Esercizi e complementi di Economia dei Sistemi Industriali 2 (teoria degli oligopoli) Introduzione alla Teoria dei Giochi Parte prima 1 TEORIA dei GIOCHI Oggetto di studio Le scelte di agenti razionali in un contesto di interazione strategica Contesto di scelta Un contesto di scelta è detto strategico quando le conseguenze di un’azione per un agente dipendono: non soltanto dalle azioni da lui compiute ma anche dalle azioni compiute da altri agenti 2 Il termine gioco Il termine gioco è utilizzato per definire un generico contesto strategico Gioco cooperativo Gioco non cooperativo I giocatori possono comunicare e stabilire accordi vincolanti prima di iniziare a giocare I giocatori non possono comunicare e stabilire accordi vincolanti prima di iniziare a giocare Le imprese prima di competere sul mercato stabiliscono accordi vincolanti I giocatori scelgono le proprie strategie indipendentemente (non agiscono in modo concertato) 3 CLASSIFICAZIONI GIOCHI STATICI I giocatori scelgono contemporaneamente GIOCHI DINAMICI I giocatori effettuano la loro scelta secondo una sequenza prestabilita di mosse DESCRIZIONE DI UN GIOCO NON COOPERATIVO FORMA NORMALE o STRATEGICA FORMA ESTESA 4 DESCRIZIONE IN FORMA NORMALE G(N, S, u) La descrizione in forma normale è caratterizzata da 3 elementi: 1. Un insieme di giocatori N = {1, 2, ..,n} 2. Un insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) Si a disposizione di ciascun giocatore iN si Si indica una generica strategia pura S = S1 S2 … Sn indica l’insieme di tutte le possibili combinazioni di strategie pure s = (s1 , s2 , … , sn ) S indica una generica combinazione di strategie pure 3. Una funzione di payoff ui : S R per ciascun giocatore i N ui (s) è il payoff del giocatore i se i giocatori scelgono la combinazione di strategie s = (s1 , s2 , … , sn ) 5 DILEMMA DEL PRIGIONIERO TACERE CONFESSARE TACERE -1, -1 -9, 0 CONFESSARE 0, -9 -6 , -6 N 1, 2 Numero dei giocatori S1 S2 tacere, confessare Insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) a disposizione di entrambi i giocatori 6 PAYOFF DEI GIOCATORI u1 tacere, tacere 1 u1 tacere, confessare 9 u1 s1 , s2 u1 confessare, tacere 0 u confessare, confessare 6 1 u2 tacere, tacere 1 u2 tacere, confessare 0 u2 s1 , s2 u2 confessare, tacere 9 u confessare, confessare 6 2 7 DUOPOLIO DI COURNOT E BERTRAND N {1, 2} insieme di giocatori (imprese) S1 =S2 =[0, +) insieme di strategie pure a disposizione di entrambi i giocatori Cournot: generica strategia si Si indica un livello di output q i funzione di payoff del giocatore i: u i (s1, s2 ) = u i (q1, q 2 ) =q i p(q1, q 2 ) - c(q i ) Bertrand: generica strategia si Si indica un livello di prezzo pi funzione di payoff del giocatore i: u i (s1, s2 ) = u i (p1, p2 ) = pi q i (p1, p2 )-c(q i (p1, p2 )) 8 Dilemma del Prigioniero Modelli di Cournot e Bertrand GIOCHI STATICI CON INFORMAZIONE COMPLETA I giocatori scelgono le loro strategie “simultaneamente" (è sufficiente che ciascun giocatore scelga la propria strategia senza conoscere la scelta dell'altro) IMPORTANZA DELLA STRUTTURA INFORMATIVA DEL GIOCO Un gioco G è caratterizzato da informazione completa se tutti i giocatori conoscono gli elementi che caratterizzano il gioco. N = {1, 2, ..,n} S = S1 S2 … Sn ui : S R i N 9 Informazione Completa Nel Dilemma Del Prigioniero Entrambi i giocatori conoscono la (bi)matrice del gioco TACERE CONFESSARE TACERE -1, -1 -9, 0 CONFESSARE 0, -9 -6 , -6 PREDIZIONE SULL'ESITO DEL GIOCO Procedura risolutiva: eliminazione iterata di strategie strettamente dominate 10 NOTAZIONI s- i (s1, ... , si -1, si 1,..., sn ) generica combinazione di strategie pure deg li avversari di i S- i S1 ... Si -1 Si 1 ... Sn insieme di tutte le possibili combinazioni di strategie pure deg li avversari di i s (si , s- i ) (s1, s2 ,..., sn ) S indica una generica combinazione di strategie pure 11 DEFINIZIONI Siano s i Si e s i Si due strategie ammissibili per il giocatore i. La strategia s i è strettamente dominata da s i se ui s i , si ui s i , si per ogni si Si La strategia s i è debolmente dominata da s i se ui s i , s i ui s i , s i per ogni s i S i e vale la disuguaglianza stretta per almeno un s i S i 12 LA PROCEDURA La procedura della eliminazione iterata di strategie strettamente dominate è basata sulla considerazione che giocatori razionali non scelgono strategie strettamente dominate nessuna credenza da parte di un giocatore, e relativa alle scelte degli avversari, è tale da rendere una strategia dominata una scelta ottima 13 ESEMPIO 1 Giocatore 1 Giocatore 2 TACERE CONFESSARE TACERE -1, -1 -9, 0 CONFESSARE 0, -9 -6, -6 14 ESEMPIO 2 Giocatore 2 Giocatore 1 SINISTRA CENTRO DESTRA SU 1, 0 1, 2 0, 1 GIU’ 0, 3 0, 1 2, 0 15 ESEMPIO 3 a3 a2 b2 a1 4, 4, 4 3, 5, 3 b1 5, 3, 3 5, 4, 1 b3 a2 b2 a1 3, 3, 5 1, 5, 4 b1 4, 1, 5 2, 2, 2 16 ESEMPIO 3 a3 a2 b2 a1 4, 4, 4 3, 5, 3 b1 5, 3, 3 5, 4, 1 b3 a2 b2 a1 3, 3, 5 1, 5, 4 b1 4, 1, 5 2, 2, 2 17 RAZIONALITA’ DEI GIOCATORI La procedura della eliminazione iterata di strategie strettamente dominate è basata sulla considerazione che: giocatori "razionali" non scelgono strategie strettamente dominate. Nessuna credenza da parte di un giocatore, relativa alle scelte degli avversari, è tale da rendere una strategia dominata una scelta ottima. L'applicazione del procedimento per un numero arbitrario di passi richiede la seguente assunzione: la "razionalità" dei giocatori è conoscenza comune (common knowledge) tutti i giocatori sono razionali; tutti i giocatori sanno che tutti sono razionali; tutti i giocatori sanno che tutti i giocatori sanno che tutti sono razionali, ecc.. 18 ESEMPIO 4 Impresa 1 Impresa 2 D ND D 4, 4 2, 11 ND 11, 2 3, 3 Due imprese scaricano su un lago Profitto delle due imprese = 10 milioni di euro Costo per il depuratore = 6 milioni di euro Multa per avere superato i limiti di inquinamento previsti dalla nuova normativa = 7 milioni di euro PROBLEMA DI FREE-RIDING 19 ESEMPIO 5 Impresa 1 Impresa 2 B1 B2 B3 A1 0, 4 4, 0 5, 3 A2 4, 0 0, 4 5, 3 A3 3, 5 3, 5 6, 6 non ci sono strategie dominate da eliminare In questo caso l’eliminazione delle strategie strettamente dominate non risolve il gioco, in generale non risolve tutte le classi di problemi Ci serve un criterio di soluzione più forte Il criterio con maggiore forza di predizione è l’equilibrio di Nash 20 EQUILIBRIO DI NASH Una combinazione di strategie s* si* , s* i è un equilibrio di Nash se ui si* , s* i ui si , s* i per ogni giocatore i e per ogni strategia ammissibile si Si un equilibrio di Nash richiede che la strategia di ogni giocatore i sia ottimale rispetto alle strategie ottimali degli avversari 21 EQUILIBRIO DI NASH risolve il problema: * u s , s max i i i siSi Per ogni giocatore i la strategia si* e la migliore risposta del giocatore i alle strategie prescritte per gli altri n-1 giocatori Nessun giocatore, preso singolarmente, desidera deviare dalla strategia prescritta L'equilibrio di Nash è una predizione sull'esito del gioco strategicamente stabile o autovincolante (self-enforcing) 22 EQUILIBRIO DI NASH Se l'eliminazione iterata di strategie strettamente dominate rimuove tutte le strategie tranne s'= (s’i, s’-i), allora queste