Metodi Quantitativi per Economia,
Finanza e Management
Lezione n°5
Tipologie di dati
• Qualitativi dati espressi in forma verbale, solitamente
classificati in categorie
• Quantitativi dati espressi in forma numerica. si
distinguono in:
– discreti dati caratterizzati da una quantità finita o
infinita numerabile di classi di misura
– continui risposta numerica derivamte da
un
processo di misurazione che fornisce indicazioni
puntuali all’interno di un continuum
• Territoriali
• Date
Tipologie di dati
qualitativi
• Nominale usato per dati qualitativi, che vengono così
classificati in categorie distinte senza alcun ordine
implicito (es. professione del cliente)
• Ordinale le categorie presentano un ordine implicito;
consente di stabilire una relazione d’ordine tra le
diverse categorie, ma nessuna asserzione numerica,
ovvero si può dire che un determinato valore è più
grande di un altro, ma non di quanto
Tipologie di dati
quantitativi
• Scala di rapporti con questa tipologia si può dire di quanto
una categoria è maggiore di un’altra; è fissato un valore “0”
della scala.
es. Le variabili spesa media e tempo impiegato sono misurate
a livello di rapporto,ovvero rientrano in una scala di
valutazione comparativa
• Scala di intervalli presenta le stesse caratteristiche della
precedente, ma non possiede un valore “0” fissato.
es. In una indagine sui clienti di un supermercato, il loro livello
di soddisfazione può essere adeguatamente rappresentato
mediante una scala di valutazione compresa tra 1 e 9, ciò
che posso asserire è che la differenza tra 2 e 3 è la
medesima di quella tra 8 e 9, ma non che 8 sia il doppio di 4.
L’analisi statistica dei dati
Statistica descrittiva insieme dei metodi che riguardano la
rappresentazione e sintesi di un insieme di dati al fine di
evidenziarne le caratteristiche principali
Statistica inferenziale insieme dei metodi che permettono la
stima di una caratteristica di una popolazione basandosi
sull’analisi di un campione
Misura riassuntiva,
La parte di popolazione
calcolata sui dati campionari,
utile per descrivere una selezionata per l’analisi
caratteristica non nota della
popolazione
Totalità degli elementi
presi in esame dalla
indagine
Statistica descrittiva univariata
Nella statistica descrittiva univariata possiamo trovare
due principali metodologie usate per rappresentare i
dati analizzati:
• Distribuzioni di frequenza
• Misure di sintesi:
– Misure di tendenza centrale e non centrale;
– Misure di dispersione;
– Misure della forma della distribuzione
Le distribuzioni di frequenza
• Frequenza assoluta: è un primo livello di sintesi dei
dati- consiste nell’associare a ciascuna categoria, o
modalità, il numero di volte in cui compare nei dati
• Distribuzione di frequenza: insieme delle modalità e
delle loro frequenze
• Frequenza relativa: rapporto tra la frequenza assoluta
ed il numero complessivo delle osservazioni effettuate.
p =n
/N
I due tipi di frequenze vengono usati con dati quantitativi,
qualitativi ordinali, quantitativi discreti.
Le distribuzioni di frequenza
product
program
home
p_info
catalog
freeze
login
logpost
addcart
pay_req
shelf
cart
pay_res
download
regpost
register
• Rappresentazione grafica var.qualitative:
Diagramma a barre-professione intervistato
Diagramma a torta
250
200
150
100
50
0
casalinga
dirigente
studente
Diagr. a barre: nell’asse delle ascisse ci sono le
categorie, senza un ordine preciso; in quello delle
ordinate le frequenze assolute/relative corrispondenti
alle diverse modalità
Diagr.
a
torta:
la
circonferenza
è
divisa
proporzionalmente alle frequenze
Le distribuzioni di frequenza
• Rappresentazione grafica var.quantitative discrete:
istogram m a
Diagramma delle frequenze
300
200
0,06
220
170
0,04
100
100
0
30
57
0,02
30
0
Diagr. delle frequenze: nell’asse delle ascisse ci sono i
valori assunti dalla var. discreta (quindi ha un
significato quantitativo); l’altezza delle barre è
proporzionale alle frequenze relative o assolute del
valore stesso
Istogramma: nell’asse delle ascisse ci sono le classi
degli intervalli considerati; l’asse delle ordinate
rappresenta la densità di frequenza; l’area del
rettangolo corrisponde alla frequenza della classe
stessa.
