Un po’ di precisazioni
-i Eit
Ψ (x,t)= Φ (x) e
i
i
i=1,2,3,.....,∞
ĤΦ =EiΦi
i
Abbiamo detto che un generico stato può sempre essere
scritto come:
Ψ(x,t)=∑iciΦi(x)e(-itEi/ℏ)
Preciazione: Questa è una scrittura semplificata, in cui l’indice “i” indica in realtà
tutti gli indici che servono per descrivere lo stato del sistema.
Es. Le autofunzioni per l’hamiltoniano dell’atomo di idrogeno
sono del tipo:
Ψ(r,θ,φ)=Rn,l(r)Ylm(θ,φ);
ĤΨ(r,θ,φ)=EnΨ(r,θ,φ);
lo stato del sistema è specificato
da 3 numeri quantici
i livelli energetici del sistema sono
specificati dal solo n, e sono pertanto degeneri
Ψ(r,θ,φ,t)=∑n,l,m cn,l,m ψn,l,m(r,θ,φ)e(-itEn/ℏ)
<ψn,l,m(r,θ,φ)|ψn’,l’,m’(r,θ,φ)>=δn,n’δl,l’δm,m’
Ovviamente posso avere indici multipli anche scrivendo lo stato del sistema come combinazione lineare di
autofunzioni di operatori diversi dall’hamiltoniano.
Ψ(x,t)=∑i,j,k cijk(t) fi,j,k(x)
In verità finora non abbiamo considerato un caso importante,
ovvero quello di spettri continui.
Autofunzioni dell’operatore momento (1D)
px =-iℏ
x
-iℏ
f(x)=pf(x)
x
f(x)=Aeipx/ℏ
f(x)= ipf(x)
x
ℏ
Identiche a quelle di
? No!
Lz
1. La condizione f(o)=f(2π) discretizzava
i valori possibili degli autovalori
2. Lo spazio di Hilbert corrispondente era
L2(0,2π) su cui potevo imporre la normalizzazione.
Autofunzioni dell’operatore momento (1D)
f(x)=Aeipx/ℏ≡ fp(x)
p=autovalore, p∈R
+∞
|fp|2=
|A|2;
|A|2 dx diverge per |A|≠0
-∞
Noi avevamo dimostrato che px era autoaggiunto in L2(R), possibile che ammetta
autofunzioni non appartenenti a L2(R)?Sì.
E tutta la questione del sonc, etc? Non è vera, ma è “quasi vera”.
Rappresentazione in integrale di Fourier
f(x)=
+∞
1
ikx
e
dk
f(k)
2π
-∞
f(k)=
+∞
1
dx e-ikx f(x)
2π
-∞
(Estensione in 3D immediata)
+∞ +∞ +∞
f(x)=
1
(2π)
3/2
-∞ -∞ -∞
dkxdkydkz
eik·xf(k)
Delta di Dirac
δ(x-x0)=0 se x≠x0;
+∞
dx δ(x-x0) f(x)
f(x0)=
-∞
f(k)=
δ(x)=
1
+∞
-ikx
e
dx
δ(x)=
2π
-∞
+∞
1
ikx
e
dk
2π
-∞
1
2π
Delta di Dirac
δ(x)=
+∞
1
ikx
e
dk
2π
-∞
δ(k)=
+∞
1
ikx
e
dx
2π
-∞
Autofunzioni dell’operatore momento (1D)
<fp’(x),fp(x)>=
+∞
*
|A|2 fp’(x)fp(x)dx
Aeipx/ℏ≡ fp(x)
-∞
<fp’(x),fp(x)>= |A|22πℏ
fp(x)=
eipx/ℏ
2π ℏ
δ(p’-p)
<fp’(x),fp(x)>=
δ(p’-p)
<fn’(x),fn(x)>=
δn’,n
Spettro continuo->autofunzioni “improprie” o “alla Dirac”. In senso
generalizzato sono un sonc!
fp(x)=
f(x)=∑ncnfn(x); cm=<fm|f(x)>
eipx/ℏ
2π ℏ
+∞
c(p)fp(x)dp
f(x)=
Certo che posso scriverla sempre
così. Equivale alla rappresentazione
in integrale di Fourier!
