le altezze di un triangolo: una proposta didattica

GRUPPO 4
“LE ALTEZZE DI UN TRIANGOLO”:
UNA PROPOSTA DIDATTICA
Insegnanti ricercatori:
Scuola dell’ Infanzia : Alida Granato
Scuola Elementare:
Anna Maria Messina
Carolina Dragotta
Scuola Media:
Virginia Impertuglia
Scuola Superiore:
Paola Dimarco
M. Luisa Li Moli
Presentazione
Il quarto Gruppo della Sperimentazione ha lavorato su di una
situazione a-didattica di geometria sulla determinazione delle
altezze di un triangolo. La fase di validazione è stata analizzata
mettendo in eveidenza l’ argomentare, il congetturare ed il
dimostrare.
Il Gruppo, composto da insegnanti che operano nei vari Ordini
di Scuola, dopo un’ attenta analisi delle diverse situazioni di
partenza degli alunni, attraverso strategie didattiche specifiche, ha
operato in modo da adattare le situazioni didattiche al livello
scolare.
Il gioco è stato il motivo conduttore di tutta l’esperienza con
particolare riferimento alla scuola materna ed elementare.
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Scuola dell’Infanzia
“Vittorio Alfieri” - II Circolo “G. Falcone”
Nella sperimentazione è stata coinvolta una sezione di
bambini di cinque anni. In una prima fase è stata fatta una
verifica delle competenze che i bambini già possedevano
attraverso:
 Racconto: “Il paese che non rotola più”
 Blocchi logici
 Schede strutturate
La consegna è stata, per loro, così modificata: “Scopriamo e
rappresentiamo il percorso più breve (distanza minima) per
arrivare dalla base al vertice del triangolo”.
Essa è stata mediata attraverso il gioco “percorso a staffetta”.
Verifica dei Prerequisiti
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Analisi Quantitativa
Dall’analisi quantitativa si evince che i bambini di cinque anni:
- possono identificare l’altezza del triangolo con il percorso più
breve;
- riconoscere nei lati
i percorsi più lunghi.
Qualunque strategia scelga il bambino comprende la consegna e
perviene alla soluzione perché ha le necessarie competenze :
-per riconoscere una distanza minima ;
-per discriminare un lato più lungo da uno più corto;
-per identificare un percorso con l’altezza del triangolo.
DIMOSTRA DI POSSEDERE BUONE CAPACITA’
NON SOLO INTUITIVE MA ANCHE DEDUTTIVE .
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ANALISI QUALITATIVA
Dall’ analisi qualitativa emerge come i bambini concordino
nell’affermare che: “ha sempre vinto la squadra posizionata al
centro”, dando risposte di tipo “locale , impulsivo e generale”.
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INDICATORI SEMANTICI
Dagli indicatori semantici risulta che i bambini
hanno dato le risposte servendosi di indicatori
linguistici di “ condizionalità “ ( perché ),
probabilmente legati alla domanda
dell’insegnante.
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CONCLUSIONI:
I risultati ottenuti hanno messo in evidenza le capacità
logiche – intuitive – deduttive dei bambini. Ciò si evince
dal confronto dei dati dell’analisi a priori con i dati
ottenuti dal percorso di sperimentazione.
Dai dati sperimentali risulta che i bambini riescono a
comprendere la consegna e a utilizzare uno schema di
ragionamento tale da dimostrare l’acquisizione delle
competenze necessarie per ottimizzare le strategie che
inducono alla vittoria del gioco e quindi alla soluzione del
problema.
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Scuola elementare
La consegna è rivolta a bambini di prima e seconda classe
elementare e per la risoluzione del quesito le insegnanti
hanno preparato un gioco da svolgere in palestra con la
seguente consegna :
“ Alla scoperta della distanza minima “
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ANALISI QUANTITATIVA
Da un’ attenta analisi quantitativa risulta che negli
alunni c’è una connessione logica tra posizione e
distanza. Molti alunni assemblano senza difficoltà
il concetto di tempo con il concetto di misurazione
poiché hanno probabilmente una visione più
pratica della realtà.