Misure di sintesi
Misure di tendenza centrale:
• Media aritmetica
• Mediana
• Moda
Misure di tendenza non centrale:
• Quantili
• Percentili
Misure di dispersione:
• Campo di variazione
• Differenza interquantile
• Varianza
• Scarto quadratico medio
• Coefficiente di variazione
Misure di forma della distribuzione:
• Skewness
• Kurtosis
Misure di Tendenza Centrale
Tendenza Centrale
Media
Mediana
Moda
n
x
x
i 1
i
n
Media
Aritmetica
Valore centrale delle
osservazioni ordinate
Valore più
frequente
Media Aritmetica
• La misura di tendenza centrale più comune
• Media = somma dei valori diviso il numero di valori
• Influenzata da valori estremi (outlier)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Media = 3
1 2 3 4 5 15
3
5
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Media = 4
1 2 3 4 10 20
4
5
5
Mediana
• In una lista ordinata, la mediana è il valore “centrale” (50%
sopra, 50% sotto)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mediana = 3
• Non influenzata da valori estremi
Mediana = 3
Moda
•
•
•
•
•
Valore che occorre più frequentemente
Non influenzata da valori estremi
Usata sia per dati numerici che categorici
Può non esserci una moda
Ci può essere più di una moda
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Moda = 9
0 1 2 3 4 5 6
No Moda
Misure di Tendenza Non Centrale
• I Quartili dividono la sequenza ordinata dei dati in 4
segmenti contenenti lo stesso numero di valori
25%
Q1
25%
25%
Q2
25%
Q3
• Il primo quartile, Q1, è il valore per il quale 25% delle
osservazioni sono minori e 75% sono maggiori di esso
• Q2 coincide con la mediana (50% sono minori, 50% sono
maggiori)
• Solo 25% delle osservazioni sono maggiori del terzo quartile
Box Plot
X
minimo
Q1
25%
12
Mediana
Q3
(Q2)
25%
30
25%
45
X
25%
57
Differenza Interquartile
57 – 30 = 27
OUTLIERS:
massimo
Q1 - 1,5 * Differenza interquartile
Q3 + 1,5 * Differenza interquartile
70
Misure di Variabilità
Variabilità
Campo di
Variazione
Differenza
Interquartile
Varianza
Scarto
Quadratico
Medio
Coefficiente
di Variazione
• Le misure di variabilità
forniscono informazioni sulla
dispersione o variabilità
dei valori.
Stesso centro,
diversa variabilità
Campo di Variazione
• La più semplice misura di variabilità
• Differenza tra il massimo e il minimo dei valori osservati:
Campo di variazione = Xmassimo – Xminimo
Esempio:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14
Campo di Variazione = 14 - 1 = 13
Campo di Variazione
• Ignora il modo in cui i dati sono distribuiti
7
8
9
10
11
12
Campo di Var. = 12 - 7 = 5
7
8
9
10
11
12
Campo di Var. = 12 - 7 = 5
• Sensibile agli outlier
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5
Campo di Var. = 5 - 1 = 4
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120
Campo di Var = 120 - 1 = 119
Differenza Interquartile
• Possiamo eliminare il problema degli outlier usando la
differenza interquartile
• Elimina i valori osservati più alti e più bassi e calcola il campo
di variazione del 50% centrale dei dati
• Differenza Interquartile = 3o quartile – 1o quartile
IQR = Q3 – Q1
Varianza
• Media dei quadrati delle differenze fra ciascuna osservazione
e la media
N
– Varianza della Popolazione:
dove
σ
2
μ = media della popolazione
N = dimensione della popolazione
xi = iimo valore della variabile X
(x
i 1
i
μ)
N
2
Scarto Quadratico Medio
• Misura di variabilità comunemente usata
• Mostra la variabilità rispetto alla media
• Ha la stessa unità di misura dei dati originali
– Scarto Quadratico Medio della Popolazione:
N
σ
2
(x
μ)
i
i 1
N
Scarto Quadratico Medio
Scarto quadratico medio piccolo
Scarto quadratico medio grande
Scarto Quadratico Medio
Dati A
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20 21
Media = 15.5
s = 3.338
20 21
Media = 15.5
s = 0.926
20 21
Media = 15.5
s = 4.570
Dati B
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Dati C
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Scarto Quadratico Medio
• Viene calcolato usando tutti i valori nel set di dati
• Valori lontani dalla media hanno più peso
(poichè si usa il quadrato delle deviazioni dalla media)
• Le stesse considerazioni valgono anche per il calcolo
della Varianza
Coefficiente di Variazione
• Misura la variabilità relativa
• Sempre in percentuale (%)
• Mostra la variabilità relativa rispetto alla media
• Può essere usato per confrontare due o più set di dati
misurati con unità di misura diversa
s
CV 100%
x
Coefficiente di Variazione
• Azione A:
– Prezzo medio scorso anno = $50
– Scarto Quadratico Medio = $5
s
$5
CVA 100%
100% 10%
x
$50
• Azione B:
– Prezzo medio scorso anno = $100
– Scarto Quadratico Medio = $5
s
$5
CVB 100%
100% 5%
$100
x
Entrambe le
azioni hanno lo
stesso scarto
quadratico
medio, ma
l’azione B è
meno variabile
rispetto al suo
prezzo
Forma della Distribuzione
• La forma della distribuzione si dice simmetrica se le osservazioni
sono bilanciate, o distribuite in modo approssimativamente regolare
attorno al centro.
