Elettrodinamica 1
30 settembre 2015
Esperienze di Faraday
Legge di Faraday-Neumann
Fem dinamica, corrente indotta
Legge di Lenz e conservazione dell’energia
Moto di un conduttore in un campo B
Lavoro della forza
Spira in moto in un campo B
Fem dinamica e variazione del flusso di B
Applicazioni dell’induzione
Faraday (1831)
• Studia situazioni sperimentali diverse
– Moto di un circuito in un campo B fisso
– Moto di un campo B rispetto a un circuito fisso
– Variazione d’intensita` del campo B
• Arriva alla conclusione che una variazione
del flusso del campo B concatenato con il
circuito induce una fem nel circuito
•
Il flusso concatenato è il flusso attraverso una qualunque superficie che appoggia sul
circuito
2
Faraday
• Scoperta di una nuova legge
• La fem è attribuita all’esistenza di un
nuovo tipo di campo E, dinamico o
indotto
• Anche una variazione geometrica del
circuito nel campo B produce una fem
– Variazione di dimensioni
– Variazione di orientazione
3
Legge di Faraday-Neumann
• 2a eq. dell’e.m. nella sua forma completa
d B
E E dl
dt
C
• Il segno negativo ha a che fare con il verso
della fem (legge di Lenz)
• I campi E statici sono conservativi: l’integrale di
linea di E su un cammino chiuso e` nullo
• I campi E indotti non sono conservativi:
l’integrale e` uguale alla fem
4
Circuito a più spire
• Se il circuito è formato da più spire, bisogna
sommare il contributo di ogni spira
• Se ci sono N spire tutte uguali in un campo B
in totale avremo N volte il flusso, e la fem, di
una spira
5
Corrente indotta
• Se il circuito è chiuso ed è resistivo, la fem
genera una corrente, detta corrente indotta,
data da
E
i
R
• Ove R è la resistenza totale del circuito
6
fem indotta
• La fem è presente anche se il circuito non è
chiuso
• Finora la fem era localizzata (es. tra i morsetti
di una batteria)
• La fem indotta da un flusso magnetico variabile
si può invece considerare distribuita in tutto il
circuito
• La fem può anzi essere attribuita allo spazio in
cui è presente il campo B variabile: ai capi del
circuito è presente una fem in quanto esso
occupa uno spazio in cui è presente una fem
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Legge di Lenz
• Prescrive il segno negativo davanti alla
variazione del flusso magnetico
• La fem indotta e la corrente indotta hanno
verso tale da opporsi alla variazione che le
genera
• Questo segno garantisce l’accordo con la
conservazione dell’energia
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Legge di Lenz: magnete che si
avvicina ad una spira
2 1
S
N
1
S
N
2
• Il campo B del magnete è rivolto verso destra
• Orientiamo la spira concordemente al campo B
• Il flusso del campo è positivo
0
t
Scelta arbitraria
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Legge di Lenz: magnete che si
avvicina ad una spira
2 1
S
N
1
S
N
2
0
t
• All’avvicinarsi del magnete, il flusso aumenta (diviene
ancora più positivo), quindi la fem e la corrente indotte
nella spira devono essere negative, cioè generare un
campo indotto B il cui flusso sia opposto (in questo caso
negativo)
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Legge di Lenz: circuiti affacciati
percorsi da correnti variabili
C1
C2
A
C1
C2
A
• I1 crescente, flusso di B1 attraverso C2 crescente →
I2 negativo, flusso di B2 attraverso C2 negativo
• I1 decrescente, flusso di B1 attraverso C2 decrescente →
I2 positivo, flusso di B2 attraverso C2 positivo
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Moto di un conduttore in campo B
B
• Sbarra conduttrice inizialmente
f qv B
ferma, è posta in moto
perpendicolarmente alla sua
lunghezza (l) e a un campo B
• Supponiamo che la velocità
finale v sia costante
• Gli elettroni della sbarra
B
risentono della forza di Lorentz
e vengono spinti lungo il
conduttore verso l’estremità
lontana
+
v
-
v
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Fem e campo elettrico dinamici
• Il lavoro eseguito dalla forza su una carica q
trasportata (lungo una linea C) entro il conduttore
in moto con velocità v è
L f dl qv B dl
C
C
• Il lavoro per unità di carica è la fem dinamica
L 1
E
f dl v B dl vBl
q
q
C
C
• e v B si puo` considerare
elettrico
un campo
dinamico:
Ed v B
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Stato di moto transitorio
• Poiché gli elettroni non possono fuoriuscire
dalla sbarra, si accumulano all’estremità lontana
• All’estremità vicina avremo un eccesso di carica
positiva
B
-
v
+
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Campo statico. Equilibrio
• La separazione di carica genera un
campo elettrico statico all’interno e
all’esterno della sbarra
• Questo campo si oppone con una
forza ad un ulteriore accumulo di
elettroni
f s qE s
• Lo stato di moto transitorio ha
termine e si giunge all’equilibrio
quando le due forze
si annullano
a
vicenda
qEs qv B 0
• In questa situazione i due campi
soddisfano:
B
-
f qv B
