Sistemi e Tecnologie della Comunicazione

Sistemi e Tecnologie della
Comunicazione
Lezione 5: strato fisico: limitazione di banda, formula di Nyquist; caratterizzazione del canale in
frequenza
Rappresentazione spettrale di un segnale



Il grafico delle ampiezze
rispetto alle frequenze di cui
e’ composto il nostro
segnale si chiama
rappresentazione spettrale
Le righe della
rappresentazione spettrale
mostrano il contributo alla
ampiezza del segnale
dovuto alle relative
frequenze
Se il segnale ha un valore
medio non nullo (cioe’ il
coefficiente a0 non e’ nullo)
il segnale ha una
componente continua (a
frequenza nulla)
2
Spettri continui e discreti


Una funzione periodica e’ esprimibile come
somma di funzioni sinusoidali a frequenze che
sono multipli interi della frequenza del segnale,
quindi ha uno spettro discreto, cioe’ costituito da
un insieme discreto di frequenze
Una funzione non periodica e’ esprimibile come
integrale di funzioni sinusoidali; le sue
componenti possono avere qualsiasi frequenza,
quindi avra’ uno spettro continuo
3
Esempio di spettro continuo

Il segnale di impulso quadro di ampiezza A
e periodo T ha per trasformata di Fourier la
funzione S ( f )  AT  sinTf 
Tf
il cui spettro e’ mostrato in figura
4
Potenza di un segnale

Si definisce potenza media del segnale periodico la quantita’:
1
P
T

In base alle trasformazioni di Fourier, si puo’ dimostrare che la
potenza media del segnale periodico e’ data da (teorema di
Parseval):
P

 cn
n 


2


0 f t dt
T
2
2

 a0 
     an2  bn2 
 2  n1
Spesso la rappresentazione spettrale viene fatta graficando il modulo
dei coefficienti di Fourier dello sviluppo, evidenziando il contributo
alla potenza del segnale dovuto alle diverse armoniche
Al limite per n
∞ il contributo alla potenza delle armoniche tende
a zero (altrimenti la potenza sarebbe infinita) quindi i contributi
principali vengono dalle armoniche piu’ basse
5
Spettro dei contributi alla potenza
6
Larghezza di banda di un segnale




La larghezza di banda di un segnale e’ data
dall’intervallo delle frequenze di cui e’ composto il
suo spettro
Generalmente un segnale ha banda infinita
Tuttavia spesso la potenza del segnale e’
contenuta per la maggior parte in un insieme
limitato di frequenze
Questo intervallo limitato di frequenze si dice
banda efficace del segnale
7
Limitazione della banda in trasmissione




Nella trasmissione dei segnali e’ impossibile
trasmettere tutte le frequenze di cui e’ composto
il segnale stesso
Il mezzo trasmissivo, la tecnologia che genera il
segnale o scelte volontarie impongono una
limitazione alla banda utilizzabile
La trasmissione di un numero limitato delle
armoniche del segnale fa si che in ricezione il
segnale apparira’ differente
Maggiore e’ il numero di armoniche trasmesse,
migliore apparira’ il segnale in ricezione
8
Effetto della limitazione di banda




Supponiamo di voler
trasmettere ripetutamente
il carattere ASCII ‘B’, che
secondo la codifica e’ dato
dalla sequenza di bit
01100010, ad una velocita’
di trasferimento di 2000
bps
Il segnale che rappresenta il carattere di 8 bit avra’ un periodo di
8/2000 secondi, quindi una frequenza fondamentale pari a 250 Hz
La trasmissione su un canale con banda limitata permettera’ di
trasmettere solo le prime armoniche
Vediamo nella figura seguente come un canale con 2 KHz di banda (8
armoniche) permette una ricostruzione agevole del segnale inviato,
mentre un canale con banda ridotta a 500 Hz (2 armoniche) rende
molto piu’ problematica la ricostruzione dei bit trasmessi, che diventa
impossibile lasciando passare solo la prima armonica
9
Effetti della limitazione di banda
10
Velocita’ di trasmissione e larghezza di banda





Da questo esempio possiamo intuire come la presenza di
un canale a banda limitata di fatto limita la velocita’ di
trasmissione dati ottenibile sul canale
Supponiamo di avere una linea telefonica, la cui larghezza
di banda e’ circa 3.1 KHz, e di trasmettere il carattere di
prima alla velocita’ di B bit al secondo
La frequenza del segnale (cioe’ la frequenza della prima
armonica) sara’ B/8 Hz
Ne segue che l’armonica piu’ alta che potra’ attraversare il
canale avra’ n=3000/(B/8), cioe’ 24000/B.
Da questo consegue che, ad esempio, una trasmissione a
9600 bps lascera’ passare soltanto le prime due
armoniche, compromettendo la ricostruibilita’ dei bit in
ricezione, mentre una trasmissione a 2400 o 4800 bps
sara’ efficace.
11
Formula di Nyquist

Nyquist ha dimostrato una relazione tra la velocita’
massima di trasmissione attraverso un canale senza
rumore ed a banda limitata in funzione della larghezza di
banda:

il tasso di trasmissione dati massimo ottenibile attraverso un
canale privo di rumore con larghezza di banda H e’ dato da
B  2  H bit/s

Se si trasmettono segnali multilivello, con molteplicita’ M, il tasso
di trasmissione massimo e’ dato da:
B  2  H  log 2 M bit/s
12
Linee di trasmissione e circuiti



