Sistemi e Tecnologie della
Comunicazione
Lezione 4: strato fisico: caratterizzazione del segnale in frequenza; formula di Nyquist
Lo strato fisico

Le principali funzioni dello strato fisico sono






definizione delle interfacce meccaniche (specifiche dei connettori)
tra il mezzo trasmissivo ed il computer
definzione delle interfacce elettriche o ottiche (definizione dei
livelli di tensione, lunghezze d’onda dei segnali)
codifica del segnale (rappresentazione dei dati in termini delle
caratteristiche del segnale, modulazione)
amplificazione e rigenerazione del segnale
definizione delle specifiche del mezzo trasmissivo (cavi, fibre)
Lo strato fisico riceve dal livello superiore un insieme di
bytes (frame) e lo trasmette sul mezzo trasmissivo come
un flusso di bit indipendenti
Trasmissione delle informazioni


Le informazioni nella trasmissione dati vengono
inviate tramite propagazione di segnali
elettromagnetici (tensioni, onde radio, luce, …)
utilizzando diversi mezzi trasmissivi (cavi in rame,
fibre ottiche, aria, spazio vuoto)
L’informazione trasmessa viene codificata tramite
la variazione di caratteristiche del segnale
trasmesso, ed interpretata in ricezione secondo le
stesse regole
Esempio

Possiamo ad esempio pensare di trasmettere la
sequenza di bit 0101100100100 tramite un
segnale ad impulsi quadri di lunghezza T in modo
che al bit 0 corrisponda un valore di tensione 0,
al bit 1 corrisponda un valore di tensione V
Segnali periodici


Nella trasmissione dati
hanno particolare
importanza i segnali
periodici
Caratteristiche:




ampiezza (A): livello
massimo del segnale
fase (φ): misura della
posizione relativa del
segnale ad un dato istante
periodo (T): intervallo
temporale della periodicita’
frequenza (f): inverso del
periodo
1
1
f  in Hertz : 1Hz 
T
sec
Caratteristiche dei segnali periodici
Altre caratteristiche

Per i segnali sinusoidali si definiscono anche:



lunghezza d’onda (λ): la distanza in metri tra due punti di uguale fase in
periodi adiacenti (la distanza tra due creste d’onda)
velocita’ di propagazione (v): la velocita’ con cui si sposta una cresta
d’onda nello spazio
In base alle definizioni si ha:
v


T
 f
Velocita’ delle onde elettromagneliche:
c  3  108 m/s (nel vuoto), c  2  108 m/s (nel rame)

Per la luce si ha
f  1014  1015 Hz    3  106  3  107 m
Somma di onde sinusoidali




La somma di onde
sinusoidali le cui
frequenze sono multipli
di una di esse e’ ancora
un segnale periodico
La frequenza piu’ bassa
si chiama fondamentale
La frequenza fn  n  f0
si chiama armonica
n-esima
La frequenza del
segnale risultante e’
pari alla frequenza
fondamentale
Caratterizzazione dei segnali in frequenza





In generale un segnale trasmesso in un certo modo in ricezione
si presenta differente a causa di effetti dovuti alla trasmissione
La trattazione dei segnali in termini della loro evoluzione
temporale si rivela complessa
Come vedremo in seguito puo’ caratterizzare la risposta della
trasmissione dei segnali in funzione della frequenza di un segnale
sinusoidale generato in trasmissione
Poiche’ non tutti i segnali sono sinusoidali, ne’ periodici, risulta di
fondamentale importanza ricondurre la trattazione di un qualsiasi
segnale in termini di segnali sinusoidali (a frequenza definita)
Esiste una teoria matematica, elaborata da Fourier, che ci
permette di considerare ogni segnale come somma di segnali
sinusoidali
Serie di Fourier