strategie sono l'unico equilibrio di Nash s ' si' , s' i s* si* , s* i Le strategie corrispondenti ad un equilibrio di Nash sopravvivono alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate, ma non e vero il contrario Non è detto che una strategia che sopravvive alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate faccia parte di un equilibrio di Nash 23 ESEMPIO 5 Impresa 1 Impresa 2 B1 B2 B3 A1 0, 4 4, 0 5, 3 A2 4, 0 0, 4 5, 3 A3 3, 5 3, 5 6, 6 Non ci sono strategie dominate da eliminare Per determinare l’equilibrio di Nash si procede per ispezione Si marcano le strategie pure di ciascun giocatore che sono risposte ottime alle strategie pure dell’avversario sottolineando il payoff corrispondente Se in una casella risultano sottolineati entrambi i payoff, allora è stata individuata una combinazione di strategie caratterizzata dal fatto che ciascuna è la risposta ottima all’altra (equilibrio di Nash) 24 OSSERVAZIONE tutte le strategie sopravvivono alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate, ma solo la combinazione (A3, B3) soddisfa le seguenti condizioni: u1 s1* , s2* u1 s1 , s2* u2 s1* , s2* u2 s1* , s2 PROPOSIZIONE Se l'eliminazione iterata di strategie strettamente dominate rimuove tutte le strategie tranne s ' si' , s' i , allora queste strategie sono l'unico equilibrio di Nash s ' si' , s' i s* si* , s* i 25 ESEMPIO 6 e 7 B1 B2 B3 A1 1, 0 1, 2 0, 1 A2 0, 3 0, 1 2, 0 B1 B2 B3 B4 A1 0, 3 2, 2 1, 3 1, 0 A2 2, 1 3, 1 2, 3 2, 1 A3 5, 1 1, 4 1, 0 2, 2 A4 1, 0 0, 2 0, 2 3, 1 26 ESEMPIO 8 (BATTAGLIA DEI SESSI) Entrambi i giocatori desiderano trascorrere la serata insieme piuttosto che da soli, tuttavia “Iui" preferisce la partita mentre “Iei" preferisce il balletto Ciascun giocatore consegue: un payoff pari a 2 se entrambi vanno allo spettacolo da lui/lei preferito un payoff pari a 1 se entrambi vanno allo spettacolo preferito dall'altro un payoff pari a 0 se ognuno trascorre la serata da solo LUI LEI Partita Balletto Partita 2, 1 0, 0 Balletto 0, 0 1, 2 27 ESISTENZA DELL'EQUILIBRIO DI NASH Teorema. (Nash, 1950) Ogni gioco finito ammette almeno un equilibrio di Nash (eventualmente in strategie miste) Definizione: Un gioco è finito se il numero dei giocatori e quello delle strategie pure è finito. Altrimenti è infinito. Definizione: Sia Si si 1, si 2, ..., sik l'insieme delle k strategie pure disponibili per il giocatore i. Una strategia mista per il giocatore i è una distribuzione di probabilità pi ( pi 1, pi 2, ..., pik ), con 0 pij 1, j 1, 2,..., k. e pi1+pi2 +... +pik = 1. 28 LUI LEI q r 1-r r Calcio Balletto 1-q Calcio Balletto 2, 1 0, 0 0, 0 1*r + 0*(1-r) 0*r + 2*(1-r) 1, 2 Equilibrio di Nash in strategie miste: ((2/3,1/3);(1/3,2/3)) calcio r 1 (calcio ) 1 u calcio 2q lui 2/3 r 0 ( balletto ) balletto ului 1 q balletto 0 q 1/3 balletto 1 calcio balletto calcio : u calcio u lui lui 2q 1 q 3q 1 q 1 3 29 MATCHING PENNIES q 1-q TESTA CROCE r TESTA -1, 1 1, -1 1-r CROCE 1, -1 -1, 1 r Equilibrio di Nash in strategie miste: ((1/2,1/2);(1/2,1/2)) testa r 1 (testa ) 1 u1testa q 1 q r 0 (croce ) u1croce q 1 q 1/2 q croce 0 croce 1/2 1 testa testa : u1testa u1croce 1 2q 1 2q 4q 2 q 30 1 2 Teorema (Glicksberg, Debreu; 1952) Un gioco per il quale valgano le seguenti ipotesi: • il numero dei giocatori è finito • Si è un sottoinsieme compatto e convesso di uno spazio euclideo per ogni giocatore iN • ui é una funzione continua in sS per ogni iN ammette almeno un equilibrio di Nash. Se inoltre ui é una funzione quasi-concava in si per ogni iN, allora ammette almeno un equilibrio di Nash in strategie pure. 31