Proprietà di E

Flusso
Data una corrente di aria o acqua il flusso
volumetrico (o la portata) è la quantità di aria
che attraversa la superficie nell’unità di tempo.
Dipenderà dalla angolo formato fra v e la spira.
Es. se v // spira il flusso è nullo
Ossia
 
  vA cos  v  A
Flusso del campo velocità:
ossia la quantità di un campo
che un’area interecetta.
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G. Pugliese, corso di Fisica generale
Flusso del campo elettrostatico

Sia dS una superficie elementare, immersa in una regione in cui èdefinito
un campo E, orientata fissando il verso del versore della normale n.
Si definisce flusso del campo E attraverso la superficie dS

 
d ( E )  E  dA  EdA cos 
Campo E
Il flusso attraverso una superficie

finita S, suddivisa in elementini dA

 
( E )   E  dA
2
Flusso del campo elettrostatico
Se la superficie è chiusa, per convenzione, la normale è orientata
verso l’esterno (quindi  uscente positivo- entrante negativo).

 
 ( E )   E  dS

dS
Unità di misura
[F]=[E][S] = V/m m2= Vm
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Teorema di Gauss


qint
 E  dS 
e0
Dove qint è la carica interna
alla superficie considerata
Teorema di GAUSS: Il flusso del campo E attraverso una
superficie qualsiasi chiusa è uguale alla somma algebrica delle
cariche contenute entro la superficie, comunque siano distribuite,
divisa per e 0
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Flusso campo di una carica puntiforme (1)

E
E
q 
u
2 r
4eo r
1
 
d  E  ndS  EdS
q
1
q 1
q
2
   EdS 
dS 
4r 
2
2

4e0 r
4e0 r
e0
Equivalenza T. Gauss e Legge di
Coulomb
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Flusso campo di una carica puntiforme (2)
Per una superficie chiusa qualsiasi:
Definizione di angolo solido sotto cui è
vista una superficie dS:
d 
dS cos  dS 
 2
2
r
r
 
d E  E  n dS 
q  
1 qdS cos 
1
u  ndS 

qd
2 r
2
4e0 r
4e0
r
4e0
1
 ( E )   d E 
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q
4e0

d
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Flusso campo di una carica puntiforme (2)
1: carica interna ad S
( E ) 
q
4e0
 d 
S
q
4e0
4 
q
e0
steradianti
2: carica esterna ad S.
Ogni cono elementare intercetta due superfici dS1, dS2
 
d1  E1  n dS1 
q
d
4e0
 
q
d 2  E2  n dS 2  
d
4e0
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 
( E )   E  ndS  0
S
7
Applicazioni T. di Gauss
r
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Lavoro in elettrostatica
• Lavoro ed energia potenziale sono due concetti collegati (si ricordi
prima parte del corso)
• Lavoro W per portare la carica q0 dai punti   b
in regione di campo elettrostatico E(P)
W 
b

q0
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
  b 
F  dl   q0 E ( P)  dl

Per un campo elettrostatico
NON dipende dal Gi scelto
ma solo dagli estremi!!! E’
conservativo!! Dimostriamolo
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Calcolo del lavoro
Lavoro su q’ nel campo prodotto della sorgente q
qq0
W
4eo
qq0

4eo

 
B u r  dl
A
r2
qq0

4eo
qq0
dr
rA r 2  4eo
rB
cos dl
A r 2
B
1 1
  
 rA rB 

dl
q0
E(r)
ur
dr


ds
dl
E(r+dr)

ur
q
E(r)
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Energia Potenziale

Ricordiamo che ad ogni forza conservativa è associata una energia
potenziale. Nel caso del campo elettrostatico:
WAB
q0 q  1 1 
  
 U  U A  U B 
4eo  rA rB 
Posto V(infinito) =0
Infinito
L’energia potenziale è nota a meno di una costante. Si
arbitrariamente il suo valore in un punto.  Di solito U() = 0
q0 q
U ( P) 
4eo r
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sceglie
L’energia potenziale di una carica
q’ nel campo generato da una
carica puntiforme q
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Potenziale di una carica puntiforme
Analogamente a quanto effettuato per passare da Forza  Campo
elettrico... …si può “privilegiare” q (“sorgente”) rispetto a q’ (“di prova”)
passando da
Lavoro  Diff. di potenziale:
Posto VB() = 0
WAB
U
q 1 1
  

 VA  VB 
q0
q0
4eo  rA rB 
V ( P) 
q
4eo r
Il POTENZIALE V (P) è il LAVORO (compiuto dal campo elettrico)
NECESSARIO PER PORTARE UNA CARICA UNITARIA DAL PUNTO P
DISTANTE r DALLA SORGENTE q ALL’ INFINITO
L’unità di misura: per il potenziale è il Volt [V] = V = J/C
per il campo elettrico
[E]=V/m
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Le superfici equipotenziali
Luogo dei punti aventi lo stesso potenziale
elettrico:
V(P) = costante
Sono in ogni punto perpendicolari alle
linee di forza del campo:
consideria mo uno spostament o

dr sulla supercie equipo.
 
dV  E  dr  0

E0
 


 E  dr  0  E  dr
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Potenziale di distribuzione di cariche
DISTRIBUZIONE DISCRETA:
Date i=1,2,…, N
cariche qi ognuna delle quali
genera in P un potenziale Vi(P) 
N
qi
4 eo rP ,i
N
qi
V ( P)  Vi ( P) 

4
e
i 1
o i 1 rP ,i
DISTRIBUZIONE CONTINUA:
Data una carica q continua
si scompone lo spazio in tanti volumetti dV
dV ( P ) 
1
dq
4eo r
di carica volumica r = dq / dV ognuno dei quali genera un potenziale
1
dq
V   dV 
 costante

4eo r
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Relazione tra E e V: noto il campo
Il potenziale elettrostatico è definito a partire dal lavoro per unità
di carica effettuato dal campo.
 
W   qo E  ds  qo V
 
V    E  ds
 
V f  Vi    E  ds
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Relazione tra E e V: NOTO il POTENZIALE
dW   qo dV
 
dW  q0 E  ds  q0 Eds cos  q0 Es ds
dV   Es ds
Es è la componente del campo in direzione ds.
Quindi in coordinate cartesiane:


 V  V  V  
E  
i
j
k   V
y
z 
 x
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Proprietà del campo elettrostatico
 
E

d
s

0

 
qint
 E  ndS 
IL CAMPO ELETTROSTATICO
È CONSERVATIVO
Teorema di Gauss
e0
Ricordiamo che il termine Elettrostatico sta ad indicare un campo in cui le
cariche che lo generano sono fisse e costanti e che un eventuale carica di prova
è fissa o si muove senza perturbare la distribuzione delle cariche sorgenti.
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