f s qE s
+
E s E d v B
15
v
Flusso di corrente
• Se la sbarra fa parte di un circuito è possibile
che l’equilibrio non venga mai raggiunto e si
abbia un flusso di corrente dovuto alla presenza
della fem
B
v
v
Velocità degli
elettroni
fL
q
vd
ve
s
B
X
• Consideriamo una situazione in cui gli elettroni si
muovano lungo il conduttore
• La loro velocità ve è la somma della velocità v della
sbarra e della componente vd associata al moto
lungo la sbarra
ve v vd
• ve determina una forza di Lorentz fL, agente sugli
elettroni, perpendicolare a ve
17
fd
Forza vincolare
v
q
vd
fL
ve
s
fv
B
X
• vd determina una forza di Lorentz fd sugli elettroni,
perpendicolare alla sbarra, in verso opposto al
moto
• La risultante di tutte queste forze fd è una forza che
agisce sulla sbarra, anch’essa in verso opposto al
moto
• Il vincolo (la superficie della sbarra) reagisce con
una forza fv = -fd su ogni elettrone
• NB: Le cariche rimangono contenute nella sbarra
18
v
Lavoro della forza f f
• Calcoliamo illavoro
fatto
dalla
forza totale f f L f v agente
su un elettrone
f
L
q
ve
s
fv
B
X
b
f f L sin q qve B sin q qvB
L f ds f s fs cosq fl qvBl
• oppure L
S
S
f ds f L f v ds f L ds f v ds
S
0 f v s f v s sin q f v b
S
S
• Com’è noto, la forza di Lorentz fa lavoro nullo, quindi
il lavoro è dovuto tutto alla reazione vincolare
• Nota: ovviamente i due risultati sono identici: fl f v b 19
l
Generatore di fem
• Abbiamo visto che è presente una forza che si
oppone al moto della sbarra
• Ne segue che affinché la sbarra si muova di
moto non ritardato è necessario che ci sia una
forza esterna, ovvero una sorgente esterna di
energia (p.e. meccanica)
• L’energia che fa circolare la corrente non
proviene dal campo B: esso solo converte
l’energia meccanica (esterna) in energia
elettrodinamica
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Spira in moto in un campo B
• Spira di dimensioni b e h
• Scegliamo k come verso positivo di
percorrenza della spira
• Campo uniforme: gli elettroni su
ciascun lato sentono la stessa forza
• Risultato: c’è accumulo di carica sui
lati vicino e lontano
B
---------
B
v
+++++++++
• La fem totale sulla spira è nulla:
– sui lati vicino e lontano la forza è
perpendicolare allo spostamento
– La forza è uguale sui lati destro e
sinistro, percorsi in verso opposto
E v B dl 0
C
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Spira in moto in un campo B
• Campo non uniforme: gli elettroni
sul lato sinistro e destro sentono le
forze
f1 qv B1
B1
f1
B2
f2
v
f 2 qv B2
• Poiche’ f1>f2 gli elettroni
circoleranno in senso orario (e
quindi la corrente associata in
senso antiorario)
• La fem lungo la spira e`
E v B dl v B1 dl v B2 dl
C
Ls
vB1h vB2 h vB1 B2 h
Ld
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Relazione tra fem e variazione di
flusso
B1
B2
• Nel tempo dt il circuito
si sposta di vdt
• Il flusso diminuisce a
sinistra e aumenta a
v dt
destra risp. di
B2hvdt
B1hvdt
• La variazione di
d B1 B2 hvdt
flusso totale è quindi
• Confrontando con
d
E B1 B2 hv
l’espressione
dt
precedente della fem
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Legge di Lenz e forza su una spira
• La fem fa fluire corrente nel circuito
in verso antiorario
B1
F1
B2
F2
v
• Se c’è resistenza, un po’ di energia viene dissipata in
calore
• I lati della spira sono sottoposti a forze: F2 per il lato a
destra e F1 per il lato a sinistra
• F1 è maggiore di F2 e la forza risultante si oppone al moto
• Per mantenere la spira a velocità costante ci vuole un
agente esterno che fornisca energia
• Questa energia si ritrova alla fine come calore nel filo
•
Se la spira accelera, l’agente esterno deve anche fornire energia cinetica
24
Legge di Lenz e conservazione
dell’energia
• Se fosse vero l’opposto della legge di
Lenz, la forza agente sulla spira ne
farebbe aumentare la velocità
• Questo porterebbe ad un aumento della
forza acceleratrice, creando una
situazione a feedback positivo
• Come conseguenza l’energia non si
conserverebbe, ma aumenterebbe
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Applicazioni dell’induzione
•
•
•
•
•
•
•
Correnti di Foucault
Forno a induzione
Freno elettromagnetico
Alternatore
Misura del campo B
Betatrone
Disco di Faraday (ruota di Barlow)
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Esercizio
• Una spira, immersa in un campo B uniforme, si muove
con velocita` v
C
v
B
A
• Determinare la fem indotta nella spira
• Determinare la fem indotta tra i punti A e C
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Esercizio
• Un filo conduttore AC, immerso in un campo B uniforme,
si muove con velocita` v
C
v
B
A
• Determinare la fem indotta tra i punti A e C
– Usando la forza di Lorentz
– Usando la legge di Faraday
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Esercizio
• Trovare la fem indotta tra centro e circonferenza di un
disco di Faraday (o ruota di Barlow)
29
