Ripasso di matematica

Introduzione alla Fisica
• Ripasso di matematica
Elementi di matematica utilizzati in
questo corso
• Frazioni
• Proprietà delle potenze
• Potenze di dieci e notazione scientifica
• Manipolazione, semplificazione di espressioni algebriche
• Soluzione di equazioni di primo grado
• Proporzioni
• Conversioni tra unità di misura
• Percentuali
• Funzioni e loro rappresentazione grafica
• Angoli, elementi di trigonometria
• Elementi di geometria
• Operazioni coi vettori
Algebra dei numeri relativi
Numeri relativi: numeri preceduti dal segno + o dal segno –
segno
a =  5,2
modulo o valore assoluto
(si indica con |a|)
Due numeri relativi sono
• concordi se hanno lo stesso segno es: (–3 ; –7,15 ; –6001);
• discordi se hanno segno contrario es: (+73,6 ; –12,2);
• opposti se hanno stesso modulo e segno contrario es: (–2,13 ; +2,13)
• reciproci (inversi) se hanno lo stesso segno e modulo inverso
es: (–4/5 ; –5/4)
Chiamiamo espressione algebrica una espressione matematica che
contiene numeri relativi
2
 1  4
numerica:     
 2  3
letterale:
3a 2b  5ab 2
... dove le lettere rappresentano
In una espressione matematica
un generico numero
In una legge fisica
una grandezza fisica
• intero (0; 1; 2; 3; ...)
valore numerico + unità di misura
• intero relativo (.. –2; -1; 0; 1; ...)
• m ( 3,7 kg; 8 mg; 12 lb; ...)
• reale (-1/2; 136,11111; 7; e2,7...)
• t ( 8,7 ms; 3 h; 2,7 giorni; ...)
Stessa algebra !!
Somma algebrica
Nell’algebra dei numeri relativi, una espressione contenente addizioni e
sottrazioni numeriche e letterali
3  2z  5  8 y  4
viene sempre considerata come una somma algebrica, ovvero intesa
come somma di numeri relativi:
 3  (2 z )  (5)  (8 y )  (4)
Nota: per lo scioglimento delle parentesi in una espressione
•
si elimina la parentesi se preceduta dal segno +
•
si elimina la parentesi cambiando segno a tutti i fattori al suo
interno se preceduta dal segno -
 (4 x  2 y  3z )  4 x  2 y  3z
 (4 x  2 y  3z )  4 x  2 y  3z
Le 4 operazioni
• Addizione (somma)
(2)  (6)  8
(13)  (9)  4
Addendi concordi:somma dei moduli
stesso segno
Addendi discordi:differenza dei moduli
• Sottrazione (differenza)
segno dell’addendo di modulo
maggiore
Si ottiene sommando al primo numero
(minuendo) l’opposto del secondo (sottraendo)
(4)  (9)  (4)  (9)  5
• Moltiplicazione (prodotto)
(4)( 3)( 7)  84
Il modulo è il prodotto dei moduli
Il segno è positivo -> numero pari di segni 
negativo -> numero dispari di segni 
• Divisione (quoziente o rapporto)
 1
(21) : (7)  (21)    3
 7
Si ottiene moltiplicando il dividendo
per il reciproco del divisore
Frazioni
Una frazione è un rapporto tra due numeri a e b
a
b
numeratore
denominatore
Frazioni equivalenti
Dividendo o moltiplicando numeratore e denominatore per un fattore
comune, la frazione non cambia.
a x a

b x b
Es:
3
6
1
2
6
12
sono frazioni equivalenti
Riduzione ai minimi termini
Esprimere una frazione in una forma equivalente con valori minimi del numeratore e
denominatore (divisione per tutti i fattori comuni)
4 22 2


