L`Ottica di Euclide - Dipartimento di Matematica

L’Ottica di Euclide
Quest’opera comprende 62 proposizioni di ottica geometrica,
riguardanti le forme e le dimensioni con cui gli oggetti illuminati
appaiono all’occhio umano. I principi fondamentali della teoria sono
elencati all’inizio, con il nome di premesse o definizioni o assiomi:
“1. I raggi emessi dall’occhio procedono per via diritta.
2. La figura compresa dai raggi visivi è un cono che ha il vertice
all’occhio e la base al margine dell’oggetto.
3. Si vedono quegli oggetti cui arrivano i raggi visivi.
4. Non si vedono quegli oggetti ai quali i raggi visivi non arrivano.
5. Gli oggetti che si vedono sotto angoli maggiori, si giudicano maggiori.
6. Gli oggetti che si vedono sotto angoli minori, si giudicano minori.
7. Gli oggetti che si vedono sotto angoli eguali, si giudicano eguali.
8. Gli oggetti che si vedono con raggi più alti, si giudicano più alti.
9. Gli oggetti che si vedono con raggi più bassi, si giudicano più bassi.
10.Gli oggetti che si vedono con raggi diretti a destra, si giudicano alla
destra.
11.Gli oggetti che si vedono con raggi diretti a sinistra, si giudicano alla
sinistra.
12.Gli oggetti che si vedono con più angoli, si distinguono più
chiaramente.
13.Tutti i raggi hanno la stessa velocità.
14.Non si possono vedere gli oggetti sotto qualunque angolo.”
Da queste premesse vengono dedotte le proposizioni, utilizzando
semplici ragionamenti di geometria piana.
Gli enunciati sono per lo più semplici, ed enunciano fatti che
risultano evidenti dall’esperienza, ma che Euclide vuole spiegare con
rigore matematico:
Proposizione I
Un oggetto non può vedersi nella sua totalità d’un solo colpo d’occhio.
Proposizione II
Di oggetti eguali, differentemente distanti, i più vicini si distinguono più
chiaramente.
Proposizione III
Per qualunque oggetto vi è una distanza determinata, oltrepassata la
quale, esso non si vede più.
La comune origine di questi fenomeni risiede nel principio del cono
visivo (che alcuni chiamano anche piramide), che è enunciato nella
seconda premessa:
Il vertice è nell’occhio dell’osservatore, la base è data dai contorni
dell’oggetto osservato.
Noi sappiamo che questo cono è formato dai raggi luminosi emessi
dall’oggetto, e che è il prolungamento dello stesso cono al di là della
pupilla a produrre l’immagine dell’oggetto sulla retina dell’osservatore.
Da questo modello della visione si ricavano tutte le altre proprietà.
Ad esempio, utilizzando le proprietà dei triangoli simili è immediato
dedurre che tra due oggetti uguali posti a diversa distanza il più
lontano apparirà più piccolo.
Ai tempi di Euclide, però, ancora non si sapeva che cosa avvenisse
all’interno dell’occhio. Addirittura, la terza e la quarta premessa
sembrano suggerire che, secondo Euclide, i raggi luminosi
responsabili della visione dovessero provenire dall’occhio e non
dall’oggetto osservato. Teone di Alessandria, nel suo commento
all’opera, spiega che questa convinzione nasceva dal fatto che
l’occhio, a differenza dell’orecchio e del naso, non possiede una cavità
atta a ricevere corpi provenienti dall’esterno. Secondo un’altra
interpretazione, i raggi citati da Euclide non sarebbero i raggi
luminosi, ma le rette che delimitano il cono visivo.
In ogni caso, il modello di Euclide poteva basarsi esclusivamente
sull’esterno dell’occhio. Così egli fa dipendere le dimensioni che
l’oggetto assume per l’osservatore dall’angolo visivo, ossia
dall’apertura del cono visivo:

Euclide intuisce la relazione tra l’angolo  e le dimensioni della
immagine e la enuncia nella quinta e nella sesta premessa.
Questa proprietà non è nient’altro che la più semplice delle leggi
della prospettiva. Una proprietà ben più sofisticata è enunciata
alla fine dell’opera: essa descrive il modo in cui un quadrato appare
ad un osservatore che lo guardi obliquamente al piano del quadrato
stesso.
Proposizione LXII
Se il raggio condotto dall’occhio sul punto d’intersezione dei diametri
d’un quadrato non è perpendicolare sul piano di questo, né è eguale ad
un mezzo diametro né fa angoli eguali con questi mezzi diametri, i
diametri del quadrato appariranno ineguali.
I “diametri” del quadrato sono le sue diagonali: queste sono così
chiamate perché coincidono con i diametri del cerchio circoscritto.
La prospettiva sarà oggetto di studio per i pittori a partire dal
Rinascimento: vi si dedicarono con grande impegno, tra gli altri,
Leonardo da Vinci, Leon Battista Alberti, Piero della Francesca ed
Albrecht Dürer.
Nell’Ottica di Euclide i raggi si propagano sempre in linea retta: al
fenomeno della riflessione egli dedicò un’opera a parte, la Catottrica,
di cui ci è però pervenuta soltanto una versione apocrifa.
L’edizione dell’Ottica posseduta da Piero della Francesca
Curiosità sull’Ottica