LE BASI FONDAMENTALI • INSIEMI • INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali, reali e complessi) • SISTEMI DI COORDINATE • ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA • FUNZIONI TRIGONOMETRICHE • EQUAZIONI • DISEQUAZIONI • PERCENTUALI 1 INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell’insieme. Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto appartiene o no all’insieme 2 Simbologia Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici: A, B, X, Y, A1, A2, B1… gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a1, a2, y1 … 3 Rappresentazione di un insieme Un insieme A si può rappresentare: • elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme Esempio: A = {a, b, c, d} • Indicando la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto} 4 I Diagrammi di Eulero-Venn Servono per rappresentare graficamente un insieme. Esempio: A a b c d 5 Il simbolo di appartenenza: Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive: a A si legge “a appartiene ad A". Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive: b A si legge “b non appartiene ad A". 6 ALCUNI SIMBOLI contenuto in senso lato contenuto in senso stretto; contenente in senso lato; contenente in senso stretto; U insieme universale insieme vuoto per ogni esiste non esiste ; (oppure :) tale che implica, segue che deriva, discende da se e solo se (in inglese iff, if and only if) 7 CONFRONTO TRA INSIEMI Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: B A (oppure A B) e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B") se ogni elemento di B è un elemento di A b B b A 8 CONFRONTO TRA INSIEMI Insieme vuoto : Insieme privo di elementi (qualunque sia A) Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive: oppure se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se a A : a B 9 OPERAZIONI TRA INSIEMI • • • • • UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA COMPLEMENTAZIONE PRODOTTO CARTESIANO 10 UNIONE TRA INSIEMI • L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B • L’unione di A e B si scrive: A B = {x : x A e/o x B } Se A = B Se A B A B = A A B = B 11 UNIONE TRA INSIEMI • Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A 0 B 1 3 2 12 UNIONE TRA INSIEMI • Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B = {0, 1, 2, 3} A 0 B 1 3 2 13 INTERSEZIONE TRA INSIEMI • L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B • L'intersezione di A e B si scrive: A B = {x : x A e x B } Se A = B Se A B Se A B = A B = A A B = A A e B si dicono disgiunti. 14 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} B A 1 3 0 2 15 INTERSEZIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B = {1, 2} B A 1 3 0 2 16 DIFFERENZA TRA INSIEMI • La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B: • La differenza di A e B si scrive A - B = A \ B = {x : x A e x B } Se A = B Se A B A \ B = A \ B = 17 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} B A 0 1 3 2 18 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A \ B = {0} B A 0 1 3 2 19 DIFFERENZA TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} B \ A = {3} B A 0 1 3 2 20 INSIEME COMPLEMENTARE • Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universale. • sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: CUA =A’ =U \ A = {x : x U e x A } 21 INSIEME COMPLEMENTARE • Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} A 1 2 U 0 3 5 22 INSIEME COMPLEMENTARE • Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} CUA =U \ A = {0, 3, 5} A A 1 2 U 0 3 5 23 PRODOTTO CARTESIANO • Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y) (y,x) • Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B A B = {(x, y) : x A, y B} 24 PRODOTTO CARTESIANO Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4} A B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} B A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)} 25 ESERCIZI • Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} • Calcolare: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2, 4} A \ B = {1, 3, 5} B \ A = {6} 26 INSIEMI NUMERICI • • • • • • NATURALI INTERI O RELATIVI RAZIONALI IRRAZIONALI REALI COMPLESSI 27 I NUMERI NATURALI N={1, 2, 3, 4, 5,…..} • Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune operazioni. • Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni: 1) Addizione 2) Moltiplicazione 3) Relazione di “minore o uguale” (m<n (se e solo se) p N: m+p=n) 28 I NUMERI NATURALI • m, n, p N Le operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà: - Associativa: (m + n) + p = m + (n + p) (m • n) • p= m • (n • p) - Commutativa: m+n=n+m m•n=n•m - Distributiva: m • (n + p)= m • n + m • p - Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione: 1 N: 1 • m = m 29 I NUMERI INTERI • L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione. • Non è però chiuso rispetto alla sottrazione: sistema algebrico dei numeri interi. Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …} Z+ = {+1, +2, +3, …} = N Z- = {-1, -2, -3, …} Z = Z+ Z - {0} 30 I NUMERI INTERI Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre: 4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione: 0 Z : x + 0 = x, xZ 5) Esiste l’opposto: xZ, y Z : x + y = 0, 6) Chiuso rispetto alla sottrazione: x – y = x + (-y) 31 I NUMERI RAZIONALI • PROBLEMA: Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile trovare un numero q Z : x • q = y ovvero Z non è chiuso rispetto alla divisione Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}} • ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale. 32 NUMERI RAZIONALI • Q è denso: q1, q2 Q, q Q : q = (q1+ q2)/2 • N e Z sono discreti: -2 -1 0 1 2 3 33 NUMERI REALI • PROBLEMA: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a2! • Numeri reali: R = Q dove è l’insieme dei numeri irrazionali 2 , , e I 34 NUMERI REALI Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q (p e q primi tra loro) tale che: p2/q2=2 p2=2 q2 p è pari, p = 2k 22 k 2 = 2 q2 2 k2 = q2 ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q sono primi tra loro. 35 NUMERI REALI • L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, : Questo significa che la somma (la differenza, il prodotto e il quoziente) di 2 numeri reali è un numero reale. Non vale il viceversa! 36 NUMERI COMPLESSI • Sia x x -1 , x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo. • Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a – 1: i -1 2 37 NUMERI COMPLESSI • Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo: z a bi • L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione. 38 • NUMERI COMPLESSI Siano dati due numeri complessi v c di z a bi • SOMMA: z v (a b i ) (c d i ) (a c) (b d ) i • DIFFERENZA: z - v (a b i ) - (c d i ) (a - c) (b - d ) i • PRODOTTO: z v ( a b i ) (c d i ) a c a d i b c i b d i 2 (a c - b d ) (a d b c) i 39 NUMERI COMPLESSI Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso v , il numero: v c - di • Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato v è dato dal numero reale (chiamato modulo di v): v v (c di) (c - di) c 2 d 2 v 40 NUMERI COMPLESSI • QUOZIENTE: a bi c - d i z v ( a b i ) (c d i ) cdi c-di a c bd bc - ad 2 2 i 2 2 c d c d a c bd bc - ad i v v 41 GLI INSIEMI NUMERICI • Sussiste una precisa relazione di inclusione: N Z Q R C 42 RELAZIONI e CORRISPONDENZE Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: R X x Y = (x,y): xX, yY L’insieme costituito dai primi (secondi) elementi delle coppie viene chiamato dominio (codomino). Se il dominio coincide con X, la relazione viene denominata Corrispondenza. 