Meccanica 12
11 aprile 2011
Urti
Conservazione della quantita` di moto e teorema dell’impulso
Energia cinetica
Urti elastici e anelastici
Urto con corpi vincolati
Urto
• È un’interazione tra due (o più) corpi che
avviene in un intervallo di tempo “piccolo”
• Abbastanza piccolo affinché l’azione di
eventuali forze esterne al sistema dei due
corpi sia trascurabile rispetto all’azione delle
forze interne
• Durante l’urto si sviluppano forze interne di
durata Dt molto breve ma che possono
assumere intensità molto elevate
• Queste sono dette forze impulsive
2
Tipologia
•
•
•
•
Urti in una, due, tre dimensioni
Urti fra punti materiali
Urti fra punti materiali e corpi estesi
Urti fra corpi estesi
3
Definizioni
• Distinguiamo due stati: quello iniziale
prima dell’urto e quello finale dopo l’urto
• Ci interessa correlare i valori che le
grandezze assumono negli stati iniziale
e finale
• Non ci occuperemo invece di quel che
accade durante l’urto
4
Definizioni
• Diciamo m1 e m2 le masse dei due corpi
• Diciamo v1i , v2i le velocità dei due corpi nello
stato iniziale e v1f , v2f nello stato finale
Stato iniziale
m1
v1i
v2i
m2
Urto
v1f
tempo
Stato finale
5
v2f
Conservazione della QM
• In assenza di forze esterne, la QM del
sistema dei due corpi si deve
conservare
pi p f
m1v1i m2v 2i m1v1 f m2v 2 f
• Riarrangiando, troviamo la variazione di
QM di ciascun corpo
m1 v1f v1i m2 v2 f v 2i
Dp1 Dp2
6
Teorema dell’impulso
• Cioè la variazione di QM del primo corpo è
uguale e contraria a quella del secondo
• Ciò si può anche esprimere col th.
dell’impulso tenuto conto che le forze di
interazione sono uguali e contrarie
Dt
m1 v1 f v1i Dp1 F1( 2) dt J1( 2)
0
Dt
m2 v2 f v2i Dp2 F2(1) dt J 2(1)
0
7
Sistema del CM
• Fintanto che si possono trascurare le
forze esterne agenti sul sistema dei due
corpi, la velocità del CM è costante
• Mediante una trasformazione di Galileo
possiamo metterci in un sistema
inerziale in cui la velocità del CM è nulla
• Tale sistema è, ovviamente, il sistema
del CM
• La relazione tra le velocità espresse nel
sistema iniziale e nel sistema del CM è
• In questo sistema la QM di moto è
sempre nulla
VCMi VCMf
v * v VCM
8
Conservazione della QM
• Si può assumere che la QM si conservi anche
in presenza di forze esterne, a patto che
queste non siano impulsive e quindi siano
abbastanza deboli per non cambiare
sostanzialmente la QM del sistema
nell’intervallo di tempo in cui avviene l’urto
• Nel limite ideale di durata infinitesima dell’urto
qualunque forza non impulsiva dà contributo
nullo alla QM
9
Conservazione della QM
• Questo si può vedere usando il teorema del
valor medio applicato alle forze esterne
Dt
J ex Fex dt Fex Dt
0
• Se Fex (e quindi <Fex>) rimane limitata, per Dt
infinitesimo l’impulso diventa infinitesimo
10
Riassunto
• Nell’urto avviene uno scambio di QM tra
i due corpi che costituiscono il sistema,
dovuto alle forze interne che agiscono
fra loro
• La QM del sistema si conserva, cioè la
QM dello stato iniziale è uguale alla QM
dello stato finale
11
Energia meccanica, cinetica
• Generalmente l’energia meccanica non si