Per altri alunni la posizione risulta un elemento
opposto alla misurazione poiché probabilmente
non hanno ancora una visione reale del problema.
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ANALISI QUALITATIVA
L’analisi qualitativa evidenzia:
• falsi ragionamenti, perché nel gioco alcuni non accettano
motivazioni flessibili da parte dei compagni delle squadre
avversarie;
•affermazioni di tipo gerarchico, che si basano su alcune priorità
della figura geometrica .
•affermazioni di tipo classificatorio dato che classificano gli
elementi in rapporto alla distanza.
•Le discussioni cominciano ad aver carattere pragmatico visto che
i bambini cominciano ad avere una visione reale del problema.
•In ultima analisi classificano e generalizzano così arrivano alla
soluzione del problema.
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INDICATORI SEMANTICI
Dai risultati degli indicatori semantici emerge in
maniera forte l’ uso del ‘perché’ come scoperta,
chiarimento, affermazione.
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CONCLUSIONE
Per l’ avvio al Progetto, le Insegnanti hanno effettuato delle prove di
controllo oggettive adeguate alla verifica dei prerequisiti in possesso degli
stessi alunni, stimolando in loro la curiosità fornendo notevole quantità di
informazioni per cercare, in questo modo, di organizzare concettualmente i
dati da loro stessi elaborati.
I bambini hanno espresso liberamente le loro argomentazioni, alcuni
partendo dal globale altri dal particolare, ciò ha permesso di maturare in
loro, la capacità di rappresentare in maniera valida e produttiva la
soluzione.
E’ stato determinante del processo insegnamento-apprendimento, operare
attraverso la costruzione dei concetti e mai sullo sterile rigore delle
procedure matematiche che sicuramente avrebbero determinato insuccesso.
Per mezzo della strategia del gioco i bambini hanno potuto sperimentare,
analizzare situazioni problematiche diverse, discutere e così arrivare alla
soluzione del problema.
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SCUOLA MEDIA CASCINO
(classe 1°)
Consegna:
 Rappresenta le altezze di un
triangolo qualsiasi con gli strumenti
che utilizzi per il disegno.
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PRESENTAZIONE:
La classe partecipante all’ attività di speri- mentazione è
stata una prima, di una scuola media; Ha partecipato alla
fase attiva della speri- mentazione senza conoscerne la
reale motivazione e l’obiettivo finale.
La consegna è stata svolta in 2 ore all’interno delle
attività curriculari, presentandola alla classe come un
“gioco” un po’ particolare, al di fuori di ogni schema
scolastico e senza alcuna valutazione da parte
dell’insegnante, che ha svolto il ruolo di “osservatore”.
I ragazzi hanno lavorato singolarmente e solo in un
secondo momento hanno “validato” la loro consegna.
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RELAZIONE DELLA ANALISI FATTORIALE
Attraverso lo studio dell’analisi fattoriale dei dati, si
evince che le procedure utilizzate dai ragazzi sono state
fortemente contrapposte e solo due variabili A2 e A4 sono
state fortemente significative avendo una risultante del
37%.
A2: indica i lati obliqui del triangolo acutangolo come
altezze in quanto più lunghi.
A4: traccia solo una altezza nel triangolo acutangolo in
quanto non sa ruotarlo.
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Schema dell’ analisi:
Component Plot in Rotated Space
a4
1,0
,5
a11
a2 a14
a7
0,0
Component 2
a3
a1
-,5
-1,0
-1,0
-,5
0,0
,5
1,0
Component 1
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RELAZIONE PROTOCOLLO ANALISI QUALITATIVA
Non si sono evidenziati percorsi linguistici preferenziali, anche se molti alunni attivano esperienze dirette e
personali, e un procedere per tentativi (proviamo,
vediamo se, forse che….).
Le argomentazioni degli alunni hanno anche presentato
carattere di tipo ostensivo (come si vede…,sono
come…).
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Scuola Superiore
I.P.I.A. Classi I A(o.e.e.)- I B(o.e.e.)