Data una qualsiasi funzione periodica di periodo T continua con
derivata continua a tratti e limitata, e’ possibile scriverla come
somma di seni e coseni:

a0 
v ( t )    an  cos2nf0 t    bn  sin 2nf0 t 
2 n1
n1
dove f0 = 1/T e’ la frequenza della funzione
I coefficienti dello sviluppo sono dati dalle relazioni:
2 T
a0    v ( t )dt
T 0
2 T
an    v ( t ) cos2nf0 t dt
T 0
2 T
bn    v ( t ) sin 2nf0 t dt
T 0
Esempio 1: funzione coseno

Eseguiamo lo sviluppo di Fourier della funzione
v( t )  A cos(2f0t   )

I coefficienti sono:
T
2
a0   A cos2f0 t   dt  0
T 0
T
2
0 per n  1
an   A cos2f0 t    cos2nf0 t dt  
T 0
 A cos  per n  1
T
2
0 per n  1
bn   A cos2f0 t   sin 2nf0 t dt  
T 0
 A sin   per n  1

Quindi lo sviluppo e’:
A cos2f0t     A cos cos2f0t   A sin  sin 2f0t 
Forma esponenziale della serie di Fourier

La serie di Fourier puo’ essere scritta in modo piu’
generale (anche per funzioni complesse) nella forma:
f (t ) 
1
cn 
T


i 2nfo t
c

e
n
n 
T

f ( t )  e i 2nfo t dt
0
Per le funzioni reali si ha:
c n  cn
a0  c0 , an  2  Re cn , bn  2  Imcn 
Esempio 2: onda quadra

L’onda quadra e’ definita come:
T

 A per kT  t  kT  2 , k  Z
v(t )  
 A per kT  T  t  k  1T , k  Z

2
Esempio 2: onda quadra

Il calcolo di coefficienti per l’onda quadra
fornisce:
0 per n pari

cn   2A
i
per
n
dispari
 n
4A
sin( 2 nf0 t )
v t  

 n disp.
n
Altra rappresentazione

La serie di Fourier si rappresenta anche come
serie di soli coseni:

v t   v0   vn cos( 2nf0 t   n )
n1
dove
vn  an2  bn2
 bn 
 n   arctan  
 an 
Segnali non periodici




Benche’ improprio, si puo’ pensare ad un segnale
non periodico come ad un segnale periodico di
periodo infinito
La frequenza fondamentale (quindi la distanza tra
le armoniche) si riduce a zero
La rappresentazione del segnale tramite serie di
Fourier, in questo limite, sara’ costituita da
somma di frequenze sempre piu’ vicine
all’aumentare del periodo
La serie di Fourier si trasforma da somma in
integrale
Trasformata di Fourier

Data una funzione v(t) integrabile, non periodica e tale che:
si ha:



v(t ) dt  
2

v(t )   V  f e
i 2ft

df
dove
V ( f )  vt    vt e


si dice trasformata di Fourier di v
i 2ft
dt
Rappresentazione spettrale di un segnale



Il grafico delle ampiezze
rispetto alle frequenze di cui
e’ composto il nostro
segnale si chiama
rappresentazione spettrale
Le righe della
rappresentazione spettrale
mostrano il contributo alla
ampiezza del segnale
dovuto alle relative
frequenze
Se il segnale ha un valore
medio non nullo (cioe’ il
coefficiente a0 non e’ nullo)
il segnale ha una
componente continua (a
frequenza nulla)
Spettri continui e discreti


Una funzione periodica e’ esprimibile come
somma di funzioni sinusoidali a frequenze che
sono multipli interi della frequenza del segnale,
quindi ha uno spettro discreto, cioe’ costituito da
un insieme discreto di frequenze
Una funzione non periodica e’ esprimibile come
integrale di funzioni sinusoidali; le sue
componenti possono avere qualsiasi frequenza,
quindi avra’ uno spettro continuo
Esempio di spettro continuo

Il segnale di impulso quadro di ampiezza A
e periodo T ha per trasformata di Fourier la
funzione S ( f )  AT  sinTf 
Tf
il cui spettro e’ mostrato in figura
Potenza di un segnale

