% dei casi la media della popolazione resterà fuori):
95% IC = 100 1,96 (8/25) =(96,84;103,14)
4) Traiamo le conclusioni – Un valore pari a 106, che l’ipotesi nulla
considera essere la media della popolazione, non cade nell’IDC
(96,84;103,14). Ne traiamo la conclusione che è opportuno rigettare
l’ipotesi nulla, accettando l’ipotesi alternativa che lo staff della società
individuata non abbia un voto medio di laurea pari a 106 (il che ci
spingerà a sospettare che la società non sia affidabile..).
Da stima di Idc a verifica di
ipotesi statistiche
Siamo passati quasi senza accorgercene dalla logica della costruzione di un IDC centrato sulla media campionaria, rispetto al
quale andiamo a vedere dove si colloca il valore ipotizzato in H0,
alla logica della verifica di un’ipotesi, con la quale andiamo a
vedere dove si colloca di fatto la media campionaria rispetto a
una regione di accettazione centrata sul valore ipotizzato in H0.
Certo le due logiche portano a risultati analoghi, ma è prudente tenerle distinte
(la prima ha carattere più generale, non essendo legata a una specifica ipotesi,
come invece avviene con la regione di accettazione). Introduciamone allora
terminologia e regole di funzionamento mediante un problema di ricerca
1) Il quesito di ricerca: Recenti indagini mostrano che i comportamenti dei
giovani studenti universitari sono influenzati dal controllo esercitato dalla famiglia nella vita quotidiana. Ci chiediamo allora se il living arrangement favorisce
l’adozione di alcune condotte trasgressive (ad esempio l’andare in discoteca).
2) Riscrittura del problema di ricerca in ipotesi statistiche: Supponiamo
che dai dati nazionali sulle ragazze che vivono coi genitori emerga un valore
medio di X =numero medio di serate passate in discoteca in un mese pari a 3,
con una deviazione standard x=3,3. Il quesito di ricerca si traduce nel confronto
tra due ipotesi opposte formulate dal ricercatore:
L’osservazione empirica
H0: tra le ragazze che per studio
vivono per vari giorni all’anno
lontano dal controllo dei genitori
non si manifestano comportamenti più liberi.
In termini statistici le due
ipotesi sono formulabili
così:
Ipotesi 0: 3
Ipotesi 1: >3
H1: tra le ragazze che per motivi
di studio vivono per vari giorni
all’anno lontano dal controllo dei
genitori si manifestano comportamenti più liberi.
Con riferimento al quesito di ricerca sopra formulato
le due idee ci dicono che:
H0: la congettura esposta non ha valore reale. Il
valore osservato di X è dovuto solo al caso.
H1: esiste un’alternativa che è proprio la congettura
che si vuole verificare o “provare”.
3) L’osservazione empirica: Si imposta un ‘esperimento’ campionario per scegliere tra le due ipotesi. A tal fine si seleziona un campione di n=100 studentesse che frequentino corsi universitari in una sede lontana da casa dei genitori.
Dai dati campionari risulta un numero medio di x=4 serate. Sapendo da dati
nazionali che la deviazione standard è X=3,3 si ricava l’errore standard pari a
x=X/n=0,33. Che conclusioni trarre sulla base del risultato dell’esperimento?
Dalla rilevazione alla decisione
passando per un test statistico
4) La decisione: per verificare quale delle due idee sia vera, adottiamo il metodo del test statistico. Supponiamo per un attimo di accettare l’ipotesi H0. Sotto
questa ipotesi si può calcolare una statistica definita come distanza (in termini
di errore standard) tra il valore osservato della media campionaria (4) e quello
atteso associato all’ipotesi H0 (3). La statistica non è altro che la standardizzata z
z = (valore osservato-valore atteso)/errore standard = (4-3)/0,33 +3
L’area sottesa alla curva a destra di +3 è davvero piccola! Nelle tavole della normale si trova un’area pari a 0,5-P(3) = 0,5-0,49865 = 0,00135 = 1,35‰.
Insomma l’evento “4 serate in discoteca” è così improbabile (poco più dell’uno
permille) da fare rigettare l’ipotesi H0.
Nota Bene. Se il campione non è troppo piccolo
(almeno 30) si è autorizzati a sostituire a la
deviazione standard s del campione per
calcolare la statistica-test z, che si distribuirà
ancora secondo una N(0,1). Se il campione è <
30 casi ricorreremo ad una statistica-test
diversa da z, quale è il test t, sempre
sostituendo s a .
+3
P-value e valori critici
La probabilità di osservare valori campionari molto distanti, in termini di errore
standard, da quello atteso sotto l’ipotesi nulla (es. 1 permille) è chiamata livello di
significatività osservato o P-value. Nell’esempio il P-value del test è 0,1%”. Ciò
significa che in 1000 ripetizioni dell’esperimento (campione) solo una genererà un
valore della statistica-test z (distanza tra valore osservato e atteso) come quello
osservato o al limite più estremo. Se il P-value è piccolo c’è poca evidenza empirica
a favore dell’ipotesi nulla, e questo comporta il rifiuto dell’ipotesi nulla.
Se il P-value o livello di significatività è la probabilità che il valore osservato della
statistica-test cada al di fuori dei valori critici (cioè entro la regione di rifiuto),
ipotizzando che valga l’ipotesi nulla, il livello di fiducia è il complemento ad 1 del
livello di significatività: è la probabilità (1 - ) che la statistica-test cada entro la
regione di accettazione, supponendo che sia vera l’ipotesi nulla.
Utilizzando le tavole della N(0,1), è possibile segnalare alcuni valori critici della
statistica-test z. Solitamente si scelgono per i valori 0,05; 0,01; 0,001.
Percentuale dell’area totale
P-value compresa tra il valore medio Valori critici
(0) e il valore critico (z(1-)/2)
=5%
(1-)/2=47,5%
+1,96; -1,96
=1%
(1-)/2=49,5%
+2,58; -2,58
=0,1%
(1-)/2=49,9%
+3,3; -3,3
-3,3 -1,96
-2,58
+1,96 +3,3
+2,58
Dizionario della prova di ipotesi
IPOTESI è una dichiarazione
sul valore di un parametro
osservato sulla popolazione.
IPOTESI NULLA (H0): è l’ipotesi
del niente fuori dell’ordinario, del
“no-difference”.
LIVELLO DI SIGNIFICATIVITÁ
è la probabilità (più spesso 5%
o 1%) che il valore osservato cada
al di fuori dei valori critici (cioè
nella REGIONE DI RIFIUTO),
pur appartenendo alla popolazione
ipotizzata in H0.
LIVELLO DI FIDUCIA è il
complemento ad 1 del livello di
significatività, e quindi esprime la
probabilità (1-) che la statistica
cada
entro
la
regione
di
ACCETTAZIONE, quando sia vera
l’ipotesi nulla.
Data
la
distribuzione
campionaria
nell’ipotesi H0, il fatto che la statistica
campionaria standardizzata si collochi
nella regione di rifiuto o in quella di
accettazione porta a decidere se rifiutare
o accettare l’ipotesi.
+3