Consegna: “Dato il quadrante dell’ orologio si considerino le seguenti
situazioni:
A) Le lancette segnano le 8.50
B) Le lancette segnano le 9.00
C) Le lancette segnano le 9.07
Congiungendo gli estremi delle lancette, si considerino i triangoli ottenuti e
per ciascuno di essi si trovino le altezze.
Motivare le varie fasi della costruzione per ciascuna altezza di ciascun triangolo
ottenuto, rispondendo ai seguenti quesiti:
1. I prolungamenti delle tre altezze di un triangolo qualunque si incontrano sempre?
2. Se il triangolo è rettangolo, anche due delle sue altezze sono tra loro
perpendicolari?
3. In un triangolo ottusangolo due altezze cadono al suo interno?
4. Cambiando la tipologia di triangolo, cambia l’ angolo che ciascuna altezza forma
con la sua base?”
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Analisi Quantitativa
L’analisi quantitativa dei dati sperimentali ha evidenziato quattro blocchi
comportamentali poco collegati tra loro:
• Un primo blocco mostra una correlazione tra gli alunni che rappresentano
una
sola delle altezze dei tre triangoli, in modo scorretto e gli alunni che
rappresentano correttamente solo le tre altezze del triangolo acutangolo, non
motivando le fasi della costruzione.
• Un secondo blocco mostra una correlazione tra gli alunni che pur rappresentando correttamente una o due delle altezze nei diversi triangoli, non
motivando le fasi della costruzione e gli alunni che rappresentano
scorrettamente le tre altezze o rappresentano correttamente le altezze del
triangolo acutangolo, motivando scorrettamente le fasi della costruzione.
•Un terzo blocco mostra una correlazione tra gli alunni che rappresentano
correttamente solo una delle altezze nei tre triangoli, motivando corret-tamente le
fasi della costruzione e gli alunni che rappresentano correttamente solo una delle
altezze nei tre triangoli, motivando scorrettamente le fasi della costruzione.
•Un quarto blocco evidenzia un gruppo completamente isolato che rappresenta
scorrettamente le altezze nei tre triangoli, ma motiva correttamente le fasi della
costruzione.
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Analisi Qualitativa
L’ analisi qualitativa ha mostrato che gli alunni per motivare le proprie
affermazioni hanno utilizzato:
• Procedimenti per tentativi
• Riferimenti di tipo pragmatico
• Falsi ragionamenti
• Tentativi di ragionamento
• Ragionamenti con tentativi di giustificazione
• Argomentazioni di tipo tautologico
• Ragionamenti che giustificano la risposta con riferimenti di tipo
pragmatico
• Ragionamenti che giustificano la risposta con argomentazioni di tipo
teorico
• Ragionamenti che giustificano la risposta con argomentazioni di tipo
teorico e generale
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Indicatori semantici
Nel loro argomentare e nei diversi tentativi di
dimostrare gli alunni hanno usato diversi
indicatori linguistici:
• Di generalità
• Ostensivi
• Di condizionalità
• Esplicativi
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Conclusioni:
Gli alunni che hanno partecipato alla sperimentazione hanno mostrato un
buon coinvolgimento, in particolare il gioco di squadra è stato animato da
quello spirito di competitività che impegna in modo attivo la quasi totalità
delle energie.
La necessità di “argomentare” con i compagni le soluzioni intuite, ha
costretto ciascun alunno a chiarire a se stesso ciò che voleva dire per
“dimostrare” prima in modo ingenuo, poi via via in modo sempre più
puntuale, quella che riteneva fosse la soluzione del problema.
Lentamente, dalla semplice analisi del triangolo acutangolo e delle sue tre
altezze, gli alunni, con prerequisiti minimi, sono giunti lentamente all’ esame
delle altezze nel triangolo rettangolo ed in quello ottusangolo, nel quale sono
pervenuti alla generalizzazione del concetto di altezza relativa alla base dal
momento che inizialmente non riuscivano ad individuare le basi rispetto alle
quali costruire le altezze relative.
Il linguaggio grafico iniziale si è via via evoluto verso un linguaggio logico e
deduttivo, ponendo le basi di un argomentare che attraverso le diverse
congetture perviene alla dimostrazione.
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