Generazione con tecniche solitoniche di soluzioni
speciali delle equazioni di Einstein-Maxwell
Armando Paolino
Docente guida: prof. Antonio Degasperis
Relatore esterno: prof. Vladimir Belinski
1
Personal works
•
A.Paolino and M.Pizzi "Equilibrium configurations in the double Reissner-Nordstrom exact
solution", International Journal of Modern Physics A (IJMPA) 23-8 (2008), 1222.
•
A.Paolino and M.Pizzi "Electric force lines of the double Reissner-Nordstrom exact solution",
International Journal of Modern Physics D (IJMPD) 17-8 (2008), 1159.
•
A.Paolino and M.Pizzi “Stability in the Alekseev-Bellinski solution”, talk delivered by Marco
Pizzi at the III Stuckelberg Workshop.
•
V.A. Belinski, A.Paolino and M.Pizzi "A membrane model of the Reissner-Nordstrom
singularity with repulsive gravity", accepted for pub. by International Journal of Modern
Physics (IJMPD).
•
V.A. Belinski, A.Paolino and M.Pizzi "Charged membrane as a source for repulsive gravity",
proceeding of III Stuckelberg Workshop.
•
A.Paolino and M.Pizzi "Intersections of self-gravitating charged shells in a ReissnerNordstrom field", submitted to International Journal of Modern Physics D (IJMPD).
2
Argomenti trattati nella presentazione
• Descrizione del problema di interesse: sorgenti cariche massive
in equilibrio statico
• Tecnica solitonica di Alekseev per la generazione di soluzioni esatte
delle equazioni di Einstein-Maxwell
(electrovacuum, stazionarie e a simmetria assiale)
• Soluzione di Alekseev-Belinski (AB-2007)
• Una analisi delle configurazioni qualitativamente differenti
rispetto ai campi elettrici e alla stabilità della soluzione (AB-2007)
• Descrizione della costruzione di una tecnica per generare
soluzioni solitoniche perturbative (prime applicazioni)
3
EQUILIBRIO ELETTROSTATICO
TRA DUE CARICHE PUNTIFORMI
Fisica Newtoniana
m1 m2 e1 e2
m1
e1
m2
e2
Relatività Generale problema più complesso:
È possibile che vi siano più condizioni per
l’equilibrio.
Sono state dedotte condizioni di equilibrio “buone”
(asintotica piattezza, assenza di vincoli aggiuntivi),
per m1 e1 e m2 e2 .
Potrebbero essere condizioni non necessarie.
Tali deduzioni sono il frutto di approcci al problema
sia approssimati che esatti.
4
OBBIETTIVO DI RICERCA:
Analisi del problema in maniera esatta
tramite l’applicazione
della tecnica di generazione di soluzione esatte solitonica
di Belinski-Zakharov-Alekseev (BZA).
per le equazioni accoppiate di Einstein-Maxwell
5
Tecnica di Belinski-Zakharov (BZ) (1978-79)
Si applica a tensori metrici dipendenti solo da due coordinate
(con un gruppo di isometrie a due parametri commutativo)
Costruita con metodi spettrali (ISM)
Genera nuove soluzioni (solitoniche) a partire soluzioni note.
Tecnica di Alekseev (1986)
Estende la tecnica BZ al sistema accoppiato Einstein-Maxwell.
6
CARATTERISTICHE DEL PROBLEMA:
Statico
Simmetria assiale
Coinvolge campi gravitazionali ed elettrostatici (nel vuoto)
Equazioni accoppiate di Einstein-Maxwell (Electrovaccum)
per
metriche stazionarie a simmetria assiale.
7
Equazioni di Einstein-Maxwell:
Rij 12 R gij Tij
ik
g
F
0
,k
Tij
1
2
F F
ik
k
j
14 Flm F lm gij
Fij Aj ,i Ai , j
Elemento di linea e vettore potenziale elettrico a simmetria assiale
stazionaria:
ds 2 g ab x dx a dx b f x dx dx
Aa Aa x , A 0
x0 , x1 , x 2 , x3 t , , , z
a , b,.. 0,1
, ,.. 2, 3
1 0
0 1
8
ds 2 g 00 , z dt 2 2 g 01 , z dtd g11 , z d 2 f , z d 2 dz 2
Ovvero:
Aa Aa , z , A 0
In tale scelta di simmetria il sistema di Einstein-Maxwell si riduce a:
R b ..F 2 .. b
a
a
f F , 0
R ..F ..