10 2  5 5
3
378 7  2  33 2  3 6



2
315 7  5  3
5
5
Frazioni
Moltiplicazione di due frazioni
a c ac
 
b d bd
Es:
2
2 6 26
22 4
 


3 5 35
5
5
5 3 5  3 15
 

2 2 22 4
Somma/differenza di frazioni:
a c ad  bc
 
b d
bd
Es:
1 2 3 4 7
 

2 3
6
4
3 1 9  2 11
 

4 6
12
12
a c ad  bc
 
b d
bd
(12 = minimo comune multiplo di 6 e 4)
1
9 2 94 5 1
 


10 5
10
10 2
2
Inverso di una frazione:
Divisione di due frazioni:
a
 
b  a d
c b c
 
d 
Es:  2 
3 2 3 1
4
 
3
  
3 4 2
2
1
b

a a
 
b
Es:
1
3

2/3 2
Esempi:
2 1 1
 1 
  1 3       
5 3 2
 6 
R.  2
3  2  3
 7 
   :  2       : 1   
2  3  4
 6 
R.  5
Le frazioni di frazioni si risolvono facilmente ricordando le proprietà
viste finora
Esempi:
1
5  18  8
1 5 1 5
8
3
7  31  1
9 7 9 21
Frazioni
3/4 e’ maggiore di 5/6 ? Equivalentemente, 3/4-5/6 > 0 ?
Confronto tra frazioni
Per confrontare due frazioni e’ opportuno esprimerle in forma equivalente
con denominatore comune
Il minimo comune denominatore tra 4 e 6 e’ 12
3 9

4 12
5 10

6 12
3 5 9  10  1
1
 

 0
4 6
12
12
12

 Nota :


3
5
 
4
6
3 5

4 6
3 5

4 6
Elevamento a Potenza
a = base, b = esponente
a  a  a  a  (b volte)
b
Proprietà delle potenze:
•an + am 
(nessuna particolare proprietà)
•an·am = an+m
•(an)m = an*m
• una potenza di esponente pari
e`sempre positiva;
• una potenza di esponente dispari e`
negativa se la base e negativa.
a3 + a2 = (a·a·a) + (a·a) = … dipende!
a3·a2 = (a·a·a)·(a·a) = a·a·a·a·a = a5
(a3)2 = (a·a·a)·(a·a·a) = a·a·a a·a·a·a = a6
•an/am = an-m
a3/a2 = (a·a·a)/(a·a) = a = a1
•an·bn = (a·b)n
a2·b2 = a·a·b·b = a·b·a·b = (a·b)2
Ma attenzione:
a2/a3 = (a·a)/(a·a·a) = 1/a = a-1 = a2-3
a3/a3 = (a·a·a)/(a·a·a) = 1 = a0 = a3-3
Perchè la regola continua a valere, occorre definire
a-n = 1/an potenza a esponente
a0 = 1
negativo
potenza a esponente nullo
Esempi:
 1
 
 2
3
4
 1
  
 2
 2 2
2

 23  33 
 1
 
 2
 35
4
R.  16
3
R.  9
 1
  
 3
 1 
  1
 2 
R.  8
R.  216
 1
  
 2
8
2
1 

 R.   128 
3

 

R.  64
Radice di un numero
a = radicando, n = indice
E` l’operazione inversa dell’elevamento a potenza:
n
a
è quel numero la cui potenza n-esima è uguale ad a :
 a
n
n
 n a  n a  (n volte)  a
• la radice di indice pari di un numero negativo non esiste
4
• la radice di indice dispari di un numero esiste ed è unica
3
• esistono sempre due radici di indice pari di un numero positivo
8  2;
3
 27  3
25  5
Nota: una potenza con esponente frazionario è uguale ad un radicale
che ha per indice il denominatore della frazione
man
= an/m
Infatti
an/m·an/m·an/m··· (m volte) = amn/m= an
Esempio: 2a6 = a6/2 = (a*a*a)*(a*a*a) = (a*a*a)2 = a*a*a = a3
Esempi:
6
R.  4
2 
12
1

 R.   2 
3
2
4  42 
3
2
(4)  (4)
3
2
4 10 4  2 10 2

4
10

R.  assurdo 
R.  200
Proprietà dei radicali:
1
a a ;
np
a mp  n a m
n
a  n b  n c   n a  b  c
(prodotto di radicali dello stesso indice)
n
a : n b  n a:b
(quoziente di radicali dello stesso indice)
 a
n
m n
k
n
0 0 ;
si verificano facilmente utilizzando potenze con
esponenti frazionari !
n
1 1
da cui si ha
 n ak
an  a
(potenza di un radicale)
a  m n a
an b 
n
(radice di un radicale)
n
an  b
 n an  b
se a >0
se n è pari e a<0
Monomi e Polinomi
Monomio: una qualunque espressione algebrica che si presenta sotto
forma di prodotto di fattori numerici e letterali
4