-∞
+∞
<fp’(x)|f(x)>=
+∞
dx
-∞
dp
+∞
dp c(p) dx
-∞
c(p)fp(x)dp
-∞
+∞
<fp’(x)|f(x)>=
*
fp’(x)
-∞
*
fp’(x)
fp(x)=c(p’)
<fp’(x)|f(x)>=c(p’)
Questa scrittura altro non dice che i
c(p) sono la trasformata di Fourier
di f(x)
|c(p)|2dp=prob. di trovare la particella in un
intervallino
attorno all’autostato improprio
+∞
f(x)=
-∞
ipx/ℏ
e
c(p)
dp
2π ℏ
+∞
Ψ(x,t)=
-∞
Funzione d’onda nello
“spazio della posizione”
c(p,t) eipx/ℏ
dp
2π ℏ
Funzione d’onda nello
“spazio dei momenti”
Autofunzioni dell’operatore posizione
Âfy(x)=λyfy(x);
xfy(x)=λyfy(x); fy(x)=Aδ(x-y)
ma A=1 già garantisce ortonormalità generalizzata.
Autovalori: ogni y∈R
+∞
dxδ(x-y)δ(x-y’)=δ(y’-y)->ortonormalità generalizzata
<fy’(x)|fy(x)>=
-∞
+∞
Dim: porre g(x)=δ(x-y’) e considerare che f(y)=
dx δ(x)f(x-y)
-∞
Autofunzioni dell’operatore posizione
La completezza generalizzata è banale: è ovvio che per ogni f(x)
posso scrivere:
+∞
dy c(y) δ(x-y): basta porre c(y)=f(y); ovviamente:
f(x)=
-∞
+∞
<δ(x-y’)|f(x)>=
+∞
=
-∞
+∞
dx
-∞
+∞
dy δ(x-y’) c(y) δ(x-y)
-∞
+∞
dx δ(x-y’)δ(x-y)=
dy c(y)
-∞
dyc(y)δ(y-y’)
-∞
=c(y’) cvd
Formalismo di Dirac (cenni)
1. Ogni elemento dello spazio di Hilbert è indicato con |f
e viene detto “ket”.
Di un ket non si specificano le variabili da cui dipende
(tipo x,y,z vs r,θ,φ vs altre, vedi oltre); il formalismo vuole
essere il più generale possibile. Può (dipende dai libri, in
generale lo si capisce dal contesto) invece essere specificata
la dipendenza temporale: |f(t) . Fin qui niente di strano.
E’ solo una questione di nomenclatura.
Formalismo di Dirac (cenni)
2. Si introduce il concetto di “bra”. In particolare, il simbolo g|
indica un funzionale lineare che agisce sui ket, assegnando ad
ogni vettore |f dello spazio di Hilbert il numero complesso dato
dal prodotto interno
g| f
I bra vivono nello spazio “duale” dello spazio di hilbert
H, indicato con H*. Ad ogni ket ￨g＞∈H posso associare
il bra ＜g|∈H* che agisce su ogni ￨f＞∈H associandogli
＜g|f＞. In quest’ottica, ogni prodotto interno ＜g|f＞ è visto
come il risultato dell’azione del bra ＜g| sul ket ￨f＞:
＜g|(￨f＞)≡ ＜g|f＞.
Formalismo di Dirac (cenni)
2. Si introduce il concetto di “bra”. In particolare, il simbolo g|
indica un funzionale lineare che agisce sui ket, assegnando ad
ogni vettore |f dello spazio di Hilbert il numero complesso dato
dal prodotto interno
g| f
Oss: Dati f,g,h∈H, a,b∈C, ＜g￨af+bh＞=a＜g￨f＞+ b＜g￨h＞
Ok, è proprio lineare ...
Formalismo di Dirac (cenni)
Non è un concetto così strano. Un operatore  associa
|f
ad ogni elemento dello spazio di Hilbert
(e, quindi, ad ogni ket), un altro vettore
dello spazio di Hilbert (e, quindi, un altro ket)
|h = Â
|f
Un bra, invece, assegna ad ogni vettore un numero complesso.
In quest’ottica un prodotto interno è visto come il risultato dell’applicazione di un bra su un
ket.
Formalismo di Dirac (cenni)
Osservazione: se λ,μ∈C; u,f,a,b∈Hilbert e
|u =λ|a +μ|b
allora
＜u￨f＞ =(vecchio formalismo)=＜(λa+μb)|f>=
λ*＜a￨f＞+μ*＜b|f＞=
=(nuovo formalismo) =(λ*＜a￨+μ*＜b￨)￨f＞, e quindi, se
￨u＞=λ￨a＞+μ￨b>, allora il bra associato al ket ￨u＞ è
＜u￨=λ*＜a￨+μ*＜b￨
(Segue anche da ＜u￨f＞= ＜f￨u＞*).