2
1
bc
bc
b cd
g
g
4
g
A
A
2
g Ac , Ad ,
ac
,
a
,
c
,
a
,
g ac Ac , 0
,
2 eq.ni dalle quali, note gab ed Aa , si ottiene f
per quadratura
in cui:
det gab .
9
Schema di massima della tecnica spettrale
Coppia di Lax
A
x , z
Coppia di equazioni lineari per la “matrice di generazione”, complessa 3x3
x ,
: parametro spettrale complesso
: Operatori differenziali generalizzati
A : Matrici dipendenti razionalmente dal parametro spettrale
Le equazioni di compatibilità della coppia di Lax
X , X 1 , 0
Equivalgono ale equazioni di Einstein-Maxwell
1
bc
2 bc
g
g
2
k
g a , c ,
ac
,
,
g ac c , 0
,
se
g ab 2 a b
X 4
b
a Aa i Ba
a
1
2
10
La tecnica per costruire soluzioni solitoniche nuove si riassume in una procedura
che, a parte l’integrazione del sistema lineare per la coppia di Lax relativa alla
soluzione nota, è costituita da calcoli algebrici.
n w ; w1 , w2 ,...wn 0
Trasf. Darboux: “vestitura” soluzione
n
Rk
k 1 w wk
I
nota
In cui:
k , , Rk : matrici 3x3
Rk : costante dipendente la 3 parametri complessi ( l A ,
dalle componenti di
A 1..3 )
costanti e
01 w
w wk
11
Per ogni solitone si introducono un certo numero di parametri:
2 relativi alla parte reale e immaginaria dei poli:
wk k i k
4 relativi alla parte reale e immaginaria di 2 delle costanti complesse l A
(una può essere scelta arbitrariamente).
k rappresenta con la “posizione” dei solitoni sull’asse z ,
per i rimanenti parametri vi è un problema di identificazione fisica.
12
SOLUZIONE DI ALEKSEEV-BELINSKI
• G.A. Alekseev and V.A. Belinski,
“Equilibrium configurations of two charged masses in General Relativity,
PRD, 76, (2007), 021501(R)
• G.A. Alekseev and V.A. Belinski,
“Superposition of fields of two Reissner-Nordstrom sources”,
Proc. of XI Marcel Grossmann Meeting (Berlin, July 2006), (2007) - gr-qc/0710.2515,
La soluzione non è stata dedotta per mezzo della tecnica di dressing
descritta ma con un’altra tecnica
13
SOLUZIONE DI ALEKSEEV-BELINSKI
2
ds H , z dt
d 2 f , z d 2 dz 2
H , z
2
2
At , z , A A Az 0
r m 2 2 1 y 2
1
1
1
1
z r1 m1 y1 z1
H
D2 G 2 F 2
D G
2
,
f
x
2
1
r m 2 2 1 y 2
2
2
2
2
z r2 m2 y2 z2
f0 D G
2
12 y12 x2 2 2 2 y2 2
,
yk cos k l z2 z1
F
DG
D x1 x2 2 y1 y2 x12 x2 2 12 y12 2 2 y2 2 2 m1m2 q1q2 y1 y2
G m1 x2 m2 x1 q1 y1 q2 y2 2 m1x1 m2 x2 y1 q2 m1l y2 q1 m2l
F q1 x2 q2 x1 m1 y1 m2 y2 2 q1x1 q2 x2 y1 m2 q1l y m1 q2l
q1 e1
q2 e2
f0
m q m1q2
2 1
l
1
1 2
2
,
12 m12 2 q12
2 2 m2 2 2 q2 2
m1m2 q1q2
l m12 m2 2 q12 q2 2
2
5 parametri
condizioni di equilibrio
m1 , m2 , e1 , e2 , l
m1m2 q1q2
0
14
Condizioni di Equilibrio
•
•
Le condizioni di equilibrio riducono il numero dei 5 parametri indipendenti a 4.