3
Coefficiente
ab
3
Grado nella lettera b
Parte letterale
identici se hanno stesso coefficiente e stessa parte letterale
2 2
4 2
ab ;
a b ; 0, 6 a 2b ; 
3
6
simili se hanno la stessa parte letterale e diverso coefficiente
 8a 2bc 4
;
5 2 4
a bc
7
; 5,2a 2bc 4
; 
Polinomio: è una somma algebrica di più monomi non simili
2a  3b ; mn  2n  4 ; 3ab  4a  2b  9
binomio
trinomio
Le operazioni algebriche con monomi si eseguono seguendo le regole
viste in precedenza, e ricordando che solo monomi simili possono essere
sommati algebricamente
Esempi:
3a 2b  2ab 2  5a 2b  ab 2 
6ab   3a b 
2
2
5 2
8a b

3
 2ab
 2a 3b   2ab 

 :   2 2  
 3c   9a c 
3a bc 
2
3 2

R.  ab  2a b
R.  18a b 
2
2
3 3

a4 
 R.  4 
b

R.  3a c
4
R.  9a b c 
4 2 6
Il prodotto di due polinomi si ottiene come somma algebrica dei prodotti
di ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo.
Esempi:
R.
 2a  ab  3a b 
2
2
3x  2 y 4x  5 y  
R.

 7 xy  10 y 
6a 3b  3a 3b3
12 x 2
2
I calcoli possono essere semplificati utilizzandi i prodotti notevoli:
1
(a  b)( a  b)  a 2  b 2
( a  b) 2 
1 1
a 2  2ab  b 2
(a  b) 3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3
1
1
2
3
1
3
1
triangolo di Tartaglia
Il quoziente di un polinomio per un monomio è uguale alla somma
algebrica dei quozienti di ciascun termine del polinomio per il
monomio divisore.
Esempi:
8a b 12ab : 4ab 
2
R.
2
1 3 2 9 2 3  1 4 5
 a b  a b : a b  
4
4
  4

R.
2a  3b
9a 2b 2  a 1b 3

Il quoziente di due polinomi non è in generale risolubile.
Tuttavia, è spesso possibile semplificare una frazione algebrica
raccogliendo ed eliminando i fattori moltiplicativi comuni a tutti i
termini del numeratore e del denominatore (scomposizione in fattori)
Esempi:
2a 2  2a

4ab  4b
a

 R. 2b 
9x2 1

2
12 x  4 x
3 x  1

 R.
4 x 
378

315
6 x  11 y  6

3x  5 y  3
6

 R. 5 


6 x  11y  6
 R. 3x  5 y  3 oppure 2 con resto  y


Potenze di dieci
100 =
101 =
102 =
103 =
…….
106 =
…….
1
10
10·10 = 100
10·10·10 =1000
1000000
105
(si legge “dieci alla quinta”)
è uguale a 1 moltiplicato per
1*100000 = 100000
10-1 =
10-2 =
10-3 =
…….
10-6 =
…….
1/101 = 0,1
1/102 = 0,01
1/103 = 0,001
0,000001
10-5
105
è uguale a 1.0 spostando la virgola
a destra di 5 posti
(si legge “dieci alla meno 5”)
è uguale a 1 diviso per 105
1/100000 = 0.00001
è uguale a 1.0 spostando la virgola
a sinistra di 5 posti
Potenze di dieci
Consideriamo un numero, ad es. 12,43
Questo numero lo posso scrivere in varie forme equivalenti:
 12,43 
1
12,43  
 10  1,243 10  1,243 10
 10 
Posso spostare la virgola di una posizione verso sinistra
moltiplicando il numero risultante per 101
 12 ,43 
2
12,43  
 100  0,1243 100  0 ,1243 10
 100 
12,43  0,01243 10
3
Virgola spostata di due posizioni verso sinistra
numero risultante moltiplicato per 102
Fattore moltiplicativo: 103
Virgola spostata di 3 posizioni a sinistra
12,43 
(12,43  10) 124,3

