Campi elettrici nella materia 31 agosto 2011

Campi elettrici nella materia
25 novembre 2014
Dipolo elettrico
Campo E nella materia
Polarizzazione e intensità di polarizzazione P
Il campo spostamento elettrico D
Energia elettrostatica
Dipolo elettrico
• E’ l’insieme di due cariche di ugual modulo q e
segno opposto, poste a distanza l tra loro
• Momento elettrico di dipolo: è un vettore dato dal
prodotto della carica per il vettore distanza:
+q


p  ql
-q
• Ove il vettor l (e quindi p) è orientato dalla carica
negativa a quella positiva
2
Due tipi di dipolo
• Il dipolo può essere indotto da un campo
elettrico esterno che sposta le cariche positive
e negative in un sistema altrimenti simmetrico
– Il dipolo ha necessariamente lo stesso verso del
campo esterno
• Il dipolo può essere permanente: c’è una
distribuzione asimmetrica stabile di carica
– Il dipolo può avere un’orientamento arbitrario
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Fatti sperimentali
• Dati n conduttori carichi nel vuoto, essi producono un
campo E0
• Se i conduttori non sono nel vuoto, ma immersi in un
dielettrico, l’unico cambiamento macroscopico nel
campo è una diminuzione di intensità per una costante
er (maggiore di 1) che dipende dalla natura del
E0
dielettrico
E
er
• Ne segue che anche la ddp diminuisce dello
stesso fattore
• Mentre la capacità aumenta dello stesso

fattore
V
V0
er
C  C0e r
4
Costante dielettrica
• er prende il nome di costante dielettrica
relativa, è adimensionale
• Il prodotto e =e0 er prende il nome di costante
dielettrica del materiale
• er può
– dipendere dal punto considerato nel dielettrico
(materiale non omogeneo)
– essere un tensore (materiale non isotropo)
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Misura della costante dielettrica
• In pratica per misurare la costante dielettrica
relativa di un isolante si sfrutta la relazione
C
er 
C0
• facendo il rapporto tra le capacità che uno
stesso condensatore assume con e senza il
dielettrico tra le armature

• C può essere misurato anche in CA
• Nota: e r dipende dalla frequenza del campo
elettrico usato e conseguentemente anche C
dipende da tale frequenza
6
Difficoltà di una definizione di
campo nei dielettrici
• Le proprietà macroscopiche della materia dipendono dalla
sua struttura molecolare e nonostante la grande
complessità di tale struttura è possibile sviluppare in
modo semplice l’elettrostatica dei dielettrici
• Se lo spazio è riempito di dielettrico, affinché la
definizione di campo elettrico mantenga il suo carattere
operativo, dobbiamo pensare di poter praticare un foro
nel dielettrico, al cui interno operare
• Però sulla superficie interna del foro si formano cariche di
polarizzazione che alterano il risultato della misura, il cui
valore dipende per di più dalla forma del foro
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Polarizzazione molecolare in un
campo esterno
• Consideriamo una molecola in un dielettrico
• Indichiamo con E* il campo elettrico dovuto non
solo ai conduttori, ma anche a tutte le molecole
del dielettrico, con l’esclusione della molecola
che stiamo considerando
• Se considerassimo anche il campo della molecola avremmo proprio
il campo E trovato in precedenza
 * 
E  E  Emol
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Polarizzazione molecolare in un
campo esterno
• La polarizzazione delle molecole è dovuta
in generale alla sovrapposizione di due
cause distinte, entrambe dovute all’azione
del campo esterno E*
• La prima è una deformazione della
molecola
• La seconda è un’orientamento di molecole
dotate di momento elettrico permanente
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1) Polarizzazione per deformazione
• È dovuta alle forze agenti su elettroni e nuclei della molecola
• Queste forze sono dirette in verso opposto e tendono a
deformare la molecola e a creare un momento elettrico
indotto parallelo al campo esterno E*
• Preso un numero molto grande di molecole, diciamo P d il
momento elettrico indotto risultante di tutti i momenti
atomici
• Dividendo per il numero di molecole otteniamo il momento
elettrico indotto medio