Una linea di trasmissione dati puo’ essere vista come un
circuito che fa corrispondere ad un segnale in ingresso un
segnale in uscita
Il comportamento di un circuito viene descritto dalla sua
risposta in frequenza, vale a dire dalle caratteristiche del
segnale in uscita in corrispondenza ad un segnale
sinusoidale in ingresso
Si definisce funzione di trasferimento il rapporto tra il
segnale in uscita e quello in ingresso, che in genere
dipendera’ dalla frequenza del segnale in ingresso
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Circuiti lineari

Un circuito lineare soddisfa le seguenti caratteristiche: detto I il
segnale di ingresso e U il segnale in uscita:






U = f(I)
f(I1+I2) = f(I1)+f(I2)
f(aI) = af(I)
Il criterio di linearita’ implica che la risposta di un circuito lineare ad
un segnale sinusoidale sara’ un segnale sinusoidale alla stessa
frequenza, con fase ed ampiezza eventualmente differenti
L’effetto del circuito sul segnale di ingresso cambiera’ al variare della
frequenza del segnale di ingresso
Il comportamento in funzione della frequenza e’ la caratterizzazione
del circuito in frequenza (cioe’ la definizione di come variano
l’ampiezza e la fase dell’uscita in funzione della frequenza)
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Root Mean Square Amplitude

La potenza di un segnale sinusoidale del tipo:
vt   V sin( 2ft )
dove V e’ l’ampiezza ed f la frequenza, e’ data da:

Il valore
1
P
T

T
0
V2
v( t ) dt 
2
2
2
VRMS

V
V


2
2
e’ detto ampiezza quadratica media del segnale
Ad esempio, l’alimentazione elettrica domestica e’ data da
un segnale di tensione a 50 Hz, con VRMS=220 volt
15
Decibel

Per confrontare potenze o ampiezze si fa utilizzo di una
misura del loro rapporto in scala logaritmica, detto
decibel:
 P2 
dB  10  log  
 P1 

In caso di segnali sinusoidali, il decibel si puo’ esprimere
come:
 V2 2RMS 
 V2 


dB  10  log
 20  log  
2
 V

 V1 
1
RMS 

Ad esempio:





V2
V2
V2
 10  20 dB,
 0.1  20 dB,
 0.5  3 dB
V1
V1
V1
16
Diagrammi di Bode

La rappresentazione grafica della funzione di
trasferimento e’ realizzata tipicamente graficando il suo
modulo in dB in funzione della frequenza, usualmente in
scala logaritmica (diagramma di Bode)
e la sua fase, anch’essa in funzione della frequenza
sempre espressa in scala logaritmica
17
Esmpio: circuito RC

Come esempio, calcoliamo la funzione di
trasferimento di un circuito RC misurando la
tensione in uscita ai capi del condensatore;
qui ed in seguito si esprimera’ la frequenza in
termini di pulsazione:   2f
Vin  vi e it
1
Vin
Vout 
iC R  1
iC
1
H 
1   2 R 2C 2
Arg ( H )  arctan  RC 
18
Diagramma del circuito RC
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Frequenza di taglio





Il circuito RC di esempio lascia passare pressoche’
inalterate le frequenze inferiori ad un certo valore, mentre
attenua l’ampiezza di quelle superiori
Il circuito si comporta quindi come un filtro che elimina le
alte frequenze
I filtri di questo tipo si chiamano filtro passa basso
Si definisce frequenza di taglio la frequenza per la quale
si ha un valore di -3dB del rapporto tra le ampiezze
(corrispondente al dimezzamento del livello del segnale)
Nel caso del circuito RC visto ora, la frequenza di taglio
corrisponde alla frequenza
1
c 
RC
20
Filtro passa alto

Analizzando la risposta ad un circuito RC
misurando la tensione ai capi della resistenza si
ha:
Vin  vi e it
Vout  R
Vin
1
iC
1
H 
1
1 2 2 2
 RC
 1 
Arg ( H )  arctan 

 RC 
R
21
Filtro passa alto


In questo caso le frequenze che passano
inalterate sono quelle alte, mentre
vengono filtrate le basse frequenze
La frequenza di taglio, valutata sempre
come la frequenza a -3 dB, vale ancora
1
c 
RC
22
Diagramma filtro passa alto
23
Filtro passa banda


Un filtro passa banda e’ un circuito che lascia passare
solo le frequenze entro un certo intervallo
In questo caso avremo due frequenze di taglio, e si
definisce banda passante del circuito:
B  2  1
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Canali trasmissivi come filtri


Un canale trasmissivo e’ sostanzialmente un
circuito dotato della sua funzione di trasferimento
Le condizioni ideali per la trasmissione dati e’ che
la funzione di trasferimento abbia le seguenti
caratteristiche:
Modulo di H costante ed indipendente dalla frequenza
(per non alterare in ricezione il rapporto di intensita’
delle diverse armoniche del segnale)
 Fase di H funzione lineare della frequenza. Infatti:
A sint   a sint     a sin t   
dove  e' il ritardo che deve essere indipenden te da 
quindi
t    t      

25
Esempio di canale ideale
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Effetti della non linearita’


Un circuito la cui risposta non sia lineare presenta un comportamento
che non puo’ essere descritto come abbiamo visto
Per dare una idea di cosa puo’ accadere, in approssimazione di piccoli
segnali di input la risposta (temporale) puo’ essere approssimata da
un polinomio
vo ( t )  a1  vi ( t )  a2  v ( t )  a3  v ( t )  ...
2
i

3
i
L’effetto dei termini non lineari si evidenzia nel caso di segnale
sinusoidale in ingresso: ponendo
vi ( t )  v  cos(t )
si ottengono in uscita termini a frequenza 2ω, 3ω, 4ω, …, cioe’
armoniche della frequenza del segnale in ingresso
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