Nessun titolo diapositiva

Capitolo 3
Derivata di una funzione
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Derivata
Dove interviene: andamento del rapporto della
variazione di una grandezza rispetto alla variazione
di un’altra (da cui la prima dipende).
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Siamo interessati alle posizioni limite: proprietà “puntuale
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Definizione. Sia f : I → R, I intervallo di R, e sia x0 ∈ I un punto
interno a tale intervallo. Se esiste finito il limite
la funzione detta derivabile in x0. Tale limite (finito o no) prende il
nome di derivata della funzione f nel punto x0, e viene indicato
con f(x0).
Notazioni. La derivata di f in x0 può essere indicata in modi
differenti tra cui
Calcolo. Ragionevolmente il calcolo della derivata coinvolge una
forma indeterminata del tipo 0/0. Se scriviamo x = x0+h, si ottiene
la definizione equivalente
che potrebbe risultare più conveniente.
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Equazione retta tangente. Sia f : I → R, x0 ∈ I, derivabile
in x = x0. La retta tangente Tx0 nel punto (x0, f(x0)) ha
equazione
Se f’(x0) = +  (- ), possiamo considerare la retta
tangente di equazione x = x0.
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Esempio di non derivabilità. Consideriamo la
funzione valore assoluto f(x) = |x|, x ∈ R, e
x0 = 0; si ha
Sappiamo che quest’ultimo limite non esiste, quindi
f non
ha derivata in x0 e non è derivabile in questo punto.
Derivata e operazioni. La derivata è compatibile con
le
operazioni aritmetiche elementari, per esempio se f,
g sono
due funzioni definite in un intervallo I e derivabili in
x0 ∈ I, allora la funzione f + g è derivabile in x0 e
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Attenzione: Per il prodotto e il quoziente vi sono regole
“complicate”
Due risultati importanti.
Teorema 3.1 (Derivata della funzione composta) Se f è
definita in un intorno di x0 e derivabile in x0, se g è
definita in un intorno di f(x0) e derivabile in f(x0) allora
la funzione composta g ⃘ f (supponendo di essere nelle
condizioni di poterla definire) è derivabile in x0 e
Teorema 3.2 (Derivata della funzione inversa) Sia f : (a, b)
→ R una funzione continua e strettamente monotona,
se f `e
derivabile in x0 e f(x0) = 0, allora f-1 è derivabile in f(x0)
e vale la formula
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Importanza della derivata
• Proprietà locali (un punto e un suo intorno);
• proprietà globali (intervalli)
Proprietà locali
Definizione 3.1 Sia f : I → R, I intervallo, x0 ∈ I interno
ad I, diremo che
a) f è crescente in x0 se esiste un intorno di x0 contenuto
in I tale che
f(x1) ≤ f(x0) ≤ f(x2) per tutti i punti x1 < x0 < x2
nell’intorno;
b) f è decrescente in x0 se esiste un intorno di x0
contenuto
in I tale che f(x1) ≥ f(x0) ≥ f(x2) per tutti i punti x1 < x0 < x2
nell’intorno;
c) x0 è un punto di minimo locale se esiste un intorno di x0
contenuto in I tale che f(x) ≥ f(x0) per tutti i punti x
nell’intorno;
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Teorema 3.3 (Derivata e proprietà locali) Sia f : I → R, I
intervallo, x0 ∈ I e interno a I, f sia derivabile in x0,
allora
i) se f(x0) > 0 (< 0) allora f è crescente (decrescente) in x0;
ii) se f è crescente (decrescente) in x0 allora f(x0) ≥ 0
(f(x0) ≤ 0);
iii) se x0 è un punto di minimo o di massimo locale,
allora
f(x0) = 0.
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Osservazione: (Massimi e minimi) Sia f : I → R, I
intervallo, ed f sia continua in I. Per trovare
eventuali punti di minimo o di massimo locale
(o assoluti) dobbiamo controllare tre
categorie di punti,
• estremi dell’intervallo I se questi vi
appartengono;
• punti di I in cui f non è derivabile;
• punti stazionari interni, cioè punti in cui f(x0) =
0.
