Lezione di Cinematica File - e

Posizione di un punto nello spazio
 La posizione di un punto materiale nello spazio viene
individuata mediante il vettore posizione (o raggio vettore)
che congiunge l’origine del sistema di riferimento con il
punto materiale.

 In coordinate cartesiane:
r  xiˆ  yˆj  zkˆ
z
P
r
O
x
y
Spostamento e velocità media
P1 = posizione del corpo all’istante t1
P2 = posizione del corpo all’istante t2=t1+Δt
  
Spostamento: Δr  r2  r1  (x 2 iˆ  y 2 ˆj  z 2 kˆ)  (x 1 iˆ  y1 ˆj  z1 kˆ)
 (x  x )iˆ  (y  y )ˆj  (z  z )kˆ  Δxiˆ  Δyˆj  Δzkˆ
2
1
2
2
1
Velocità vettoriale media:
z
P1
r1
Δr
P2
r2
O
x
1


Δr Δx ˆ Δy ˆ Δz ˆ
vM 

i
j
k
Δt Δt
Δt
Δt
La velocità media ha la stessa
y direzione dello spostamento!
Velocità vettoriale istantanea
La velocità istantanea è definita partendo dalla velocità media
e considerandone il limite per Δt→0:




Δr dr dx ˆ dy ˆ dz ˆ
v  lim v M  lim


i
j k
Δt 0
Δt 0 Δt
dt dt
dt
dt
Le componenti del vettore velocità sono dunque:
dx
vx 
dt
dy
vy 
dt
dz y
vz 
dt
Per Δt→0 la direzione dello
spostamento tende ad essere
tangente alla traiettoria
Il vettore velocità istantanea
è tangente alla traiettoria
Δr Δr
r(t)
O
Δr
r(t+Δt)
r(t+Δt)
r(t+Δt)
x
Accelerazione
Siano v1 e v2 le velocità del punto materiale agli istanti di tempo
t1 e t2=t1+Δt
 


v 2  v 1 Δv

Accelerazione media: a M 
t 2  t1
Δt
Accelerazione istantanea:





v (t  Δt)  v (t) dv
a  lim a M  lim

Δt 0
Δt 0
Δt
dt
dv x d 2 x
ax 
 2
dt
dt
d2y
ay 
 2
dt
dt
dv y
dv z d 2 z
az 
 2
dt
dt
In generale il vettore a avrà una componente parallela alla
traiettoria (accelerazione tangenziale) ed una componente
perpendicolare alla traiettoria (accelerazione normale)
Moto balistico
Consideriamo una particella che si muove in 2 dimensioni con
velocità iniziale v0 e accelerazione di gravità g costante
y

2
g   g ˆj (g  9,8m/s )
g
v0
v0y
y0
O
Posizione iniziale: (x0 , y0 )
θ0
v0x
Velocità iniziale:
v0x  v0 cos θ0
v0y  v0 sin θ0
x
x0
Il moto orizzontale ed il moto verticale sono indipendenti:
 asse x: moto rettilineo uniforme con velocità v0x
 asse y: moto uniformemente accelerato con velocità iniziale
v0y e accelerazione -g
Equazioni del moto balistico
Asse x:
x  x0  v0x t  x  x0  v0 cosθ0 t
v x  v0 cosθ0
Asse y:
1 2
1 2
y  y0  v0y t  gt  y  y0  v0 sinθ0 t  gt
2
2
v y  v0 sinθ0 - gt
Equazione della traiettoria:
x  x0
t
v 0 cosθ0
1 (x  x0 )2
y  y0  tgθ0 (x  x0 )  g 2 2
2 v0 cos θ0
La traiettoria è un arco di parabola con concavità verso il basso
Gittata orizzontale
Consideriamo il caso di un proiettile che parte dall’origine del
sistema di riferimento (x0=0, y0=0):
1
x2
Traiettoria: y  tgθ0 x  g 2
2 v0 cos 2 θ0
y


1
x

  0 
y  0  x  tgθ0  g 2
2
2 v0 cos θ0 

2v02
v02
x 0 x 
sinθ0 cosθ0 
sin2θ0
g
g
La gittata è massima per θ0=45°
Formule valide solo se la quota di
arrivo è uguale a quella di partenza!
O
xG
x
Punto di massima altezza
y
yH
H
y0
O
x0
xH
x
v0 sinθ0
v sinθ0  gt  0  t 
Nel punto di altezza massima vy=0: 0
g
v02 sinθ0 cosθ0
x H  x0  v0 cosθ0 t  x0 
g
v02 sin2θ0
1 2
y H  y0  v0 sinθ0 t  gt  y0 
2
2g
Moto circolare uniforme
La traiettoria è una circonferenza
La velocità è costante in modulo (ma non in direzione e verso!)
2πR
Periodo: T 
v
v(t)
v t
α
R
v(t)
α
Δv
v(t+Δt)
v(t+Δt)
α
Δv  2vsin
2
R
α
O
Accelerazione centripeta
v Δt
v Δt
2vsin
2 sin
Δv
v
2R
2R

 
vΔ t
Δt
Δt
R
2R
v(t)
Δv v 2
a  lim

Δt 0 Δt
R
v(t)
α
β
Δv
v(t+Δt)
v(t+Δt)
α
a
O
π
Δt  0  α  0  β  
2
 
Δv e v perpendicolari 

a diretto verso il centro
L’accelerazione è centripeta
ed in modulo vale v2/R