Sistemi e Tecnologie della Comunicazione Lezione 4: strato fisico: caratterizzazione del segnale in frequenza; formula di Nyquist Lo strato fisico Le principali funzioni dello strato fisico sono definizione delle interfacce meccaniche (specifiche dei connettori) tra il mezzo trasmissivo ed il computer definzione delle interfacce elettriche o ottiche (definizione dei livelli di tensione, lunghezze d’onda dei segnali) codifica del segnale (rappresentazione dei dati in termini delle caratteristiche del segnale, modulazione) amplificazione e rigenerazione del segnale definizione delle specifiche del mezzo trasmissivo (cavi, fibre) Lo strato fisico riceve dal livello superiore un insieme di bytes (frame) e lo trasmette sul mezzo trasmissivo come un flusso di bit indipendenti Trasmissione delle informazioni Le informazioni nella trasmissione dati vengono inviate tramite propagazione di segnali elettromagnetici (tensioni, onde radio, luce, …) utilizzando diversi mezzi trasmissivi (cavi in rame, fibre ottiche, aria, spazio vuoto) L’informazione trasmessa viene codificata tramite la variazione di caratteristiche del segnale trasmesso, ed interpretata in ricezione secondo le stesse regole Esempio Possiamo ad esempio pensare di trasmettere la sequenza di bit 0101100100100 tramite un segnale ad impulsi quadri di lunghezza T in modo che al bit 0 corrisponda un valore di tensione 0, al bit 1 corrisponda un valore di tensione V Segnali periodici Nella trasmissione dati hanno particolare importanza i segnali periodici Caratteristiche: ampiezza (A): livello massimo del segnale fase (φ): misura della posizione relativa del segnale ad un dato istante periodo (T): intervallo temporale della periodicita’ frequenza (f): inverso del periodo 1 1 f in Hertz : 1Hz T sec Caratteristiche dei segnali periodici Altre caratteristiche Per i segnali sinusoidali si definiscono anche: lunghezza d’onda (λ): la distanza in metri tra due punti di uguale fase in periodi adiacenti (la distanza tra due creste d’onda) velocita’ di propagazione (v): la velocita’ con cui si sposta una cresta d’onda nello spazio In base alle definizioni si ha: v T f Velocita’ delle onde elettromagneliche: c 3 108 m/s (nel vuoto), c 2 108 m/s (nel rame) Per la luce si ha f 1014 1015 Hz 3 106 3 107 m Somma di onde sinusoidali La somma di onde sinusoidali le cui frequenze sono multipli di una di esse e’ ancora un segnale periodico La frequenza piu’ bassa si chiama fondamentale La frequenza fn n f0 si chiama armonica n-esima La frequenza del segnale risultante e’ pari alla frequenza fondamentale Caratterizzazione dei segnali in frequenza In generale un segnale trasmesso in un certo modo in ricezione si presenta differente a causa di effetti dovuti alla trasmissione La trattazione dei segnali in termini della loro evoluzione temporale si rivela complessa Come vedremo in seguito puo’ caratterizzare la risposta della trasmissione dei segnali in funzione della frequenza di un segnale sinusoidale generato in trasmissione Poiche’ non tutti i segnali sono sinusoidali, ne’ periodici, risulta di fondamentale importanza ricondurre la trattazione di un qualsiasi segnale in termini di segnali sinusoidali (a frequenza definita) Esiste una teoria matematica, elaborata da Fourier, che ci permette di considerare ogni segnale come somma di segnali sinusoidali Serie di Fourier Data una qualsiasi funzione periodica di periodo T continua con derivata continua a tratti e limitata, e’ possibile scriverla come somma di seni e coseni: a0 v ( t ) an cos2nf0 t bn sin 2nf0 t 2 n1 n1 dove f0 = 1/T e’ la frequenza della funzione I coefficienti dello sviluppo sono dati dalle relazioni: 2 T a0 v ( t )dt T 0 2 T an v ( t ) cos2nf0 t dt T 0 2 T bn v ( t ) sin 2nf0 t dt T 0 Esempio 1: funzione coseno Eseguiamo lo sviluppo di Fourier della funzione v( t ) A cos(2f0t ) I coefficienti sono: T 2 a0 A cos2f0 t dt 0 T 0 T 2 0 per n 1 an A cos2f0 t cos2nf0 t dt T 0 A cos per n 1 T 2 0 per n 1 bn A cos2f0 t sin 2nf0 t dt T 0 A sin per n 1 Quindi lo sviluppo e’: A cos2f0t A cos cos2f0t A sin sin 2f0t Forma esponenziale della serie di Fourier La serie di Fourier puo’ essere scritta in modo piu’ generale (anche per funzioni complesse) nella forma: f (t ) 1 cn T i 2nfo t c e n n T f ( t ) e i 2nfo t dt 0 Per le funzioni reali si ha: c n cn a0 c0 , an 2 Re cn , bn 2 Imcn Esempio 2: onda quadra L’onda quadra e’ definita come: T A per kT t kT 2 , k Z v(t ) A per kT T t k 1T , k Z 2 Esempio 2: onda quadra Il calcolo di coefficienti per l’onda quadra fornisce: 0 per n pari cn 2A i per n dispari n 4A sin( 2 nf0 t ) v t n disp. n Altra rappresentazione La serie di Fourier si rappresenta anche come serie di soli coseni: v t v0 vn cos( 2nf0 t n ) n1 dove vn an2 bn2 bn n arctan an Segnali non periodici Benche’ improprio, si puo’ pensare ad un segnale non periodico come ad un segnale periodico di periodo infinito La frequenza fondamentale (quindi la distanza tra