Diapositiva 1 - Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Esercizi e complementi di
Economia dei Sistemi Industriali 2
(teoria degli oligopoli)
Introduzione alla Teoria dei Giochi
Parte prima
1
TEORIA dei GIOCHI
Oggetto di studio
Le scelte di agenti razionali in un contesto di
interazione strategica
Contesto di scelta
Un contesto di scelta è detto strategico quando le
conseguenze di un’azione per un agente
dipendono:
 non soltanto dalle azioni da lui compiute
 ma anche dalle azioni compiute da altri
agenti
2
Il termine gioco
Il termine gioco è utilizzato per definire un generico
contesto strategico
Gioco cooperativo
Gioco non cooperativo
I giocatori possono comunicare
e stabilire accordi vincolanti
prima di iniziare a giocare
I giocatori non possono
comunicare e stabilire accordi
vincolanti prima di iniziare a
giocare
Le imprese prima di competere
sul mercato stabiliscono
accordi vincolanti
I giocatori scelgono le proprie
strategie indipendentemente
(non agiscono in modo
concertato)
3
CLASSIFICAZIONI
 GIOCHI STATICI
I giocatori scelgono contemporaneamente
 GIOCHI DINAMICI
I giocatori effettuano la loro scelta secondo una
sequenza prestabilita di mosse
DESCRIZIONE DI UN GIOCO NON COOPERATIVO
 FORMA NORMALE o STRATEGICA
 FORMA ESTESA
4
DESCRIZIONE IN FORMA NORMALE
G(N, S, u)
La descrizione in forma normale è caratterizzata da 3 elementi:
1. Un insieme di giocatori N = {1, 2, ..,n}
2. Un insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) Si a
disposizione di ciascun giocatore iN
si  Si indica una generica strategia pura
S = S1  S2  …  Sn
indica l’insieme di tutte le possibili
combinazioni di strategie pure
s = (s1 , s2 , … , sn )  S indica una generica combinazione di
strategie pure
3. Una funzione di payoff ui : S  R per ciascun giocatore i  N
ui (s) è il payoff del giocatore i se i giocatori scelgono la
combinazione di strategie s = (s1 , s2 , … , sn )
5
DILEMMA DEL PRIGIONIERO
TACERE
CONFESSARE
TACERE
-1, -1
-9, 0
CONFESSARE
0, -9
-6 , -6
N  1, 2
Numero dei giocatori
S1  S2  tacere, confessare
Insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) a disposizione di
entrambi i giocatori
6
PAYOFF DEI GIOCATORI
u1  tacere, tacere   1

u1  tacere, confessare   9
u1  s1 , s2   
u1  confessare, tacere   0
u  confessare, confessare   6
 1
u2  tacere, tacere   1

u2  tacere, confessare   0
u2  s1 , s2   
u2  confessare, tacere   9
u  confessare, confessare   6
 2
7
DUOPOLIO DI COURNOT E BERTRAND
N  {1, 2} insieme di giocatori (imprese)
S1 =S2 =[0, +) insieme di strategie pure a disposizione
di entrambi i giocatori
Cournot: generica strategia si  Si indica un livello di output q i
funzione di payoff del giocatore i:
u i (s1, s2 ) = u i (q1, q 2 ) =q i  p(q1, q 2 ) - c(q i )
Bertrand: generica strategia si  Si indica un livello di prezzo pi
funzione di payoff del giocatore i:
u i (s1, s2 ) = u i (p1, p2 ) = pi  q i (p1, p2 )-c(q i (p1, p2 ))
8
Dilemma del Prigioniero
Modelli di Cournot e Bertrand
GIOCHI STATICI CON INFORMAZIONE COMPLETA
I giocatori scelgono le loro strategie “simultaneamente" (è sufficiente che
ciascun giocatore scelga la propria strategia senza conoscere la scelta
dell'altro)
IMPORTANZA DELLA STRUTTURA INFORMATIVA DEL GIOCO
Un gioco G è caratterizzato da informazione completa se tutti i giocatori
conoscono gli elementi che caratterizzano il gioco.
N = {1, 2, ..,n}
S = S1  S2  …  Sn
ui : S  R i N
9
Informazione Completa Nel Dilemma Del Prigioniero
Entrambi i giocatori conoscono la (bi)matrice del gioco
TACERE
CONFESSARE
TACERE
-1, -1
-9, 0
CONFESSARE
0, -9
-6 , -6
PREDIZIONE SULL'ESITO DEL GIOCO
Procedura risolutiva: eliminazione iterata di strategie strettamente
dominate
10
NOTAZIONI
s- i  (s1, ... , si -1, si 1,..., sn )
generica combinazione di strategie pure deg li avversari di i
S- i  S1  ...  Si -1  Si 1  ...  Sn
insieme di tutte le possibili combinazioni di strategie pure
deg li avversari di i
s  (si , s- i )  (s1, s2 ,..., sn )  S
indica una generica combinazione di strategie pure
11
DEFINIZIONI