Si definisce potenza media del segnale periodico la quantita’:
1
P
T

In base alle trasformazioni di Fourier, si puo’ dimostrare che la
potenza media del segnale periodico e’ data da (teorema di
Parseval):
P

 cn
n 


2


0 f t dt
T
2
2

 a0 
     an2  bn2 
 2  n1
Spesso la rappresentazione spettrale viene fatta graficando il modulo
dei coefficienti di Fourier dello sviluppo, evidenziando il contributo
alla potenza del segnale dovuto alle diverse armoniche
Al limite per n
∞ il contributo alla potenza delle armoniche tende
a zero (quindi i contributi principali vengono dalle armoniche piu’
basse)
Spettro dei contributi alla potenza
Larghezza di banda di un segnale




La larghezza di banda di un segnale e’ data
dall’intervallo delle frequenze di cui e’ composto il
suo spettro
Generalmente un segnale ha banda infinita
Tuttavia spesso la potenza del segnale e’
contenuta per la maggior parte in un insieme
limitato di frequenze
Questo intervallo limitato di frequenze si dice
banda efficace del segnale
Limitazione della banda in trasmissione




Nella trasmissione dei segnali e’ impossibile
trasmettere tutte le frequenze di cui e’ composto
il segnale stesso
Il mezzo trasmissivo, la tecnologia che genera il
segnale o scelte volontarie impongono una
limitazione alla banda utilizzabile
La trasmissione di un numero limitato delle
armoniche del segnale fa si che in ricezione il
segnale apparira’ differente
Maggiore e’ il numero di armoniche trasmesse,
migliore apparira’ il segnale in ricezione
Effetto della limitazione di banda




Supponiamo di voler trasmettere il carattere ASCII ‘B’, che secondo la
codifica e’ dato dalla sequenza di bit 01100010, ad una velocita’ di
trasferimento di 2000 bps
Il segnale che rappresenta il carattere di 8 bit avra’ un periodo di
8/2000 secondi, quindi una frequenza fondamentale pari a 250 Hz
La trasmissione su un canale con banda limitata permettera’ di
trasmettere solo le prime armoniche
Vediamo nella figura seguente come un canale con 2 KHz di banda (8
armoniche) permette una ricostruzione agevole del segnale inviato,
mentre un canale con banda ridotta a 500 Hz (2 armoniche) rende
molto piu’ problematica la ricostruzione dei bit trasmessi, che diventa
impossibile lasciando passare solo la prima armonica
Effetti della limitazione di banda
Velocita’ di trasmissione e larghezza di banda





Con lo stesso esempio possiamo vedere come la presenza
di un canale a banda limitata, di fatto limita la velocita’ di
trasmissione dati ottenibile sul canale
Supponiamo di avere una linea telefonica, la cui larghezza
di banda e’ circa 3.1 KHz, e di trasmettere il carattere di
prima alla velocita’ di B bit al secondo
La frequenza del segnale (cioe’ la frequenza della prima
armonica) sara’ B/8 Hz
Ne segue che l’armonica piu’ alta che potra’ attraversare il
canale avra’ n=3000/(B/8), cioe’ 24000/B.
Da questo consegue che, ad esempio, una trasmissione a
9600 bps lascera’ passare soltanto le prime due
armoniche, compromettendo la ricostruibilita’ dei bit in
ricezione, mentre una trasmissione a 2400 o 4800 bps
sara’ efficace.
Formula di Nyquist

Nyquist ha dimostrato una relazione tra la velocita’ di
trasmissione ottenibile attraverso un canale a banda
limitata:

il tasso di trasmissione dati massimo ottenibile attraverso un
canale privo di rumore con larghezza di banda H e’ dato da
B  2  H bit/s

Se si trasmettono segnali multilivello, con molteplicita’ M, il tasso
di trasmissione massimo e’ dato da:
B  2  H  log 2 M bit/s