Pd
1 

pd   pdk 
N k
N
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2) Polarizzazione per orientamento
• Una molecola con momento elettrico permanente viene
orientata dal campo esterno in modo che il momento tenda a
essere parallelo al campo
• A questa azione si contrappone l’agitazione termica che tende a
disorientare i momenti delle molecole uniformemente in tutte le
direzioni
• Si raggiunge un equilibrio termico, in cui le molecole orientate
verso il campo sono un po’ più numerose delle altre
• Preso un numero molto grande di molecole, diciamo P o il
momento elettrico permanente risultante di tutti i momenti
atomici
• Dividendo per il numero di molecole otteniamo il momento

elettrico permanente medio
Po
1


po   pok 
N k
N
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Polarizzazione
• Sia dato un corpo dielettrico di forma qualunque e
sia P il momento elettrico risultante, cioè la somma
di tutti i momenti di dipolo (indotti e permanenti)
degli atomi o delle molecole che lo costituiscono,
allora





1  
P    pdk  pok    pk  N   pk   Np
k
k
N k

• ove p è il momento medio di dipolo delle molecole
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Polarizzazione P
• Macroscopicamente possiamo definire un vettore P,
la (densità di) polarizzazione, come il momento
totale di dipolo elettrico per unità di volume
Notare la
dP
dN
P

p  np
definizione
dV
dV
differenziale
• Le dimensioni di P sono
3
2
P

n
p

L
LQ

QL
    

• Cioè uguali
alla densità superficiale di carica

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Polarizzazione P
• P dipende, naturalmente, dal campo elettrico
• Il campo che consideriamo qui è quello totale E,
dipendente a sua volta da P
• Il dielettrico è detto
– lineare se P è proporzionale a E
– omogeneo se la costante di proporzionalità è uniforme nello
spazio
– isotropo se P e E hanno la stessa direzione. Per dielettrici
anisotropi è necessario introdurre un tensore di polarizzabilità
• Dielettrici lineari, omogenei ed isotropi sono il caso più
semplice, noi ci limiteremo a studiare questo caso
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Campo elettrico
nella materia
• Consideriamo il caso semplice in
cui il conduttore è un
condensatore piano
• La carica sul conduttore (detta
anche carica “libera”), di densità
s, polarizza il dielettrico, che si
carica superficialmente con
carica (detta “legata”) di densità
spol e segno opposto alla carica
libera
• La carica libera produce il
E 0  snˆ
campo
• La carica legata produce il
campo
ˆ
+
+
+
+
+
+
+
+
+
e0
E pol   s pol n diel e 0  s pol nˆ e 0
E  E 0  E pol
• il campo totale è
+
+
+
+
+
+
+
+
-
E0
-
+
+
Epol
-
+
-
+
-
E = E0 + Epol
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Campo elettrico nella materia
E0
• Poiché sappiamo che il campo totale vale
E
er
• possiamo trovare il campo dovuto alla carica


1 
 
legata
E pol  1   E0   E0
er
 er 
• ove abbiamo introdotto la suscettività 
 a
• Il campo del dielettrico ha verso opposto

1
quello del conduttore, e modulo inferiore E pol  1   E0  E0
 er 
• Ne segue che il campo risultante E ha modulo
inferiore al campo nel vuoto
E  E0  E pol
• Ovvero il campo elettrico dovuto alla
polarizzazione compensa solo in parte il campo
del conduttore
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Campo elettrico nella materia


 
• Dalla relazione tra campi E pol   E0   E
• otteniamo anche
s pol

 s
er
er

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Relazione tra P e rpol , spol
• In generale si può dimostrare che
r pol
 
   P
• Il vettore P permette di calcolare la densità delle cariche di
polarizzazione, sia dentro il dielettrico che sulla sua superficie:
s pol

 P  nˆdiel
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Legge di Gauss nei dielettrici
r
• Ricordiamo la legge di Gauss microscopica:  E 
e0
• Questa eq. continua a valere anche nei dielettrici
polarizzati, purché alle cariche presenti sui conduttori si
aggiungano le cariche presenti sui 
o nei dielettrici
• Queste cariche, come abbiamo visto, sono
caratterizzate mediante la densità microscopica rpol , spol
• Otteniamo dunque
  r  r pol
E 
e0
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Relazione tra E e P
• Ricordando le relazioni (trovate per un
condensatore piano) tra densità di cariche libere
e legate e tra campo elettrico e densità di carica