43 FUNZIONE Una funzione è una corrispondenza tale che se comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y. Noi consideriamo X, Y R , cioè funzioni reali di una variabile reale. 44 RELAZIONE TRA 2 INSIEMI • X Y 1 1 2 3 2 3 4 45 FUNZIONE TRA DUE INSIEMI X Y 1 1 2 3 2 3 4 4 46 SISTEMA DI COORDINATE ASCISSE SOPRA UNA RETTA Sia data una retta r, si fissi: 1) Un verso positivo di percorrenza 2) Un punto O detto Origine 3) Un segmento u detto unità di misura O r- u r+ r 47 ASSE DELLE ASCISSE • Preso un punto P sull’asse delle ascisse, a P si può sempre associare xPR, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo). xP è chiamata ascissa di P • Viceversa, xP R ! P r : x= xP . • Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta. 48 SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna: 1) Un verso positivo di percorrenza 2) Una unità di misura Si ottiene così un sistema di riferimento cartesiano Ortogonale / obliquo Monometrico / dimetrico 49 COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO • Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y) II I (- , +) (+ , +) III IV (- , -) (+ , -) 50 ESEMPIO P=(-2,3) 3 -2 P=(2,1) 1 -1 P=(-2,-1) -2 2 P=(2,-2) 51 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA • Si consideri il seguente grafico: y B B2 P P2 A A2 R O A1 P1 C B1 x • I punti sulla retta hanno coordinate: AxA , y A BxB , yB P( x, y) 52 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA • Dalla similitudine dei due triangoli ACB e ARP si ha (geometricamente): RP CB AR AC • Sostituendo ai lati dei triangoli le misure algebriche si ha: y - y A yB - y A x - xA xB - x A 53 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA • Ponendo: a yB - y A b -( x B - x A ) c y A xB - y B x A • Si ottiene l’equazione della retta in forma implicita (o generale): ax by c 0 54 55 LE CONICHE 56 57 LA CIRCONFERENZA • L’equazione della circonferenza di centro • C xC , yC e raggio r è data da: x 2 y 2 x y 0 • Dove i coefficienti sono dati da: 2 xC 2 yC xC2 yC2 - r 2 • Se C=O l’equazione assume l’espressione: x2 y2 r 2 58 GRAFICO DELLA CIRCONFERENZA y 2.5 -5 -2.5 0 -2.5 0 2.5 5 x C -5 -7.5 -10 59 L’ELLISSE • L’equazione dell’ellisse con fuochi F1 - c, 0 F2 c, 0 • • e gli assi lunghi a e b è espressa da: x2 y2 2 1 2 a b • dove a > c e dove b a - c 2 2 2 60 GRAFICO DELL’ELLISSE y B P C A F1 O F2 x D 61 L’IPERBOLE • L’equazione dell’iperbole con fuochi F1 - c, 0 F2 c, 0 • • e gli assi lunghi a e b è espressa da: x2 y2 - 2 1 2 a b • dove a < c e dove b c - a 2 2 2 62 GRAFICO DELL’IPERBOLE y P F1 C O A F2 x 63 • IPERBOLE EQUILATERA Se a=b l’equazione l’iperbole viene denominata equilatera e la sua equazione è: x2 - y2 a2 • Se si ruota il grafico di 45° in senso antiorario in modo che i fuochi stiano sulla bisettrice del primo e terzo quadrante si ha: • a2 xy 2 ovvero xy k 64 GRAFICO DELL’IPERBOLE EQUILATERA y 5 4 F2 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 1 2 3 4 5 x -2 F1 -3 -4 -5 65 LA PARABOLA • L’equazione della parabola con il vertice nell’origine, il fuoco di coordinate (0, c) con c>0 e la direttrice di equazione y=-c • è espressa da: 1 2 y x 4c • Se il vertice non coincide con l’origine degli assi e la direttrice è sempre parallela all’asse x l’equazione assume la forma: y a 0 x 2 a1 x a 2 66 GRAFICO DELLA PARABOLA P F O d R 67 ANGOLO • Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo. 68 ANGOLO ORIENTATO • Verso positivo di rotazione antiorario b + a a b 69 ARCO • La parte di circonferenza compresa tra i lati dell’angolo. B O A 70 SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI • SESSAGESIMALE: grado sessagesimale = la 360a parte dell’angolo giro. • RADIANTE 71 RADIANTE • L’angolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio. 72 Misura in radianti di un angolo • È uguale alla misura dell’arco diviso il raggio: • Angolo giro = 2r / r = 2 • Angolo piatto = r / r = • Angolo retto = /2 73 Misura in radianti di un angolo /2 3/4 /4 0 5/4) 7/4 3/2 74 Misura in radianti di un angolo 4/6 /2 5/6 7/6 2/6 /6 0 11/6 8/6 3/2 10/6 75 Misura in radianti di un angolo • Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante: 360 : 2 = s : r Ex: 360 : 2 = 20 : r r = /9 76 Le funzioni trigonometriche: seno e coseno y HP y P sin r r P r O H A x OH xP cos r r 77 La funzione:Tangente trigonometrica • y T P AT yT tan r r r O H A sin tan cos 78 f(x) = sin (x) y /2 y P O H 1 2x A=(1,0) 3/2) -/2 0 /2 -1 3/2) 79 x 2 Funzione seno • Dominio R • Codominio [-1, 1] • Periodica di periodo 2 80 y = cos (x) y /2 y P O H 2x A=(1,0) -/2 0 /2 3/2) x 3/2) 81 Funzione coseno • Dominio R • Codominio [-1, 1] • Periodica di periodo 2 82 y = tan (x) /2 y T y P 2 O H A -/2 0 /2 3/2) 3/2) 83 x Funzione tangente • Dominio = R \ /2 + k k Z • Codominio = R • Periodica di periodo 84 Relazione tra seno e coseno sin2(x) + cos2(x) = 1 sin( x) 1 - cos ( x) 2 cos( x) 1 - sin ( x) 2 85 Relazione tra seno e coseno • Esempi: cos (x) = ½ x [0, /2] 3 sin( x) 1 - 1 / 2 2 2 2 sin( x) 2 x [ , ] 2 2 2 cos( x) - 1 - 4 2 86 Relazione tra seno, coseno e tangente • sin2(x) + cos2(x) = 1 1 1 tan ( x) 2 cos ( x) 2 1 cos ( x) 2 1 tan ( x) 2 1 cos( x) 2 1 tan ( x) 87 Valori in archi particolari : /6 1 sin( ) 6 2 3 cos( ) 6 2 1 tan( ) 6 3 88 Valori in archi particolari: /3 3 sin( ) 3 2 1 cos( ) 3 2 tan( ) 3 3 89 Valori in archi particolari: /4 2 sin( ) 4 2 2 cos( ) 4 2 tan( ) 1 4 90 COORDINATE POLARI • P ha coordinate cartesiane (1, 1) y P2 yP 1 P 2 4 x P 1 P1 O x Le coordinate polari di P sono: asse x Oˆ P OP Nell’esempio: , ( 2 , ) 4 91 COORDINATE POLARI • Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto: x cos y sin • si osservi che: x2y 2 92 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI • Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente reale dell’unità immaginaria. y P2 P yP b O xP a P1 x 93 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI • Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha: z a b i cos sin i (cos sin i) y P2 yP b O P xP a P1 x 94 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI • Dato il numero complesso z: z a b i cos sin i (cos sin i) e il numero complesso v : v c d i cos sin i (cos sin i ) Il prodotto tra z e v è: z v (cos sin i ) (cos sin i ) cos cos - sin sin i sin cos cos sin cos( ) i sin( ) 95 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI • In particolare se z=v si ottiene: z 2 2 cos 2 i sin 2 e in generale: z n n cos n i sin n detta Formula di De Moivre. 96 CALCOLO LETTERALE • Perché? È opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri. 97 POTENZE • Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza n-esima di a an = a • a • … • a n volte Esempio: 32 = 3 • 3 (-2)2 = (-2) • (-2) = 4 (-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8 98 PROPRIETA’ DELLE POTENZE • • • • • • • Dati a, b R, m, n N a n + m = a n a m, a -n = 1 / a n a n - m = a n: a m, n m, se n = m, a 0 (a:b) n = a n: b n, b0 (ab) n = a n b n, (a n) m = a n m, a 0= 1, 99 ESERCIZI 32 • 33= 35 3 4 : 3 3= 3 1 ((2)3)2= (2)6 (5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2 (8)0=1 3-4 = 1 / 34 (- 2)2 •(-2)3 = -32 100 RADICALI • Si dice radice n-sima (n N) del numero reale a il numero b tale che bn = a. Si scrive: n b a La radice ennesima (n N) della potenza am si scrive: m an a n m 101 PROPRIETA’ DEI RADICALI kn a km m an m n a b ab n n n n a a m mn a a n m a b ab n n m n a n b n a b n m b0 102 ESERCIZI 4 a 3 3 a4 3 2 2 4 8 3 3 3 2 3 23 2 3 3 2 5 35 3 4 4 2 3 4 a a 6 a 5 1 5 3 a 4 5 1 3 5 103 OPERAZIONI TRA POLINOMI • ADDIZIONE • SOTTRAZIONE • PRODOTTO PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è possibile stabilire il risultato con pochi calcoli • DIVISIONE 104 DIFFERENZE DI QUADRATI (x + y) • (x - y) = (x2 - y2) Esempi: (2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2) (2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2) (9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab) (x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] = [(x –3) –3] [(x –3) +3] • [(x –3)2 +9] 105 QUADRATO DI UN BINOMIO (x + y)2= x2 + 2xy + y2 (x - y)2= x2 - 2xy + y2 Esempi: (a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2 (a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2 ((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4 106 CUBO DI UN BINOMIO (x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (x - y)3= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 Esempi: (2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 (3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3 (x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y2 - 125y3 107 SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI (x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2) (x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2) Esempi: (8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2) (27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2) (x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 (x - 2) y2 + y4)] 108 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI • Mediante l’uso dei prodotti notevoli • Raccoglimenti a fattore comune: Esempio: 6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b) • Raccoglimenti parziali successivi: Esempio: 9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c) 109 DIVISIONE TRA POLINOMI • Prenderemo in considerazione solo polinomi in una variabile • Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P1 maggiore o uguale al grado di P2 . • Esistono allora due polinomi Q ed R tali che: P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto. 110 ESEMPIO (2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1) 2x5 + 0 x4 – 3 x3 + 0 x2 + x + 1 2x5 – 2 x4 + 2 x2 2 x4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1 2 x4 – 2 x 3 +2 x x3 – x2 +1 2 x2 +2 x -1 – x3 - 2 x2 - x + 1 – x3 + x 2 -1 - 3 x2 - x + 2 111 ESEMPIO (2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2 +1) + (- 3 x2 - x + 2) P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto. N.B. P1 è divisibile per P2 se il resto è uguale a zero. 112 ESEMPIO: (20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4) 20 x4 – 14 x3 + 0 x2 + 40 x - 32 20 x4 + 10 x3 - 20 x2 – 24 x3 + 20 x2 + 40 x - 32 – 24 x3 - 12 x2 + 24 x 32 x2 + 16 x - 32 32 x2 + 16 x - 32 \\ \\ 4x2 + 2x - 4 5x2 -6x + 8 \\ 113 REGOLA DI RUFFINI • Divisione di un polinomio per un binomio • Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero . P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R 114 REGOLA DI RUFFINI Coefficienti P1(x) Termine noto P1(x) Coefficienti e termine noto P2(x) Resto ±a 115 ESEMPIO (x2 - 1) : (x + 2) 1 0 -2 -1 4 1 -2 3 -2 x2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 3 116 REGOLA DEL RESTO • Il resto della divisione di un polinomio P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P1 assume per x = - a R= P1(-a) Esempio: (x2 - 1) : (x + 2) P1(-2) = 3 117 OSSERVAZIONE • Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore del termine noto di P1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P1. • Nell’esempio precedente: P1(x)=(x2 - 1) si verifica con i divisori del termine noto: +1 e –1: P1(+1) = 0 quindi P1 è divisibile per (x - 1) P1(-1) = 0 quindi P1 è divisibile per (x + 1) 118 ESEMPIO P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6 P1(±1) 0 P1(2) = 0 1 2 1 3 -7 -6 2 10 6 5 3 0 x3 + 3 x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3) 119 EQUAZIONI • Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una