Si dice che la corrispondenza tra bra e ket è antilineare.
Formalismo di Dirac (cenni)
Osservazione: se λ∈C; f∈Hilbert
￨λf＞=λ￨f＞=￨f＞λ
＜λf￨=λ*＜f￨=＜f￨λ*
Quindi nel prodotto tra uno scalare e un bra o tra uno
scalare e un ket l’ordine non è importante. Ovviamente,
lo è invece tra bra e ket:
＜f￨g＞∈C;
￨g＞＜f￨ è un operatore! ￨g＞＜f￨h＞=＜f￨h＞￨g＞
Formalismo di Dirac (cenni)
Adesso considero un operatore Â. Evidentemente,
tale operatore agisce in modo naturale sui ket.
Â￨f＞=￨h＞. Definisco l’azione di un operatore su un bra, di
modo che fornisca un nuovo bra.
Se ＜f￨ indica il funzionale che associa ad ogni ket ￨g＞ un
numero complesso dato dal prodotto interno ＜f￨g＞, definisco Â
applicato ad ＜f￨ come un funzionale che prende un vettore ￨g＞
, gli applica  e poi calcola il prodotto interno con ＜f￨. Si indica
con ＜f￨Â, e la sua azione è espressa da (＜f￨Â )￨g＞≡ ＜f￨(Â￨g
＞)
so cosa vuol dire
Formalismo di Dirac (cenni)
(＜f￨Â )￨g＞≡ ＜f￨(Â￨g＞)
Se ＜f￨ è un bra, ＜f￨Â è anche un bra. Se agisce su ￨g＞
fornisce il numero complesso ＜f￨Â￨g＞. Notare che le
parentesi non servono. Vista la definizione (*) è uguale
pensare che  sia applicato al ket ￨g＞ o al bra ￨f＞.
Oss: se avessi usato il simbolo Â＜f￨, la sua applicazione
a ￨g＞ si sarebbe scritta Â＜f￨g＞ (operatore che agisce su
numero complesso?)
Formalismo di Dirac (cenni)
(＜f￨Â )￨g＞≡ ＜f￨(Â￨g＞)
Abbiamo detto che ＜f￨Â è un bra. Quale sarà il suo ket
corrispondente?
Notare che dato ￨f＞ e presa una ￨g＞,
＜f￨g＞=＜g￨f＞* che può essere presa come definizione
del bra ＜f￨
Usando la vecchia notazione:
＜g￨Âf＞*= ＜Âf￨g＞= ＜f￨†g＞->
＜f￨†g＞= ＜g￨Âf＞*
(nuova notazione: ＜f￨†￨g＞= ＜g￨Â￨f＞*)
Il bra associato al ket ￨Âf＞ (=Â￨f＞) è il bra
＜f￨†
Formalismo di Dirac (cenni)
Autovettori
Se  ammette autovalori α1,...,αn, allora indicherò
gli autovettori con ￨αi＞. Se j è un indice di
degenerazione, allora gli autovettori saranno del tipo
￨αi, j＞
 ￨αi, j＞=αi￨αi, j＞;
A volte si condensa ancora di più la scrittura. Es:
atomo di idrogeno: autovettori
￨n,l,m＞; Ĥ￨n,l,m＞=En￨n,l,m＞ (En=-13.6eV/n2).
Ortonormalità: ＜n’,l’,m’￨n,l,m＞=δn’,nδl’,lδm’,m
Se lo spettro è continuo, la notazione non cambia:
ad esempio  ￨α＞=α￨α＞; α∈R
Formalismo di Dirac (cenni)
Proiezione su un sonc
Supponiamo che l’insieme di ket
￨yn＞ costituisca un sonc.
Preso un qualunque vettore (ket) ￨f＞, la sua proiezione su
￨yn＞ è data da
＜yn￨f＞ ￨yn＞, che nella nuova notazione
può essere vista come l’applicazione dell’operatore
Pn= ￨yn＞ ＜yn￨ sul ket ￨yn＞ (ovviamente,
￨yn＞ ＜yn￨f＞=＜yn￨f＞ ￨yn＞). Bene, ma se gli ￨yn＞ sono un
sonc, allora deve valere:
￨f＞=∑n＜yn￨f＞ ￨yn＞=∑n (￨yn＞ ＜yn￨)￨f＞=(∑n ￨yn＞ ＜yn￨)￨f＞➞
∑n ￨yn＞ ＜yn￨ = 1 (nel senso di operatore identità).