P  nˆdiel  s pol  e 0 E pol  nˆdiel  e 0 E  nˆdiel
• ricaviamo la relazione (valida per un dielettrico
lineare, omogeneo e isotropo)
P  e 0 E
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Il vettore D
• Torniamo alla legge di Gauss
  r  r pol
E 
e0
• Moltiplicando i due membri per e0 e sostituendo la
relazione
 tra
 P e rpol  

 
e 0  E  r    P    e 0 E  P   r
 
• Introducendo il vettore spostamento elettrico 
D  e0E  P
(o induzione elettrica)
 
• si ottiene l’eq.   D  r
• Cioè la divergenza di D dipende solo dalle cariche
libere e non da quelle di polarizzazione
• Dentro un dielettrico non ci sono cariche libere, ne
segue che qui abbiamo  D  r  0
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Il vettore D
• Per quanto riguarda il campo sulla superficie di un conduttore,
in presenza di un dielettrico, possiamo usare la formula già
trovata in assenza di dielettrico, aggiungendo però le cariche
di polarizzazione

s s
E  nˆcdt 

pol
e0

 s  P  nˆdiel  s  P  nˆcdt

e 0 E  nˆcdt  s  s pol
 
e 0 E  P  nˆcdt  s

D  nˆ cdt  Dn  s
• Di nuovo, la componente di D normale alla superficie dipende
solo dalle cariche libere e non da quelle di polarizzazione
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Relazioni tra E, P e D
• Eliminando P dalle relazioni

 
D  e0E  P
P  e 0 E
• Otteniamo





D  e 0 E  e 0 E  e 0 1   E  e 0e r E
• cioè



D  eE
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Il vettore D
• In conclusione per descrivere i fenomeni
elettrici in presenza di un dielettrico non è
sufficiente il solo campo E
• è necessario introdurre un secondo campo: P,
oppure D
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Elettrete (ferroelettricità)
Esempio di
dielettrico non lineare
• È un dielettrico non lineare che, una volta
polarizzato, conserva un proprio momento
elettrico al cessare dell’azione del campo
elettrico polarizzante
• È l’equivalente elettrico dei magneti permanenti
• Possono essere ottenuti riscaldando il materiale
dielettrico fino al punto di rammollimento e poi
facendolo raffreddare sotto l’azione continua di
un campo elettrico uniforme
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Energia elettrostatica
• Sia data una distribuzione di carica q che genera un
potenziale V. Un aumento di carica dq comporta un aumento
di energia potenziale elettrica dU pari a
q
dU e  Vdq  dq
C
• L’energia totale accumulata partendo da carica iniziale nulla
Q
a carica finale Q è
q
1 Q2
Ue  
• Espressioni alternative
0
C
dq 
2 C
1 Q2 1
1
Ue 
 QV  CV 2
2 C 2
2
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Energia elettrostatica
• Nel processo di carica di un condensatore, viene
generato un campo E tra le armature
• Il lavoro speso per caricare il condensatore può
considerarsi come il lavoro necessario per generare
il campo E
• Condensatore piano di area A, distanza d e con
dielettrico
E  Q eA
V  Ed
• Sostituendo nell’espressione dell’energia elettrica
1
1
1 2
U e  QV  eAE Ed   eE Ad
2
2
2
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Energia elettrostatica
• La quantità Ad è il volume V compreso tra le piastre
• Definiamo la densità di energia elettrostatica dividendo
l’energia per il volume
Ue 1 2
ue 
 eE
V 2
• Nel caso generale la densità di energia può cambiare da
punto a punto e quindi dev’essere espressa in termini
differenziali
dU
ue 
dV
• Inversamente l’energia si trova integrando la densità nello
spazio
U   u e dV
S
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Energia elettrostatica
• Si può estendere la relazione
1 2
u e  eE
2
al caso generale, di cui non diamo la dimostrazione,
nella forma
1  
ue  E  D
2
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