variabile reale • Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile f(x) = g(x) • La variabile è detta incognita dell’equazione 120 SOLUZIONI • I particolari valori di x per cui questa è verificata sono detti soluzioni dell’equazione • Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei domini delle due funzioni. • Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x. • Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile • Equazione possibile quando esiste un numero finito di valori di x che la soddisfano 121 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO • Si dice equazione (algebrica) di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x + b = 0 con a, b coefficienti numerici , a 0. • Per cercare la soluzione si isola il termine che contiene l’incognita e si divide per il coefficiente di x: ax=-b (ax)/a=-b/a da cui il valore dell’incognita che risolve l’equazione è: x=-b/a Esempio: 2x - 3 = 0 2x = 3 x=3/2 122 EQUAZIONI DI 2o GRADO • Si dice equazione (algebrica) di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x2 + b x + c = 0 con a, b, c coefficienti numerici e a 0. SPURIA: a x2 + b x = 0 x(a x + b) = 0 x=0 x=-b/a PURA: a x2 + c = 0 c x a 123 COMPLETA a x2 + b x + c = 0 D>0 2 soluzioni reali e diverse x1,2 D =0 D<0 -b b 2 - 4ac 2a 2 soluzioni reali e coincidenti nessuna soluzione in R (le 2 soluzioni appartengono all’insieme dei numeri complessi) 124 ESEMPI 2 x2 - 7 x + 3 = 0 D = 49 – 24 > 0 x1, 2 75 4 x1=1/2 x2=3 125 ESEMPI 25x2 + 10x +1 = 0 D = 25 – 25 = 0 x1,2 -5 1 25 5 x2 - 3 x + 8 = 0 D = 9 – 32 < 0 non ha soluzioni in R. 126 RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI a x2 + b x + c = 0 b c x x 0 x 2 - sx p a a 2 -b b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac 2b b s x1 x2 2a 2a 2a a -b b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac b 2 - b 2 4ac c p x1 x2 2 2a 2a a 4a 127 ESERCIZI • Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5: assumendo a = 1 si ottiene x2 + 4 x - 5 = 0 x1 = 1 x2 = -5 • Determinare a meno di un coefficiente di proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui soluzioni hanno per somma e prodotto i valori s= -3/10 p = -1/10 x2 + (3/10) x - 1/10 = 0 128 FATTORIZZAZIONE a x2 + b x + c = 0 1 D > 0 a · (x - x1) · (x - x2) 2) D = 0 a · (x - x1)2 3 D<0 non è possibile in R 129 IL SEGNO DEL TRINOMIO Caso 1 ( x1 , x2 R , x1 x2 ) p2 ( x1 ) 0 sign( p2 ( x)) sign a p2 ( x2 ) 0 x2 x1 sign( p2 ( x)) -sign a sign( p2 ( x)) sign a 130 IL SEGNO DEL TRINOMIO Caso 2 ( x1 , x2 R , x1 x2 ) p2 ( x1 ) p2 ( x2 ) 0 sign( p2 ( x)) sign a x1 x2 sign( p2 ( x)) sign a 131 IL SEGNO DEL TRINOMIO Caso 3 ( x1 , x2 R ) sign( p2 ( x)) sign a 132 IL SEGNO DEL TRINOMIO “Il polinomio di secondo grado p2 ( x) ax2 bx c assume valori che hanno lo stesso segno del coefficiente a del termine x 2 , all’esterno dell’intervallo delle radici. Il polinomio assume valori che hanno segno opposto rispetto al coefficiente a del termine x 2 , all’interno dell’intervallo delle radici”. 133 DISEQUAZIONI • Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare: f(x) > g(x) f(x) g(x) f(x) < g(x) f(x) g(x) 134 SOLUZIONI • Le soluzioni vanno cercate nell’insieme: I = D(f) D(g) • Possibile: un sottoinsieme di valori dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x < 1) • Identicamente verificata: tutti i valori dell’insieme I verificano la disequazione (ex: x2 +1 > 0) • Impossibile: nessun valore dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x2 + 2 < 0) 135 ESEMPIO 2 - x>8 3 -2x > 24 x < -12 136 INTERVALLI DELLA RETTA • Siano a e b due numeri reali (che possono essere interpretati come coordinate ascisse sulla retta reale) e si supponga a < b. Si possono definire i seguenti intervalli reali di estremi a e b: • [ a , b ] ={xR: a x b} chiuso • ] a , b ] ={xR: a < x b}=( a,b] chiuso a destra • [ a , b [ ={xR: a x < b}=[a,b) chiuso a sinistra • ] a , b [ = {xR: a < x < b} = ( a , b ) aperto 137 INTERVALLI DELLA RETTA • ] - , b ] = {xR: x b} = ( - , b ] • ] - , b [ = {xR: x < b} = ( - , b ) • [ a , + [ = {xR: x a} = [ a , + ) • ] a , + [ = {xR: x > a} = ( a , + ) 138 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO a x+b >0 con a e b numeri reali e a 0. Per ottenere le soluzioni reali (esistono sempre!), Si isola il termine che contiene l’incognita x : ax>-b Si dividono entrambi i membri per il coefficiente a x>-b/a se a>0 x<-b/a se a<0 139 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO • a x2 + b x + c > 0 a, b, c reali, a 0 Per risolvere una qualunque disequazione algebrica di secondo grado basta applicare il teorema sul segno del trinomio di secondo grado. 140 ESEMPIO • 4 x2 + 12 x + 9 > 0 D = 36- 36 = 0 x1,2 -6 3 4 2 • S = xR \ {-3/2} 141 ESEMPIO 3 x2 + 5 x – 2 < 0 D = 25 +24 = 49 > 0 x1,2 -5 49 6 x1 = -2 x2= 1/3 S = {xR: -2 < x < 1/3} 142 ESEMPIO 3 x2 + 5 x – 2 > 0 D = 25 +24 = 49 > 0 x1,2 -5 49 6 x1 = -2 x2= 1/3 S = {xR: x< -2 } {xR: x> 1/3} 143 ESEMPIO 3 x2 - x + 2 < 0 D = 1 – 24 < 0 S={} 144 DISEQUAZIONI FRATTE • 1) 2) 3) 4) f ( x) >0 g ( x) I = D(f) D(g) {xR: g(x) 0} Studio segno numeratore Studio segno denominatore Uso regola segni Determinazione dell’insieme nel quale la disequazione è verificata 145 ESEMPIO x-4 >0 x3 -3 4 (x + 3) - + + (x - 4) - - + + - + (x - 4)/(x+3) 146 Continuazione ESEMPIO S = {xR: x < -3} {xR: x > 4} N.B. I = {xR: x 3} 147 SISTEMI DI DISEQUAZIONI • Insieme di due o più disequazioni di cui si vogliono determinare le soluzioni comuni. • La soluzione si ottiene trovando l’insieme intersezione degli insiemi che risolvono ciascuna disequazione: • S = S1 S2 … Sn • se S = {} allora il sistema è impossibile 148 ESEMPIO 2 x 1 > 0 x - 3 0 -1/2 3 (2x + 1) (x – 3) S = x {xR: (-½) < x 3} 149 FUNZIONE ESPONENZIALE Si chiama funzione esponenziale in base a, a R+ \ {1}, la funzione f : R R+: f(x)=ax N.B. per a = 1 avremmo il caso banale f(x)=1x y 1 x CASO a > 1 x f(x)=e y e2 e 1 -2 -1 1/e 1/e2 0 1 2 x x y 0 1 -1 1/e -2 1/e2 1 e 2 e2 CASO a > 1 confronto tra basi diverse y = ex y y = 2x x y y = 2x -2 -1 1 2 x 0 1 -1 1/2 -2 1/22 1 2 2 22 CASO a > 1 • • • • • Dominio R Codominio R+ Passa per (0,1) Monotona crescente Se la base aumenta è più ripida CASO a < 1 x f(x)=(1/e) y e2 e 1/e 1 1/e2 -2 -1 0 1 2 x x y 0 1 -1 e -2 e2 1 1/e 2 1/e2 CASO a < 1 confronto tra basi diverse y = (1/2)x x y y y= (1/2)x y= -2 -1 1 2 (1/e)x x 0 1 -1 2 -2 22 1 1/2 2 1/22 CASO a < 1 • • • • • Dominio R Codominio R+ Passa per (0,1) Monotona decrescente Se la base aumenta è meno ripida LOGARITMI Siano a un numero reale positivo, a 1, e b un numero reale positivo allora esiste un numero reale c tale che: ac = b Tale numero c si dice logaritmo in base a di b e si indica con il simbolo: c=logab NB a log a b b log a a b b ESEMPI log28 = 3 log22 = 1 log51 = 0 log(1/3)3 = -1 log381 = 4 log1010000 = 4 log2(1/4) = - 2 Esercizi Determinare la base: logx7 = -1 x = 1/7 logx49 = 2 x=7 logx(1/1000) = -3 x = 10 logx(41/3) = -2/3 x=½ BASI DEL LOGARITMO • Le due basi più usate sono la base 10 e la base “e” (dove “e” è il numero di Eulero, e = 2,7182….) • Per indicare il logaritmo in base 10 si usa il simbolo “Log” • Per indicare il logaritmo in base “e” si usa il simbolo “ln” (logaritmo neperiano). FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI BASE • Supponiamo di voler passare dalla base a alla base d, log d (c) log a (c) log d (a ) a,d R+ \ {1}c R+ ESEMPI L og(5) l og 3 (5) L og(3) 2 ln(e ) 2 l og 4 (e ) ln(4) ln(4) 2 L og(10) 1 l og 3 (10) L og(3) L og(3) PROPRIETA’ DEI LOGARITMI • PROPRIETA’ DEL PRODOTTO • PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE • PROPRIETA’ DELLA POTENZA