integrali impropri

Programma dettagliato del corso di
Analisi Matematica 1 (a.a. 2010 / 11)
CL Ingegneria Civile-Ambientale
NUMERI REALI :
- Assiomi .
- Insiemi finiti e non finiti. Estremo superiore ed inferiore.
- Proprietà di Archimede
PRINCIPIO DI INDUZIONE
CALCOLO COMBINATORIO:
- Coefficienti binomiali e loro proprietà .
- Binomio di Newton.
NUMERI COMPLESSI :
- Come coppie, in forma algebrica, in forma trigonometrica.
- Coniugato, modulo, operazioni algebriche,potenze e radici (con dim.)
- Teorema fondamentale dell’algebra.
TOPOLOGIA :
- Gli intorni sferici in R .
- Punti interni, di frontiera, di accumulazione, isolati. Insiemi aperti e chiusi,
chiusura di un insieme. (esempi in R)
LIMITI
Definizione generale per funzioni con gli intorni e definizioni particolari nei vari
casi.
LIMITI di successioni
- definizione di successione, successioni limitate, monotone, convergenti;
verifiche di limiti
- reale ampliato; successioni divergenti
- teoremi: unicità, permanenza del segno (nei due versi), confronto,
limitata x infinitesima = infinitesima (tutti con dimostrazione).
- Successioni monotone e teorema ( dim.)
- Operazioni nel caso finito e non (con dim.)
- Forme indeterminate; criterio del rapporto.
1
n
- Limiti notevoli ( x n , n a , n n ) (con dim.) lim (1  ) n  e senza dim.
- Infinitesimi e infiniti : confronti e graduatoria degli infiniti
LIMITI DI FUNZIONI
- definizioni nei casi specifici e verifiche. Esempi grafici.
- limite destro e sinistro e relativo Teorema
- caratterizzazione sequenziale: esempi in cui il limite non esiste
- limiti e operazioni nei casi finiti e non ; teoremi di confronto (dedotti da
quelli sulle successioni, senza dim.)
- limiti notevoli (con dimostrazione) :
sin x
ln (1  x)
a x 1
 1
; lim x 1   ; lim x0
; lim x0
x
x
x
x

x
lim x0
- limiti esponenziali e relative forme indeterminate
- confronti tra infiniti e tra infinitesimi
SERIE NUMERICHE:
- Serie convergenti, divergenti, indeterminate ed esempi. Condizione
necessaria di convergenza
- Serie a termini non negativi, criteri di convergenza (con dim).
- Serie a segni alterni
- La serie geometrica e la serie armonica
- Convergenza assoluta
- Serie di potenze.
FUNZIONI CONTINUE
- Definizione; continuità delle funzioni fondamentali; operazioni.
- Continuità dell’inversa e della composizione
- Permanenza del segno
- Teorema degli zeri (con dim.) e dei valori intermedi (con dim)
- Teorema di Weierstrass (con dim)
DERIVATE
- definizione; derivata destra e sinistra; significato geometrico

x
- derivata di x ; e ; ; ln x; sen x (con dim)
- relazione tra continuità e derivabilità (con dim)
- punti di non derivabilità
- derivata di somma , prodotto, rapporto (dim.)
- derivata della funzione composta (dim), dell’inversa ( dim. ed esempi);
derivata delle funzioni esponenziali
- derivate successive
FUNZIONI DERIVABILI
- definizione di max e min locale
- Teorema di Fermat (dim); punti stazionari
- Teorema di Rolle (dim) ; Teor. di Lagrange (dim)
- Ricerca dei max e dei min
- Relazioni tra monotonia e segno della derivata (dim)
- Teor. di l’Hospital (senza dim.)
Funzioni convesse
- Definizione di sottinsieme convesso del piano ; epigrafico convesso.
- Definizione di funzione convessa (con l’epigrafico e con la
disuguaglianza)
- Caratterizzazioni delle funzioni convesse derivabili una o due volte
(no dim )
- Studio dei punti di max e min tramite f”.
- Punti di flesso
Formule di Taylor e di McLaurin
- Teorema di Taylor (no dim ). Resto nella forma di Peano (pag. 248)
Polinomi di McLaurin delle funzioni fondamentali
- Applicazioni allo studio dei punti stazionari (pag. 162) e al calcolo di
limiti.
INTEGRALE DEFINITO
- Somme inferiori e superiori
- Definizione di integrale di Riemann
- Proprietà dell’integrale definito. Condizione necessaria e sufficiente di
integrabilità
- Funzioni uniformemente continue e teor. di Heine-Cantor
- Integrabilità delle funzioni continue (con dim)
- Teorema della media integrale per funzioni integrabili e per funzioni
continue ( con dim)
- Teorema fondamentale e formula fondamentale(con dim)
- Area
INTEGRALE INDEFINITO
- Nozione di primitiva; integrale indefinito
- Proprietà di linearità
- Integrali indefiniti immediati
- Integrazione per parti e per sostituzione (con dim)
- Integrazione delle funzioni razionali
INTEGRALI IMPROPRI
- Definizioni
- Teoremi di confronto ed esempi
Testo di riferimento : P.Marcellini- C.Sbordone “Elementi di Analisi
Matematica uno” ed. Liguori