Formalismo di Dirac (cenni)
∑n ￨yn＞ ＜yn￨ = 1 (nel senso di operatore identità).
Se il sonc è continuo e gli autovalori sono tutti i reali, la relazione diventa:
+∞
￨α＞ ＜α￨dα = 1
-∞
Proiezione su un sonc discreto
＜f￨g＞=＜f￨1￨g＞=＜f￨ ∑n ￨yn＞ ＜yn￨g＞= ∑n ＜f￨yn＞＜yn￨g＞
Prodotto interno tra due vettori astratti espresso in termini della
somma dei prodotti delle loro componenti (la prima c.c.).
Formalismo di Dirac (cenni)
Equazione agli autovalori per l’operatore-posizione
x￨x＞=x￨x＞; x∈R. Le ￨x＞ sono un sonc ➞
+∞
￨x’＞ ＜x’￨dx’ = 1
-∞
+∞
￨f(t)＞=
￨x’＞ ＜x’￨f(t)＞ dx’ = 1.
-∞
Coefficiente che fornisce la proiezione
di f(t) sull’autofunzione specifica della
posizione➞ |＜x’￨f(t)＞|2 dx’ = probabilità di
trovare la particella attorno a x’. Ehy, ma
questa è la funzione d’onda f(x’,t)
Formulazione generale della meccanica quantistica e
“rappresentazioni”.
Postulato 1: Ad ogni sistema fisico S è associabile uno spazio di
Hilbert H(S). Ogni stato del sistema è
rappresentato da un elemento ￨Ψ(t)＞∈ H(S). L’evoluzione del
sistema è determinata dall’equazione di Schrödinger:
Ĥ￨Ψ(t)＞=iℏd/dt(￨Ψ(t)＞) dove Ĥ è un opportuno operatore
autoaggiunto.
Dopodichè, se prendo il vettore astratto ￨Ψ(t)＞ e gli
applico il bra ＜x￨, ottengo la “funzione d’onda nella rappresentazione
di Schrödinger (o “nello spazio delle posizioni”) Ψ(x,t)= ＜x￨Ψ(t)＞
In tale rappresentazione, l’operatore posizione è quello di
moltiplicazione, il momento quello di derivazione, e l’equazione di
Schrödinger è quella cui siamo abituati. Ma è solo una “scelta”.
Rappresentazione nello spazio dei momenti
Equazione agli autovalori per l’operatore-momento
p￨p＞=p￨p＞; p∈R. Le ￨p＞ sono un sonc ➞
+∞
￨p’＞ ＜p’￨dp’ = 1
-∞
+∞
￨f(t)＞=
￨p’＞ ＜p’￨f(t)＞ dp’ = 1.
-∞
Coefficiente che fornisce la proiezione
di f(t) sull’autofunzione specifica del
momento➞ |＜p’￨f(t)＞|2 dp’ = probabilità di
trovare la particella con momento attorno a p’.
Ehy, ma questa è la trasformata di Fourier (c(p,t)) della funzione
d’onda nello spazio delle posizioni.
p￨p＞=p￨p＞; p∈R.
x￨x＞=x￨x＞
Come agiscono? Prendo una generica ￨f＞ e considero:
x￨f＞
applico il bra
＜x￨
＜x￨
x￨f＞=x＜x￨f＞. Ho scritto che, nella rappresentazione
dello spazio delle posizioni:
xf(x)=xf(x)
Come agiscono? Prendo una generica ￨f＞ e considero:
p￨f＞
applico il bra
＜x￨
＜x￨ p￨f＞=＜x￨pf＞.
questo vuol dire considerare la funzione pf(x), che
conosciamo:
＜x￨ p￨f＞=-i ℏ∂ ＜x￨f＞
x
ma nella rappresentazione dei momenti
＜p￨p￨f＞=p＜p￨f＞
diventa l’operatore di moltiplicazione! (pensare a cosa
fa una derivata che agisce sulla TdF)
Notare che:
＜x￨p＞=
eipx/ℏ
2π ℏ
Tutto è ovviamente estendibile in 3 (o più) dimensioni. In
3D, se indico con ￨n,l,m＞ le
autofunzioni per un potenziale centrale, allora:
＜x￨n,l,m＞=Rnl(r)Ylm(θ,φ)