Ad esempio volendo esprimere il parametro di distanza in termini degli altri
quattro si ottiene:
l m1 m2
=0
2 0
2
1
2
m1e2 m2e1
e2 e1
2 m1m2 e1e2
scegliamo
2
1 0
2
2 0
e1 e2 4m1m2
sorgente n1 buco nero
sorgente n2 singolarità nuda
Condizione di separabilità
Ovvero posizione della singolarità nuda esterna all’orizzonte del buco nero.
l 1 0
Condizione di realtà per l
e1 e2 4m1 m2
15
Definizione delle linee di campo elettrico
Dal teorema di Gauss generalizzato a varietà pseudoriemanniane
4 Q F Fij dxi dx j ,
S
dove
Fij 12 g ijkl F kl
S
Definiamo il vettore campo elettrico dal tensore elettromagnetico
E F 0 ,
1, 2, 3 componenti spaziali
d r1
r1
E
r1 , 1
d
d 1 E 1 r ,
1
1
d
Le linee di forza del campo elettrico
sono definite come
le linee integrali del sistema dinamico
Interpretazione (Christodolou-Ruffini):
Una linea di forza del campo elettrico è una linea tangente alla direzione della
forza elettrica misurata da una particella carica di prova inizialmente a riposo
e con velocità iniziale
u0
g 00 , 0 , 0 , 0 ,
x0 t
16
Coordinate
La soluzione è espressa in termini di un sistema di coordinate bipolari ridondante
r m 2 2 1 y 2
1
1
1
1
z r1 m1 y1 z1
r m 2 2 1 y 2
2
2
2
2
z r2 m2 y2 z2
yk cos k l z2 z1
Scegliendo di lavorare con le coordinate r1 , 1
Le coordinate r2 , 2 sono definite dalle relazioni
1
2
2
4
2
r
m
b
b
4
z
z
2
2
2
2
2
cos = z z2
2
r2 m2
dove
b 2 2 2 2 z z2
2
e
r1 , 1
z z r1 , 1
17
Singolarità conica
Per
m1m2 q1q2
0
La soluzione di Alekseev-Belinski presenta una singolarità conica, ovvero per
t , z costante
essa, in prossimità della regione dell’asse compreso tra le sorgenti,
è ben approssimata dall’elemento di linea bi-dimensionale
ds 2 a 2 2 d 2 d 2
Ciò significa che la soluzione non è “elementarmente piatta”, ovvero
lim
0
L
2
1
Se L è la lunghezza di una circonferenza di raggio allacciata all’asse
18
Risulta che
2
0 L
a lim
1
fH
0
Ed inoltre è facile vedere (ma non tanto) che
1 2
1 2
a
0
z
Mentre nelle semirette sull’asse esterne alle sorgenti tale deficit di angolo
è sempre nullo
19
Forza di richiamo associata alla singolarità conica
La presenza della singolarità conica è una conseguenza del fatto che le “forze”
reciproche tra le sorgenti, dipendenti da generici valori delle loro masse e cariche,
non permetterebbero al sistema di rimanere in equilibrio statico,
ovvero la loro risultante non si annulla (vedi soluzione di Bach).
E’ possibile quindi associare alla stringa una “forza”, che, sommata alla risultante
del sistema non nulla, la compensi (Starobinski, Israel).
Schema di massima per la definizione della forza di tensione
t , z costante
K : curvatura gaussiana
K
d
2
k
ds
• Teorema di Gauss-Bonnet
Q
Q g
k g : curvatura geodetica
• Dalla geometria si deduce per calcolo k g
Lavorando sulla sottovarietà bidimensionale
• Dal teorema si definisce la curvatura gaussiana in termini di una distribuzione
• Dalla curvatura gaussiana si deduce il tensore di Einstein
• Dalle equazioni di Einstein si deduce il tensore energia-impuso
4
z
• Integrando la componente Tz si ottiene la forza F a 1
1 2
20
Analisi di stabilità delle configurazioni di equilibrio
Disponendo dell’epressione della forza è possibile
analizzare la stabilità delle configurazioni di equilibrio.