 124,3  10 1
10
10
12,43  1243 10
2
Virgola spostata di una posizione verso destra
numero risultante moltiplicato per 101
3
Fattore moltiplicativo: 10-3
12,43  12430 10
Virgola spostata di 3 posizioni a destra
E’ possibile esprimere qualsiasi numero come il prodotto di un fattore per una potenza di
dieci.
Il fattore numerico è ottenuto spostando la virgola del numero iniziale di un numero di
posizioni pari al valore assoluto dell’esponente, verso sinistra se l’esponente è positivo, verso
destra se negativo.
Potenze di dieci e notazione scientifica
Notazione scientifica (forma esponenziale)
Si usa nei calcoli scientifici per esprimere numeri molto grandi e molto piccoli
parte numerica
5,213·10-7
numero compreso
tra 1 e 9,999..
prodotto
si usano anche i
simboli  e 
Esempi:
l = 345000 m = 3,45·105 m
l = 0,00038 m = 3,8·10-4 m
potenza di 10
l’esponente rappresenta
il numero di posti decimali
di cui occorre spostare la
virgola
Potenze di dieci e notazione scientifica
Conversione di un numero da notazione ordinaria a notazione scientifica
Esempi:
274 =274,0 = 2,74·100 = 2,74·102
4250000 = 4,25·106
0,35 = 3,5/10 = 3,5·10-1
(virgola spostata di 6 posizioni verso sinistra)
0,001 = 1/1.000 = 1/103 = 1·10-3
(virgola spostata di 3 posizioni verso destra)
0,000043 = 4,3/100.000 = 4,3·10-5 (virgola spostata di 5 posizioni verso destra)
In conclusione:
Per convertire un numero in notazione scientifica si sposta la virgola decimale fino ad
ottenere un fattore numerico compreso tra 1 e 10 che moltiplica una potenza di dieci con
esponente pari al numero di posizioni di cui si è spostata la virgola.
L’esponente è positivo se la virgola decimale è spostata verso sinistra (numero grande),
negativo se è spostata verso destra (numero piccolo).
Potenze di dieci e notazione scientifica
Conversione di un numero da notazione scientifica a notazione ordinaria
Il prodotto di un numero per una potenza 10n con esponente positivo
si ottiene dal numero iniziale spostandone la virgola di n posizioni verso destra
Esempi:
3·10 = 3,0·101 = 30
1,5·102 = 1,5·100 =
150 4
1,5·10 = 15000
Il prodotto di un numero per un potenza 10-n con esponente negativo, si ottiene
invece spostando la virgola del numero iniziale di n posizioni verso sinistra.
Esempi:
3·10-1 = 3/101 = 3/10 =0,3
1,5·10-2 = 1,5/100 = 0,015
1,5·10-4 = 0,00015
Esempi: convertire da notazione numerica scientifica a notazione
numerica ordinaria (o viceversa)
0,00321 
972000 
8,26 10 4 
3,2 10 7 
R.
R.

9,72 10 
3,2110-3
5
R.
82600
R. 0,00000032
Le proprietà delle potenze permettono di eseguire velocemente operazioni
complicate, con risultati esatti
0,00002  0,0003 
0,02  3000

60  0,4
4
0,0016 
R.
6 10-9
R.
R.

2,5
0,2
o con risultati approssimati (cioè non lontani dal risultato vero).
7987  70444 
R.
 5,6 108

Equazioni
Equazione = relazione di uguaglianza tra due membri
verificata per particolari valori di una variabile incognita
ax + b = 0

Sommando (sottraendo)
una stessa quantità a entrambi i membri
Moltiplicando (dividendo)
per una stessa quantità entrambi i membri
x = -b/a
 il risultato non cambia
Es 1:
3
 x 7
4
3
3
3
 x  7 
4
4
4
x 7 -
3
4
x
28 - 3 25

4
4
Es 2:
3
 x 7
4
3
4
4
 x 7 
4
3
3
x 7 
4
3
x
7  4 28

3
3
Equazioni di 1o grado
La variabile incognita compare elevata alla prima potenza: x1 = x
Esempio:
a
d
xc   f
b
e
a
d
xc   f
b
e
a
d
xcc   f c
b
e
a
d

 x    f  c
b
e

d

a  x    f  c b
e

d
 b
x    f  c 
e
 a
Esempi: risolvere le equazioni rispetto alle variabili evidenziate
32x  5  5  x
R.
x  2
2a  b  x  2x  b
R.
x  b  2a
1
b
ac
1 

 R. a  b  c 
2(5  x)  x  3(x  2)
R.
2(3  x)  x  3(x  2)
R.
impossibil e
sempre verificato
Proporzioni
a:b = c:d  ad = bc
a/b = c/d