Proprietà globali
Domanda principale:
“Cosa dice f riguardo a f?”
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Teorema 3.4 (Teorema di Rolle)
Sia f : [a, b] → R una funzione definita nell’intervallo
chiuso [a, b] e tale che
• f è continua in [a, b];
• f è derivabile in (a, b);
• f(a) = f(b);
allora esiste almeno
un punto c ∈ (a, b)
tale che f(c) = 0.
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Teorema 3.5 (Teorema di Lagrange o del
valor medio) Sia :
[a, b] → R una funzione definita
nell’intervallo chiuso [a, b] e tale che
• f è continua in [a, b];
• f è derivabile in (a, b);
allora esiste almeno un punto c ∈ (a, b) tale
che
Osservazione: i Teoremi di Rolle e di
Lagrange sono Teoremi di esistenza, non
dicono nulla riguardo all’unività.
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Teorema 3.6 (Derivata e monotonia)
Sia f : [a, b] → R una funzione
continua nell’intervallo chiuso [a, b] e
derivabile in (a, b), allora
i) se f(x) > 0, ∀x ∈ (a, b) allora f è
strettamente crescente in [a, b];
ii) se f(x) < 0, ∀x ∈ (a, b) allora f è
strettamente decrescente in [a, b];
iii) se f(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) allora f è
non decrescente in [a, b];
iv) se f(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) allora f è
non crescente in [a, b].
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Test della derivata prima
Teorema 3.7 Sia f : (a, b) → R una funzione continua in (a, b),
sia x0 ∈ (a, b) un punto stazionario, f(x0) = 0, oppure un
punto singolare, ∃f(x0).
i) Se f è derivabile negli intervalli (a, x0) e (x0, b), e f(x) > 0, x
∈ (a, x0), f(x) < 0, x ∈ (x0, b), allora f ha un punto di
massimo locale in x0.
ii) Se f è derivabile negli intervalli (a, x0) e (x0, b), e f(x) < 0,
x ∈ (a, x0), f(x) > 0, x ∈ (x0, b), allora f ha un punto di
minimo locale in x0.
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Derivata e convessità
Convessità. Sia f : I → R, con I intervallo, la funzione
f si dice convessa (concava) se per ogni coppia di
punti
x1 < x2 ∈ I il segmento di estremi P1(x1, f(x1)),
P2(x2, f(x2)) non sta sotto (sopra) del grafico di f
per
x ∈ [x1, x2].
Definizione 3.2 Sia f : I → R, con I intervallo, se per
ogni x1 < x2 nell’intervallo I e per ogni t ∈ (0, 1) si
ha
i) f(x1 + t(x2 - x1)) ≤ f(x1) + t(f(x2) - f(x1)) allora la
funzione è convessa;
ii) f(x1 + t(x2 - x1)) < f(x1) + t(f(x2) - f(x1)) allora la
funzione è strettamente convessa;
iii) f(x1 + t(x2 - x1)) ≥ f(x1) + t(f(x2) - f(x1)) allora la
funzione è concava;
iv)
f(x1 differenziale,
+ t(x2 -Algebra
x1))lineare,
> f(xProbabilità
Matematica
I: Calcolo
e
1) + t(f(x
2) - f(x1)) allora la
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Matematica I: Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl
Derivata e convessità
Sia f : [a, b] → R, derivabile in tutto l’intervallo (a, b)
e continua in tutto il dominio, valgono le
proprietà,
i) f è convessa (concava) in [a, b] se e solo se f è
non decrescente (non crescente) in (a, b);
ii) f è convessa (concava) se e solo se
f(x) ≥ f(x0) + f(x0)(x - x0) ∀x, x0 ∈ (a, b),
(la disuguaglianza è di verso opposto nel caso di
concavità).
Diversi problemi richiedono la ricerca di un punto di
minimo (o di massimo) per una funzione che lega
i parametri del problema stesso: dobbiamo
risolvere un
problema di ottimizzazione.
(Vedere
esempi
allaProbabilità
fine edel Capitolo 3).
Matematica
I: Calcolo gli
differenziale,
Algebra lineare,
statistica
Copyright © 2003 - The McGraw-Hill Companies, srl