F
1 2
Ad esempio, fissando valori per i parametri di massa e carica delle sorgenti,
si deduce dalle condizioni di equilibrio la distanza l per cui 0 ,
spostandosi quindi di x dalla distanza di equilibrio, si ha che la configurazione
scelta è stabile, ovvero che la stringa esercita una forza di richiamo, se
dF
d
0
dx x 0
dx x 0
Che, in forma (quasi esplicita), sfruttando le condizioni di separabilità
e di realtà della distanza, assume la forma
m1e2 m2e1 2 m1e2 m2e1 e1 e2 l M l M E 0
dove
l m1 m2
m1e2 m2e1
e2 e1
2 m1m2 e1e2
M m1 m2
e1 e2 4m1m2
E e1 e2
21
Esame della stabilità: un classificazione non completa
e1e2 0
e1e2 0
m1 m2
sempre stabili
m1 m2
e1 e2
trovati solo casi stabili
m1 m2
e1 e2
sempre instabili
m1 m2
sempre stabili
m1 m2
| e1 | e2
sempre stabili
m1 m2
| e1 | e2
trovati casi stabili; per grandi valori di e2 ,
si può dimostrare che si ha sempre stabilità
poichè
e1 0
lim l
e2
m1
e2
| e1 |
sempre stabili
22
Una considerazione asintotica
Considerando una configurazione di equilibrio per la quale abbia senso pensare
ad un limite classico per campi deboli, si vede che:
lim F
x
l
m1 m2
eq
che con la relazione
x
2
l
e1 e2
eq
x
2
M tot m1 m2
implicano che i parametri di massa della soluzione di Alekseev-Belinski
relativi a tali configurazioni, sono identificabili con le masse gravitazionali nel
senso di Newton
23
Linee del campo elettrico per alcuni casi qualitativamente diversi
• Sorgenti comparabili
e1e2 0
m1
m2
e1
e2
m1
1
e1
m2
e2
l
0.7
0.3
0.44
5
24
• Piccola carica nuda in prossimità di buco nero carico
e1e2 0
m1
| e1 |
m1
e1
m2
e2
l
m2
| e2 |
3
10
1.3 102
2.5
1
0.1
25
• Piccolo buco nero in prossimità di carica nuda
e1e2 0
Questo caso non è compatibile con le condizioni di equilibrio
• Sorgenti comparabili
e1e2 0
m1
m2
e1
e2
m1
1
e1
m2
e2
l
0.05
0.3
1.66
5
26
• Piccolo buco nero in prossimità di carica nuda e1e2 0 m1 m2 | e1 | | e2 |
In questo caso il plot è simile a quello di un campo Coulombiano generato
da un’unica carica
• Carica nuda in prossimità di un buco nero neutro
e1 0
m1
m2
m1
1
0
0.3
1.5
5
e1
m2
e2
l
27
• Piccola carica nuda in prossimità di un buco nero neutro (Hanni-Ruffini)
e1 0
m1
m2 , e2
m1
1
0
e1
m2
l
104
3
28
e1 0
m1
m2 , e2
m1
1
0
e1
m2
l
104
2
29
e1 0
m1
m1
e1
m2
l
m2 , e2
1
0
104
2.2
30
Approccio perturbativo
Difficoltà dell’approccio esatto:
1. Riparametrizzazione tra parametri matematici e parametri fisici
2. Prolungamento analitico dei poli e conseguente impossibilità
di ottenere condizioni di equilibrio
l1 1
1 – solitone
2 m ib
l
m2 b 2 a 2 e2 q 2 Im w1
a
eig
3
2
l
2
NB compaiono solo termini
a
2 – solitoni
k mk 2 bk 2 ak 2 ek 2 qk 2 Im wk
NB compaiono termini misti 1 2
1
l k 1
2
mk i bk
l
k
k ak
3
ek i g k
l
2
k
k ak
31
Perturbazioni rispetto alla costante di gravitazione universale di Newton G
Si deve passare dalle unità geometriche, per cui c=1 e G=1, ad unità per cui
si mantiene solo c=1, introducendo al posto giusto la costante G.
Formalmente, disponendo di una soluzione espressa in termini dei parametri
Fisici, come per esempio la soluzione ad un solitone,
è sufficiente fare le sostituzioni:
m G m,
b Gb ,
a a,
e G e,
g G g,
Per, quanto segue è meglio lavorare direttamente con la radice di G:
k G
Notazione per le espansioni di generiche funzioni in questo parametro:
0
1
2
3
f f f k f k f k 3 ...