Prodotto dei medi = prodotto degli estremi
Nulla di magico: sono solo normali equazioni!
a = bc/d
b = ad/c
c = ad/b
d = bc/a
Es 1: Conversione tra unità di misura (Lire  euro):
N lire : X euro  1936,27 lire : 1 euro 
X euro  1936,27 lire  N lire  1 euro
Es 2: Se un corridore percorre a velocità costante 19,2 m in 2 s, quanto impiega a
percorrere 100 m?
100 m : X s  19,2 m : 2 s  X s  19,2 m  2 s  100 m 
X
2 s  100 m
 10,4 s
19,2 m
Es 3: Un corridore percorre una distanza a velocità 5 m/s in 2 s. Quanto tempo
impiega a percorrere la medesima distanza se la velocità 10 m/s ?
Per usare una proporzione le due grandezze devono
essere tra loro DIRETTAMENTE PROPORZIONALI
Esempio: risolvere usando le proporzioni
Mediante perfusione intravenosa vengono somministrate 50 gocce al
min di soluzione fisiologica (20 gocce = 1mlitro). Dopo 30 min, quanti
mlitri di soluzione sono stati somministrati ?
R.
75 ml 
Soluzione:
Si impostano le seguenti proporzioni
a)
50 gocce : 1 min = x : 30 min
da cui x = 1500 gocce
b)
20 gocce : 1 ml = 1500 gocce : x
da cui x = 75 ml
Equazioni nella Fisica
Relazione di uguaglianza tra due membri
tutto ciò che è a 1o membro (numeri + unità di misura)
deve essere uguale a tutto ciò che è a 2o membro
Es. Area di un rettangolo:
A = ab = (50 cm)*(1 m)
= 50 cm*m (da evitare!)
= 50 cm * 100 cm = 5000 cm2
= 5000 cm NO!
= 0.5 m * 1 m = 0.5 m2
= 0.5 m NO!
Equivalenze tra unità di misura
b
a
A
a = 50 cm, b = 1 m
Equivalenze tra unità di misura
Occorre conoscere il fattore di conversione tra le diverse unità di misura
Es.
Velocità
km/h  m/s
1 km/h = 1000 m / 3600 s
= 0,28 m/s
m/s  km/h
1m/s = 0,001 km / (1/3600) h
= 3,6 km/h
n km/h = n · 0,28 m/s
n m/s = n · 3,6 km/h
Velocità di un atleta dei 100 m:
di un’automobile:
della luce:
10 m/s = 10 · 3.6 km/h = 36 km/h
120 km/h = 120 · 0,28 m/s = 33,6 m/s
300000 km/s = 3 · 108 m/s
= 3 · 108 · 3,6 km/h = 1,08 · 109 km/h
Ovviamente il fattore di conversione inverso è l’inverso del
fattore di conversione!
Es. 0,28 = 1 / 3,6
Multipli e Sottomultipli
Multipli e sottomultipli di una unità di misura possono essere espressi
usando prefissi:
Prefisso Simbolo Fattore di
moltiplicazione
Prefisso Simbolo Fattore di
moltiplicazione
peta
P
1015
deci
d
10-1
tera
T
1012
centi
c
10-2
giga
G
109
milli
m
10-3
mega
M
106
micro

10-6
kilo
k
103
nano
n
10-9
etto
h
102
pico
p
10-12
deca
da
101
femto
f
10-15
Es:
1 km = 103 m
1 Mm = 106 m
1 Gm = 109 m
1 dm = 10-1 m
1 cm = 10-2 m
1 mm = 10-3 m
1 m = 10-6 m
1 nm = 10-9 m
1 pm = 10-12m
(1 mm = 1/1000 m = 1/103 m = 10-3 m)
Esempi: convertire le seguenti grandezze nelle unità di misura indicate
• 12 in/min in cm/s
in
2,54 cm
cm
12
 12
 0,51
min
60 s
s
• 6,7 litri in m3 (ricordare che 1 litro = 1 dm3)
6,7 l  6,7 dm3  6,7  (101 m)3  6,7 103 m3
• 33 kg/m3 in mg/cm3
kg
103 g
103  (103 mg )
mg
33 3  33
 33
 33 3
3
6
3
2
m
10 cm
cm
10 cm