Siano s i  Si e s i  Si due strategie ammissibili per il

giocatore i. La strategia s i è strettamente dominata da s i se

ui s i , si



 ui  s i , si  per ogni si  Si



La strategia s i è debolmente dominata da s i se




ui s i , s i  ui  s i , s i  per ogni s i  S  i


e vale la disuguaglianza stretta
per almeno un s i  S i
12
LA PROCEDURA
La procedura della eliminazione iterata di strategie strettamente dominate
è basata sulla considerazione che
giocatori razionali non scelgono strategie strettamente dominate
nessuna credenza da parte di un giocatore, e relativa alle scelte degli
avversari, è tale da rendere una strategia dominata una scelta ottima
13
ESEMPIO 1
Giocatore 1
Giocatore 2
TACERE
CONFESSARE
TACERE
-1, -1
-9, 0
CONFESSARE
0, -9
-6, -6
14
ESEMPIO 2
Giocatore 2
Giocatore 1
SINISTRA
CENTRO
DESTRA
SU
1, 0
1, 2
0, 1
GIU’
0, 3
0, 1
2, 0
15
ESEMPIO 3
a3
a2
b2
a1
4, 4, 4
3, 5, 3
b1
5, 3, 3
5, 4, 1
b3
a2
b2
a1
3, 3, 5
1, 5, 4
b1
4, 1, 5
2, 2, 2
16
ESEMPIO 3
a3
a2
b2
a1
4, 4, 4
3, 5, 3
b1
5, 3, 3
5, 4, 1
b3
a2
b2
a1
3, 3, 5
1, 5, 4
b1
4, 1, 5
2, 2, 2
17
RAZIONALITA’ DEI GIOCATORI
La procedura della eliminazione iterata di strategie strettamente dominate
è basata sulla considerazione che:
giocatori "razionali" non scelgono strategie strettamente dominate.
Nessuna credenza da parte di un giocatore, relativa alle scelte degli
avversari, è tale da rendere una strategia dominata una scelta ottima.
L'applicazione del procedimento per un numero arbitrario di passi richiede
la seguente assunzione:
la "razionalità" dei giocatori è conoscenza comune (common knowledge)
tutti i giocatori sono razionali;
tutti i giocatori sanno che tutti sono razionali;
tutti i giocatori sanno che tutti i giocatori sanno che tutti sono
razionali, ecc..
18
ESEMPIO 4
Impresa 1
Impresa 2
D
ND
D
4, 4
2, 11
ND
11, 2
3, 3
Due imprese scaricano su un lago
Profitto delle due imprese = 10 milioni di euro
Costo per il depuratore = 6 milioni di euro
Multa per avere superato i limiti di inquinamento previsti dalla nuova normativa
= 7 milioni di euro
PROBLEMA DI FREE-RIDING
19
ESEMPIO 5
Impresa 1
Impresa 2
B1
B2
B3
A1
0, 4
4, 0
5, 3
A2
4, 0
0, 4
5, 3
A3
3, 5
3, 5
6, 6
 non ci sono strategie dominate da eliminare
 In questo caso l’eliminazione delle strategie strettamente
dominate non risolve il gioco, in generale non risolve tutte le
classi di problemi
 Ci serve un criterio di soluzione più forte
 Il criterio con maggiore forza di predizione è l’equilibrio di Nash
20
EQUILIBRIO DI NASH
Una combinazione di strategie
s*   si* , s* i 
è un equilibrio di Nash se
ui  si* , s* i   ui  si , s* i 
per ogni giocatore i e per ogni strategia ammissibile si  Si
un equilibrio di Nash richiede che
la strategia di ogni giocatore i sia ottimale rispetto
alle strategie ottimali degli avversari
21
EQUILIBRIO DI NASH
risolve il problema:

*
u
s
,
s
max i i i
siSi

 Per ogni giocatore i la strategia si* e la migliore risposta del
giocatore i alle strategie prescritte per gli altri n-1 giocatori
 Nessun giocatore, preso singolarmente, desidera deviare dalla
strategia prescritta
 L'equilibrio di Nash è una predizione sull'esito del gioco
strategicamente stabile o autovincolante (self-enforcing)
22
EQUILIBRIO DI NASH
Se l'eliminazione iterata di strategie strettamente dominate
rimuove tutte le strategie tranne s'= (s’i, s’-i), allora queste strategie
sono l'unico equilibrio di Nash
s '   si' , s' i   s*   si* , s* i 
Le strategie corrispondenti ad un equilibrio di Nash sopravvivono
alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate, ma
non e vero il contrario
Non è detto che una strategia che sopravvive alla eliminazione
iterata di strategie strettamente dominate faccia parte di un
equilibrio di Nash
23
ESEMPIO 5
Impresa 1
Impresa 2
B1
B2
B3
A1
0, 4
4, 0
5, 3
A2
4, 0
0, 4
5, 3
A3
3, 5
3, 5
6, 6
 Non ci sono strategie dominate da eliminare
 Per determinare l’equilibrio di Nash si procede per ispezione
 Si marcano le strategie pure di ciascun giocatore che sono risposte
ottime alle strategie pure dell’avversario sottolineando il payoff
corrispondente
 Se in una casella risultano sottolineati entrambi i payoff, allora è
stata individuata una combinazione di strategie caratterizzata dal
fatto che ciascuna è la risposta ottima all’altra (equilibrio di Nash)
24
OSSERVAZIONE
tutte le strategie sopravvivono alla eliminazione iterata di strategie strettamente
dominate, ma solo la combinazione (A3, B3) soddisfa le seguenti condizioni:
u1  s1* , s2*   u1  s1 , s2* 
u2  s1* , s2*   u2  s1* , s2 
PROPOSIZIONE
Se l'eliminazione iterata di strategie strettamente dominate rimuove tutte le strategie
tranne s '  si' , s' i , allora queste strategie sono l'unico equilibrio di Nash


s '   si' , s' i   s*   si* , s* i 
25
ESEMPIO 6 e 7
B1
B2
B3
A1
1, 0
1, 2
0, 1
A2
0, 3
0, 1
2, 0
B1
B2
B3
B4
A1
0, 3
2, 2
1, 3
1, 0
A2
2, 1
3, 1
2, 3
2, 1
A3
5, 1
1, 4
1, 0
2, 2
A4
1, 0
0, 2
0, 2
3, 1
26
ESEMPIO 8 (BATTAGLIA DEI SESSI)
Entrambi i giocatori desiderano trascorrere la serata insieme piuttosto che da soli,
tuttavia “Iui" preferisce la partita mentre “Iei" preferisce il balletto
Ciascun giocatore consegue:
 un payoff pari a 2 se entrambi vanno allo spettacolo da lui/lei preferito
 un payoff pari a 1 se entrambi vanno allo spettacolo preferito dall'altro
 un payoff pari a 0 se ognuno trascorre la serata da solo
LUI
LEI
Partita
Balletto
Partita
2, 1
0, 0
Balletto
0, 0
1, 2
27
ESISTENZA DELL'EQUILIBRIO DI NASH
Teorema. (Nash, 1950)
Ogni gioco finito ammette almeno un equilibrio di Nash
(eventualmente in strategie miste)
Definizione: Un gioco è finito se il numero dei giocatori e quello
delle strategie pure è finito. Altrimenti è infinito.
Definizione:
Sia Si 
si 1, si 2, ..., sik  l'insieme delle k strategie pure
disponibili per il giocatore i. Una strategia mista per il giocatore i
è una distribuzione di probabilità pi  ( pi 1, pi 2, ..., pik ),
con 0  pij  1, j  1, 2,..., k. e pi1+pi2 +... +pik = 1.
28
LUI
LEI q
r
1-r
r
Calcio
Balletto
1-q
Calcio
Balletto
2, 1
0, 0
0, 0
1*r + 0*(1-r)
0*r + 2*(1-r)
1, 2
Equilibrio di Nash in strategie miste:
((2/3,1/3);(1/3,2/3))
calcio
r  1 (calcio )
1
u calcio
 2q
lui
2/3
r  0 ( balletto )
balletto
ului
 1  q 
balletto
0
q
1/3
balletto
1
calcio
balletto
calcio : u calcio

u
lui
lui
2q  1  q 
3q  1
q
1
3
29
MATCHING PENNIES
q
1-q
TESTA
CROCE
r
TESTA
-1, 1
1, -1
1-r
CROCE
1, -1
-1, 1
r Equilibrio di Nash in strategie miste:
((1/2,1/2);(1/2,1/2))
testa
r  1 (testa )
1
u1testa  q  1  q 
r  0 (croce )
u1croce  q  1  q 
1/2
q
croce
0
croce
1/2
1
testa
testa : u1testa  u1croce
1  2q  1  2q 4q  2 q 
30
1
2
Teorema (Glicksberg, Debreu; 1952)
Un gioco per il quale valgano le seguenti ipotesi:
• il numero dei giocatori è finito
• Si è un sottoinsieme compatto e convesso di uno
spazio euclideo per ogni giocatore iN
• ui é una funzione continua in sS per ogni iN
ammette almeno un equilibrio di Nash.
Se inoltre ui é una funzione quasi-concava in si per ogni
iN, allora ammette almeno un equilibrio di Nash in
strategie pure.
31