le armoniche) si riduce a zero La rappresentazione del segnale tramite serie di Fourier, in questo limite, sara’ costituita da somma di frequenze sempre piu’ vicine all’aumentare del periodo La serie di Fourier si trasforma da somma in integrale Trasformata di Fourier Data una funzione v(t) integrabile, non periodica e tale che: si ha: v(t ) dt 2 v(t ) V f e i 2ft df dove V ( f ) vt vt e si dice trasformata di Fourier di v i 2ft dt Rappresentazione spettrale di un segnale Il grafico delle ampiezze rispetto alle frequenze di cui e’ composto il nostro segnale si chiama rappresentazione spettrale Le righe della rappresentazione spettrale mostrano il contributo alla ampiezza del segnale dovuto alle relative frequenze Se il segnale ha un valore medio non nullo (cioe’ il coefficiente a0 non e’ nullo) il segnale ha una componente continua (a frequenza nulla) Spettri continui e discreti Una funzione periodica e’ esprimibile come somma di funzioni sinusoidali a frequenze che sono multipli interi della frequenza del segnale, quindi ha uno spettro discreto, cioe’ costituito da un insieme discreto di frequenze Una funzione non periodica e’ esprimibile come integrale di funzioni sinusoidali; le sue componenti possono avere qualsiasi frequenza, quindi avra’ uno spettro continuo Esempio di spettro continuo Il segnale di impulso quadro di ampiezza A e periodo T ha per trasformata di Fourier la funzione S ( f ) AT sinTf Tf il cui spettro e’ mostrato in figura Potenza di un segnale Si definisce potenza media del segnale periodico la quantita’: 1 P T In base alle trasformazioni di Fourier, si puo’ dimostrare che la potenza media del segnale periodico e’ data da (teorema di Parseval): P cn n 2 0 f t dt T 2 2 a0 an2 bn2 2 n1 Spesso la rappresentazione spettrale viene fatta graficando il modulo dei coefficienti di Fourier dello sviluppo, evidenziando il contributo alla potenza del segnale dovuto alle diverse armoniche Al limite per n ∞ il contributo alla potenza delle armoniche tende a zero (quindi i contributi principali vengono dalle armoniche piu’ basse) Spettro dei contributi alla potenza Larghezza di banda di un segnale La larghezza di banda di un segnale e’ data dall’intervallo delle frequenze di cui e’ composto il suo spettro Generalmente un segnale ha banda infinita Tuttavia spesso la potenza del segnale e’ contenuta per la maggior parte in un insieme limitato di frequenze Questo intervallo limitato di frequenze si dice banda efficace del segnale Limitazione della banda in trasmissione Nella trasmissione dei segnali e’ impossibile trasmettere tutte le frequenze di cui e’ composto il segnale stesso Il mezzo trasmissivo, la tecnologia che genera il segnale o scelte volontarie impongono una limitazione alla banda utilizzabile La trasmissione di un numero limitato delle armoniche del segnale fa si che in ricezione il segnale apparira’ differente Maggiore e’ il numero di armoniche trasmesse, migliore apparira’ il segnale in ricezione Effetto della limitazione di banda Supponiamo di voler trasmettere il carattere ASCII ‘B’, che secondo la codifica e’ dato dalla sequenza di bit 01100010, ad una velocita’ di trasferimento di 2000 bps Il segnale che rappresenta il carattere di 8 bit avra’ un periodo di 8/2000 secondi, quindi una frequenza fondamentale pari a 250 Hz La trasmissione su un canale con banda limitata permettera’ di trasmettere solo le prime armoniche Vediamo nella figura seguente come un canale con 2 KHz di banda (8 armoniche) permette una ricostruzione agevole del segnale inviato, mentre un canale con banda ridotta a 500 Hz (2 armoniche) rende molto piu’ problematica la ricostruzione dei bit trasmessi, che diventa impossibile lasciando passare solo la prima armonica Effetti della limitazione di banda Velocita’ di trasmissione e larghezza di banda Con lo stesso esempio possiamo vedere come la presenza di un canale a banda limitata, di fatto limita la velocita’ di trasmissione dati ottenibile sul canale Supponiamo di avere una linea telefonica, la cui larghezza di banda e’ circa 3.1 KHz, e di trasmettere il carattere di prima alla velocita’ di B bit al secondo La frequenza del segnale (cioe’ la frequenza della prima armonica) sara’ B/8 Hz Ne segue che l’armonica piu’ alta che potra’ attraversare il canale avra’ n=3000/(B/8), cioe’ 24000/B. Da questo consegue che, ad esempio, una trasmissione a 9600 bps lascera’ passare soltanto le prime due armoniche, compromettendo la ricostruibilita’ dei bit in ricezione, mentre una trasmissione a 2400 o 4800 bps sara’ efficace. Formula di Nyquist Nyquist ha dimostrato una relazione tra la velocita’ di trasmissione ottenibile attraverso un canale a banda limitata: il tasso di trasmissione dati massimo ottenibile attraverso un canale privo di rumore con larghezza di banda H e’ dato da B 2 H bit/s Se si trasmettono segnali multilivello, con molteplicita’ M, il tasso di trasmissione massimo e’ dato da: B 2 H log 2 M bit/s