• 1h 7’ 30’’ in min
1h 7' 30''  60 min  7 min  30 60 min  67,5 min
Percentuale
Metodo “comodo” per esprimere variazioni
(aumenti o diminuzioni) rispetto a una situazione nota
1 % = 1/100 = 10-2
= 0.01
n % = n/100 = 10-2•n = 0.01•n
Esempi:
•
3% di 150 = 3/100 · 150 = 0,03 · 150 = 4,5
• 20% di 10000 = 0,20 · 10000 = 2000
• 20% di 0,003 = 0,20 · 0,003 = 2 · 10-1 · 3 · 10-3 = 6 · 10-4 = 0,0006
• 200% di 1000 = 2 · 1000 = 2000
(raddoppiare  aumentare del 100%  passare al 200 %)
“Per mille”: 1 ‰ = 1/1000 = 0.001 = 0.1%
“Parte per milione”: 1 ppm = 1/1000000 = 0.000001 = 0.0001% = 0.001 ‰
Attenzione: la percentuale e’ sempre
relativa alla grandezza a cui si riferisce!
Esempi:
• 20% di 1000 grammi = (0.20 · 1000) grammi = 200 grammi
• Aumentare una quantità Q del 5%:
Q  Q + 5%Q = Q + 0,05 · Q = Q · (1 + 0,05) = 1,05· Q
• Diminuire una quantità Q del 5%:
Q  Q - 5%Q = Q - 0,05 · Q = Q · (1 - 0,05) = 0,95 · Q
• Soluzione di una sostanza in acqua al 5% =
in volume: ad es. in 1 litro di soluzione, 950 cm3 d’acqua e 50 cm3 di soluto
in peso:
ad es. in 1 kg di soluzione, 950 g d’acqua e 50 g di soluto
Superfici e volumi
Il perimetro di una figura si misura sempre in m, cm, …
L’area della superficie di un corpo si misura sempre in m2, cm2,…
Il volume (o capacità) di un corpo si misura sempre in m3, cm3,…
r
cerchio
sfera
c=2r A=r2
S=4r2 V=(4/3)r3
r
quadrato
P=4l
l
S
cubo
A=l2
l
parallelepipedo
l V = S·l
S
S=6l2
V=l3
cilindro
l V = S·l = r2·l
1 m2 = (1 m)2 = (102 cm)2 = 104 cm2 = 10000 cm2
1 m3 = (1 m)3 = (102 cm)3 = 106 cm3 = 1000000 cm3
1 cm2 = (1 cm)2 = (10-2 m)2 = 10-4 m2 = 0.0001 m2
1 cm3 = (1 cm)3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3 = 0.000001 m3
1 litro = 1 dm3
= (1 dm)3 = (10-1 m)3 = 10-3 m3
= (101 cm)3 = 103 cm3
1 ml = 1 cm3
Triangoli rettangoli
Teorema di Pitagora
a
c
a2  b2  c2
b
Esempio:
b  a2  c2
Casi particolari
b
a
b
a2  2  b2
a  2 b
a
b
2
1
c a
2
30o
a
b
60o
c
b2  a 2  c2 
2
3
1 
 a2   a   a2
4
2 
3
b
a
2
Angolo piano a
Unità di misura
s
a
R
angolo giro
angolo piatto
angolo retto
360°  2 rad
180°   rad
90°  /2 rad
gradi, minuti, secondi
1° = 60' 1' = 60"
es: 32° 27' 38"
lunghezza arco s
a (rad) =
R
Per convertire tra gradi e radianti si può utilizzare la semplice proporzione
x rad : y gradi =  : 180°
Esempio: convertire 60o in radianti
Sulla calcolatrice: RAD
DEG
GRAD
Funzioni e loro rappresentazione grafica
Funzione = relazione univoca tra due grandezze variabili
y=f(x)
variabile dipendente
variabile indipendente
Esempi:
y=x
y=2x
ordinate
Assi Cartesiani
variabile dipendente
La funzione che lega le due
grandezze X ed Y può essere
rappresentata graficamente
attraverso una curva in un
piano cartesiano
Y
Definire la funzione y=f(x) significa stabilire come varia la
variabile dipendente y al variare della variabile indipendente x.
0
ascisse
variabile indipendente
X
Relazioni tra grandezze fisiche:
Proporzionalità lineare diretta
La relazione tra due grandezze fisiche può essere rappresentata
in modo grafico nel piano cartesiano (x,y):
Proporzionalità diretta
s direttamente
proporzionale a t
ordinate
Es.:
s = v·t
L
L     t 
t
s (km)
retta
t
s
15
1h
5 km
10
2h
10 km
3h
15 km
km
v5
h
5
ascisse
O
1
2
3
t (h)
Proporzionalità inversa
p (Pa)
Proporzionalità inversa
Es.:
p inversamente
proporzionale a V
pV = nRT
con nRT = costante
p
V
1 m3
2
m3
p
cost
V
3 m3 4/3 Pa
4
3
4 Pa
2 Pa
Iperbole
equilatera
2
cost = 4
1
O
1
2
3
4
V (m3)
Proporzionalità quadratica diretta
Proporzionalità quadratica
s quadraticamente
proporzionale a t
Es.:
1 2
s  at
2
s (m)
parabola
2
 