1
2
32
Espansione delle equazioni di Einstein-Maxwell
Equazioni esatte
1
bc
2 bc
g
g
2
k
g a , c ,
ac
,
,
g ac c , 0
,
a Aa i Ba
Equazioni perturbate
0
0
1
bc
(
g
)(
g
)
ac
,
0
,
0
2
0
1
2
0
1
bc
1
bc
bc
(
g
)(
g
)
(
g
)(
g
)
2
(
g
)(
)(
ac ,
ac ,
a ,
c , )
0
2
4
0
0
2
1
3
1
4
2
0
3
1
1
bc
1
bc
bc
bc
bc
bc
(
g
)(
g
)
(
g
)(
g
)
(
g
)(
g
)
2
(
g
)(
)(
)
(
g
)(
)(
)
(
g
)(
)(
)
ac ,
ac ,
ac ,
a ,
c ,
a ,
c ,
a ,
c ,
0
1
ac
(
g
)(
c , ) 0
,
Disaccoppiate
0
2
3
1
ac
ac
(
g
)(
)
(
g
)(
c ,
c , ) 0
,
0
2
4
5
3
1
ac
ac
ac
(
g
)(
)
(
g
)(
)
(
g
)(
)
c
,
c
,
c
,
0
,
33
• L’obbiettivo non è di perturbare il prodotto finale della tecnica
ma di costruire una tecnica perturbativa che fornisca direttamente
i termini perturbativi delle soluzioni, ovvero che produca per dressing i termini
k
g ab
e
k
a
• Tale schema fornisce una tecnica che permette di trattare separatamente
la vestizione di campi gravitazionale e la vestizione di campi elettromagnetici
• Per esempio con essa sarà possibile generare soluzioni perturbative
di campi elettromagnetici su geometrie curve assegnate
34
Espansione della coppia di Lax
A
Usando la notazione
0
M
1
Mˆ M
2
M
0
0
0
A
1
0
1
1
0
A A
0
0
0
M
0
1
0
M
M
ˆ Aˆ ˆ
35
Equazioni di compatibilità
X , X 1 0
,
g ab 2 k 2 a b
Che, se X 4
k b
Xˆ , Xˆ 1
,
0
k a
1
2
Forniscono rispettivamente le equazioni di Einstein-Maxwell esatte
e le corrispondenti equazioni per i termini perturbativi
Dal fatto che la tecnica di Alekseev lavora per campi rappresentabili
tramite matrici quadrate di qualsiasi dimensione segue che la costruzione
della procedura di calcolo perturbativa è deducibile direttamente da quella esatta
rivestendo formalmente tutte le quantità in esse presenti con il simbolo “cappello”
36
L’azione di espansione può essere separata in due fasi, una riguardante
l’espansione della matrice di generazione, l’altra riguardante l’espansione
dei poli.
Nel caso in cui si scelga come soluzione di fondo lo spazio di Minkowsky,
la procedura presenterà solo l’espansione dei poli.
Il prodotto finale consiste in un formulario che produrrà i termini perturbativi
dei campi gravitazionali ed elettromagnetici
In particolare,
i termini corrispondenti a potenze pari del parametro di controllo k
produrranno termini dell’espansione dei campi gravitazionali,
i termini corrispondenti alle potenze dispari
i termini delle espansioni del potenziale elettromagnetico
37
Prime applicazioni
Lavoro svolto
1. Costruzione dei termini perturbativi fino al terzo ordine
per la soluzione ad 1 solitone
Utilità: esclusivamente di verifica della correttezza della procedura costruita
2. Costruzione dei termini perturbativi fino al primo ordine
per la soluzione a 2 solitoni
Ovvero soluzione per i campi elettromagnetici
di due sorgenti rotanti su Minkowsky. No interazione gravitazionale
Risultati: riparametrizzazione e espressione dei poli per rappresentare
i campi in maniera standard (Potenziali complessi di Linden-Bell ovvero
potenziali elettromagnetici di Ernst),
condizioni di equilibrio dedotte dalla minimizzazione dell’energia di
interazione.
38
Lavoro in progress
Costruzione dei termini perturbativi fino al terzo ordine
per la soluzione a 2 solitoni (primo ordine in cui compare una debole
interazione tra campi gravitazionali ed elettromagnetici)
Obbiettivo
Trovare i primi termini degli sviluppi
1. di una conveniente riparametrizzazione
2. della rappresentazione dei poli
3. delle condizioni di equilibrio
direttamente per il problema di due sorgenti cariche e rotanti
39