conserva in un urto
• Tutto dipende dal fatto se le forze interne
sono conservative oppure no
• Lo stesso vale per l’energia cinetica, che in
generale non si conserva in un urto
• Useremo il th. di König dell’energia cinetica
K KCM
1
1
1
2
*2
*2
K m1 m2 VCM m1v1 m2v 2
2
2
2
*
12
Urti anelastici
• Un urto è più o meno anelastico a misura di
quanta energia cinetica K viene persa
• Un urto è elastico se K si conserva
• È totalmente anelastico se la perdita di K è
massima
• Per sapere quando questo accade ci si pone
nel sistema del CM e si richiede che l’energia
cinetica dopo l’urto sia nulla (i due corpi
rimangono attaccati formando un unico
corpo)
*
urto totalmente
Kf 0
anelastico
13
Urti anelastici
• Nei casi intermedi possiamo definire il
coefficiente di restituzione
e
K *f
K i*
• Il caso elastico corrisponde a e=1
• Il caso totalmente anelastico a e=0
14
Urto totalmente anelastico fra
due corpi
m1v1i m2v2i pi
• Stato iniziale
• Dalla definizione di CM possiamo anche
scrivere
m1 m2 VCMi pi
• Stato finale: i due corpi si attaccano insieme
m1 m2 v f p f m1 m2 VCMf
• Quindi v f VCMf
agiscono solo forze interne, la QM si
• Poiché
conserva, ne segue
v f VCMf
m1v1i m2v 2i
VCMi
m1 m2
15
Urto totalmente anelastico fra
due corpi
• Confrontiamo l’energia cinetica nello stato
iniziale:
1
2
K i KCMi K m1 m2 VCM
K i*
2
*
i
• e nello stato finale
K f KCMf
1
2
K m1 m2 VCM
0
2
*
f
• La perdita di energia cinetica è pari a K *
i
16
Urto elastico in 1-D
• Consideriamo il semplice caso di urto in 1-D,
cioè tale per cui le velocità, iniziali e finali,
sono tutte lungo una sola direzione (urto
centrale)
• Applichiamo la conservazione della QM
m1v1i m2v 2i m1v1 f m2v 2 f
• e la conservazione dell’energia cinetica
1
1
1
1
2
2
2
m1v1i m2v 2i m1v1 f m2v 22 f
2
2
2
2
17
Urto elastico in 1-D
• Le due eqq. costituiscono un sistema in due
incognite, che è possibile risolvere con i
metodi noti; otteniamo
m1 m2
2m2
v1 f
v1i
v 2i
m1 m2
m1 m2
v2 f
2m1
m1 m2
v1i
v 2i
m1 m2
m1 m2
18
Urto elastico in 2-D
• Se l’urto non e` centrale i principi di conservazione
non bastano a risolvere il problema
m1v1i m2 v2i m1v1 f m2 v2 f
1
1
1
1
2
2
2
m1v1i m2v 2i m1v1 f m2v 22 f
2
2
2
2
• Abbiamo tre eqq. ma quattro incognite: p1 f , p2 f ,q , f
p1i
i
p2f
f
f
p2i
pi
pf
q
p1f
19
Urto con corpi vincolati
• Se c’è un vincolo che tiene fermo un punto
del corpo, durante l’urto si genera una forza
vincolare impulsiva (esterna) e quindi la QM
non si conserva
• Il vincolo agirà con una risultante di forze F e
di momenti , i cui effetti, nell’intervallo di
tempo dell’urto, sono l’impulso e l’impulso
angolare
Dt
Dt
J Fdt
0
H dt
0
20
Urto con corpi vincolati
• L’impulso è uguale alla variazione di quantità
Dt
di moto
J Fdt Dp
0
• L’impulso angolare è uguale alla variazione di
momento angolare
Dt
H dt DL
0
21
Momento angolare
• Se agiscono solo forze interne al
sistema dei due corpi, il MA si conserva
• Il MA si conserva anche rispetto ad un
polo fisso in un sistema inerziale o
rispetto al CM se il momento delle forze
esterne rispetto a quel polo è nullo
22