L 2
[L ]   2  t
t 
t
1s
2s
1/2
s
O
0.5 m
2m
a = 1 m/s2
1
2
t (s)
Esempi di funzioni in Fisica
y raddoppia
 proporz.diretta
s = v•t
 = c•T
F = m•a
V = R•I
1o grado
al raddoppiare di x
s
y si dimezza
 proporz.inversa
v=s/t
 = c/f
v
2s
v
s
v/2
t
2t
Retta
t
t
2t
Iperbole
t
Esempi di funzioni in Fisica
y quadruplica
al raddoppiare di x
y si riduce a ¼
 proporz.dir. quadr.
 proporz.inv. quadr.
s = ½ a t2
Fg = G•m1m2/r2
Ek = ½ m v2
Fe =
s
K•q1q2/r2
F
4s
F
¼F
s
t
2t
Parabola
t
r 2r
r
Proporz.inv.quadr
Trigonometria di base
C1
-1
sen θ
 tg θ
cos θ
y
A

O cos 
B
1
x

cos 
sen 
tg 
0o
1
0
0
3 /3
1
30o = /6
3/2
1/2
45o = /4
2/2
60o = /3
1/2
2/2
3/2
90o = /2
0
1

180o = 
-1
0
0
270o = 3/2
0
-1

3
-1
Per definizione: - 1  sen θ , cos θ  1
dal teorema di Pitagora: sen2+cos2=1
Le funzioni trigonometriche sono funzioni del solo angolo : se scegliamo R1
cos θ 
OB
OA
sin θ 
OC
OA
tan θ 
OC
OB
Trigonometria di base: il triangolo rettangolo
Le principali applicazioni della trigonometria sono:
• descrizione dei fenomeni di tipo periodico (es. oscillazioni ed onde)
• proiezioni parallele e perpendicolari rispetto ad una direzione scelta
… riprendiamo il nostro triangolo rettangolo: si ha
C
AC2+AB2=CB2(sen2+cos2)=CB2
AC CB  sen θ

 tg θ
AB CB  cos θ
A

B
AC = CB·sen 
AB = CB·cos 
AC = AB·tg 
direzione arbitraria
AB è la proiezione di CB nella direzione parallela ad AB
AC è la proiezione di CB nella direzione perpendicolare ad AB
Le funzioni trigonometriche
seno e coseno
y
+1
o
–1
y
+1
o
–1
a
y = sen a
90° 180°270°360°
/2 
3/2 2 5/2 3 radianti
90°180°270°360°
/2 
3/2 2 5/2 3
a
radianti
y = cos a
Le funzioni trigonometriche
y = sen a
y
+1
a
o
-2
90° 180°270° 360°
-3/2
-
-/2
Relazioni trigonometriche
–1
/2