PROPRIETA’ DEL PRODOTTO: Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi: loga(x1 · x2 )= loga x1 + loga x2 a R+ \ {1} x1, x2 R+ Esempio: loga(3 · 4 )= loga 3 + loga 4 PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE: Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore: loga(x1 : x2 )= loga x1 - loga x2 a R+ \ {1} x1, x2 R+ Esempio: loga(8 : 3 )= loga 8 - loga 3 PROPRIETA’ DELLA POTENZA: Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base: loga(x= loga x a R+ \ {1} x R+ Esempio: loga(23= 3loga 2 R ESERCIZIO 1+3 Log (a) + ½ [Log (a+b) - Log (b)] + 1/9 [Log (a) - Log (a+b)] = Log (10) +Log (a3) + [Log (a+b)½ - Log (b)½ ] + [Log (a) 1/9 - Log (a+b) 1/9 ] = Log{10 · a3 · [(a+b)½ : (b)½] · [(a) 1/9 : (a+b)1/9]} FUNZIONE LOGARITMICA Si chiama funzione logaritmica in base a, aR+\{1}, la funzione f : R+ R: f(x)=logax x>0 E’ la funzione inversa della funzione esponenziale: x = ay y = logax Il logax è l’esponente che dobbiamo dare ad a per ottenere x Caso a > 1 y=ln(x) y x y 1 0 2 1/e -1 1 e 1 e2 2 1/e 0 1 e -1 e2 x Caso a > 1 confronto tra basi diverse y = log2x y = lnx 2 1 1/e e -1 e2 Caso a > 1 • • • • • Dominio R+ Codominio R Passa per (1,0) Monotona crescente Se la base aumenta è meno ripida Caso a < 1 y=log(1/e)x y 1 e 0 1/e 1 -1 x x y 1 0 1/e 1 e -1 Caso a < 1 confronto tra basi diverse y y = log(1/2)(x) 1 e 1/e x -1 y = log(1/e)(x) Caso a < 1 • • • • • Dominio R+ Codominio R Passa per (1,0) Monotona decrescente Se la base aumenta è più ripida LE PERCENTUALI • Il simbolo “ % “ di percentuale si ottiene dal rapporto di due valori e indica l’incidenza della variabile a numeratore sulla variabile a denominatore. • Ad esempio il rapporto tra il numero di ragazze presenti in una classe e il numero di studenti della classe esprime la quota di femmine sul totale degli studenti. 175 LE PERCENTUALI • I costi totali di un’impresa sono passati da 75.000€ a 100.000€. • I ricavi totali (negli stessi 2 anni) sono aumentati passando da 250.000€ a 400.000€ • Calcolare la variazione percentuale dei costi e dei ricavi. • Calcolare l’incidenza percentuale dei costi sui ricavi nei 2 anni. 176 LE PERCENTUALI • La variazione percentuale dei costi è data dal rapporto tra la variazione dei costi e il costo iniziale: (100.000-75.000)/75.000 =33,33% • La variazione percentuale dei ricavi è data dal rapporto tra la variazione dei ricavi e il ricavo del primo anno: (400.000-250.000)/250.000 =60% 177 LE PERCENTUALI • L’incidenza dei costi sui ricavi in ciascuno dei due anni è rappresentata dal rapporto delle due quantità: 75.000/250.000 =0,30 =30% 100.000/400.000=0,25=25% • L’incidenza dei costi sui ricavi nei due anni: • (75.000+100.000)/(250.000+400.000)=0,269=26,9% che non è la media aritmetica (=27,5%) tra 30% e 25%!!!!!!!!!!! 178 LE PERCENTUALI • GLI SCONTI SUCCESSIVI • Sul prezzo iniziale p0 100€ di un bene vengono applicati due sconti consecutivi: s1 10% e s2 20% ; ovvero: uno sconto del 10% sul prezzo iniziale e uno sconto del 20% sul prezzo già scontato del 10%. • Si vuole determinare lo sconto complessivo. 179 LE PERCENTUALI • Il prezzo dopo il primo sconto è dato da: p1 100€ - 10% *100€ 90€ • Il secondo sconto si applica a 90€ per cui il prezzo finale diventa: p2 90€ - 20% * 90€ 72€ • Lo sconto complessivo è dunque pari a 28% 180 LE PERCENTUALI • Lo sconto complessivo può essere calcolato per esteso nel seguente modo: p1 100€ - 10% *100€ 90€ p2 100 * (1 - 10%) - 20% *100 * (1 - 10%) 100 * (1 - 10%)(1 - 20%) 72€ • Sconto% p0 - p 2 p2 1 1 - (1 - 10%) * (1 - 20%) p0 p0 1 - 0,72 0,28 28% 181 LE PERCENTUALI • Nel caso degli sconti successivi s1 , s2 , ..., sk lo sconto complessivo S, espresso come valore percentuale, sul prezzo iniziale p0 può essere ricavato dalla formula seguente: S 1 - (1 - s1 ) * (1 - s2 ) *... * (1 - sk ) 182