3/2
2
y = cos a
cos a   cos a
sin  a    sin a




sin   a   sin   a 
2

2



sin   a   cos a
2

rad
Funzioni dipendenti dal tempo
Vasta classe di fenomeni della Fisica (e della vita quotidiana)
Le leggi fisiche in cui il tempo appare come variabile
indipendente sono dette Leggi Orarie
Tempo (t) = variabile indipendente
Alcuni esempi:
• Moti:
• Oscillazioni:
• Decadimenti:
s=s(t), v=v(t), a=a(t)
s(t) = A cos(t)
n(t) = n0 e-t
Grandezze vettoriali
• si indicano con v (oppure con la lettera v in grassetto)
modulo (v o |v|)
• sono caratterizzate da 3 dati direzione
vettore
verso
direzione
verso
modulo

v
Esempio di vettore: spostamento s
•modulo s = |s|= 2,7 m
•direzione : verticale
•verso : dall’alto verso il basso
punto di
applicazione
altri vettori: velocità, accelerazione, ...
Le grandezze che non hanno natura vettoriale sono
chiamate grandezze scalari
Esempio: temperatura, pressione, densità,....
Vettori uguali
stesso modulo
stessa direzione
stesso verso
Vettori opposti
stesso modulo
stessa direzione
verso opposto
Nota:
•
due vettori possono essere uguali anche se il punto di
applicazione è differente;
•
il vettore opposto di v è il vettore (-v).
•
L’unità di misura di una grandezza vettoriale e
l’unità di misura con cui viene espresso il suo modulo.
Somma di due vettori
regola del parallelogramma (metodo grafico)

a


a
s


+ b = s


b
s è anche chiamato
 
vettore risultante di a e b
Due vettori opposti hanno risultante nulla !!
Differenza di due vettori
regola del parallelogramma (metodo grafico)



a – b = d

a

d

b

d

-b

a

b

d



b +d = a
Scomposizione di un vettore
Un vettore può sempre essere scomposto in una somma di due
vettori detti componenti, uno parallela (//) ed uno perpendicolare ()
rispetto ad una qualsiasi direzione e verso stabiliti.
Per chi conosce la trigonometria:
v// = v cos a
v = v sen a
v//
a
v
... altrementi: usare (quando

possibile) le proprietà dei triangoli
v
Componenti di un vettore nel piano cartesiano
Nel piano cartesiano bidimensionale (x,y) un vettore può
essere scomposto nelle sue due componenti ortogonali vx e vy
vx = |v| cos a
vy = |v| sen a
vx2 + vy2 =
= v2 cos2a + v2 sen2a =
= v2 (cos2a+sen2a) = v2
y
vy

v  v  v 2x  v 2y

v
a
vx
x
Somma e differenza in componenti
y
v1y

Somma di vettori
v1
v3y
o
v1x
a
v2x
v2y
Differenza di vettori
v3
v3x

v2
v3 = v1 + v2
v3x = v1x + v2x
v3y = v1y + v2y

v3  v3  v23x  v23y
tg α 
v3 = v1 - v2
v 3y
v 3x
v3x = v1x - v2x
v3y = v1y - v2y
Moltiplicazione o divisione di un vettore
per uno scalare
Moltiplicare o dividere un vettore per uno scalare
equivale a moltiplicare o dividere il modulo del
vettore, lasciando invariata la direzione ed il verso.
Esempio:
v
2·v
½·v
Prodotto scalare di due vettori
a•b = |a||b|cos  = |a|b'
b

b' = |b|cos  : componente di b lungo a
b'
Es.:
a
 = 0o


a
b
a  b = ab cos f = ab

 = 90°
a

b
 = 180°
 

a

b
 
a  b = ab cos  = 0
 
a  b = ab cos  = – ab
Prodotto vettoriale di due vettori
c=ab
c
b
b
b''


a
b"
a
Direzione di c:
ortogonale ad a e b
Modulo di c :
|c| = |a||b|sen  = |a|b”
b”
b’’: componente di b ortogonale ad a
Verso di c:
verso di avanzamento di una vite che ruota sovrapponendo a su b
Vettori: caso unidimensionale
Se tutti i vettori nel problema considerato hanno la
stessa direzione, il problema si semplifica notevolmente
(problema unidimensionale)
somma e differenza
di vettori
somma algebrica dei
corrispondenti moduli
prodotto scalare di
due vettori
Prodotto algebrico dei
corrispondenti moduli
algebra ordinaria delle grandezze scalari
Simbologia Matematica
=
~
=
 oppure ~

> (<)
>> (<<)
 ()

|x|
x
-x
uguale a
approssimativamente uguale a
circa uguale, dell’ordine di grandezza di
diverso da
maggiore (minore) di
molto maggiore (minore) di
maggiore (minore) o uguale
direttamente proporzionale a
modulo (o valore assoluto) di x
variazione (aumento) di x (xdopo-xprima)
diminuzione (o differenza) di x (xprima-xdopo)