Distribuzione Simmetrica
120
100
60
40
20
0
Frequenza
80
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Forma della Distribuzione
• La forma della distribuzione è detta asimmetrica se le
osservazioni non sono distribuite in modo simmetrico
rispetto al centro.
Distribuzione con Asimmetria Positiva
12
10
Frequenza
Una distribuzione con asimmetria
positiva (obliqua a destra) ha una
coda che si estende a destra, nella
direzione dei valori positivi.
8
6
4
2
0
1
3
4
5
6
7
8
9
8
9
Distribuzione con Asimmetria Negativa
12
10
Frequenza
Una distribuzione con asimmetria
negativa (obliqua a sinistra) ha una
coda che si estende a sinistra, nella
direzione dei valori negativi.
2
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
Misure di Forma della Distribuzione
• Descrive come i dati sono distribuiti
• Misure della forma
– Simmetrica o asimmetrica
Obliqua a sinistra
Media < Mediana
Asimmetria negativa
Simmetrica
Media = Mediana
Simmetria
Obliqua a destra
Mediana < Media
Asimmetria positiva
Misure di Forma della Distribuzione
Skewness: indice che informa circa il grado di simmetria o
asimmetria di una distribuzione.
– γ=0 ditribuzione simmetrica;
– γ<0 asimmetria negativa (mediana>media);
– γ>0 asimmetria positiva (mediana<media).
Kurtosis: indice che permette di verificare se i dati seguono una
distribuzione di tipo Normale (simmetrica).
– β=3 se la distribuzione è “Normale”;
– β<3 se la distribuzione è iponormale (rispetto alla
distribuzione di una Normale ha densità di frequenza minore
per valori molto distanti dalla media);
– β>3 se la distribuzione è ipernormale (rispetto alla
distribuzione di una Normale ha densità di frequenza
maggiore per i valori molto distanti dalla media).
IMPORTO NETTO UNITARIO
Basic Statistical Measures
Location
Variability
Mean
106.1410
Std Deviation
81.01306
Median
103.2900
Variance
6563
Mode
0.0000
Range
523.69000
Interquartile Range
118.62500
IMPORTO NETTO UNITARIO
IMPORTO NETTO UNITARIO
IMPORTO NETTO UNITARIO
Basic Statistical Measures
Location
Variability
Mean
138.0247
Std Deviation
64.29397
Median
129.1100
Variance
4134
Mode
149.0000
Range
521.77000
Interquartile Range
82.62000
Analisi di Concentrazione
Per caratteri quantitativi trasferibili
Equidistribuzione:
Max concentrazione:
x1 x 2 x3 ....... xn μ
x1 x2 x3 ....... xn 1 0
xn Nμ
1. Ordinare le osservazioni
x1 x2 x3 ....... xn
i
x
i
2. Calcolare le quantità: Fi
N
Qi
j
j1
N
x
j1
j
Analisi di Concentrazione
CURVA DI CONCENTRAZIONE REDD. >=0
QI
1.0
20%
0.9
0.8
50%
0.7
0.6
0.5
60%
0.4
0.3
90%
0.2
0.1
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
FI
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Analisi di Concentrazione
QI
1.0
CURVA DI CONCENTRAZIONE REDD. < 0
0.9
0.8
0.7
20%
0.6
0.5
40%
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Statistica descrittiva bivariata
Indaga la relazione tra due variabili misurate. Si distingue
rispetto alla tipologia delle variabili indagate:
• var. qualitative/quantitative discrete: tavole di contingenza (o a
doppia entrata)
• var. quantitative: analisi di correlazione lineare
• una var. qualitativa e una quantitativa: confronto tra le medie
Tavole di contingenza
Sono tabelle a doppia entrata; i valori riportati all’interno della tabella
sono le frequenze congiunte assolute, e la loro somma è pari al
totale dei casi osservati.
Dalla tabella si possono ricavare inoltre le distribuzioni marginali,
sommando per riga e per colonna le frequenze congiunte; le
frequenze relative congiunte, pari al rapporto tra le frequenze
assolute congiunte e il totale dei casi osservati.
Sesso * Età Crosstabulation
Età
Ses so
M
F
Total
Count
% within Ses s o
% within Età
% of Total
Count
% within Ses s o
% within Età
% of Total
Count
% within Ses s o
% within Età
% of Total
18-25
25
29.1%
32.1%
11.3%
53
39.3%
67.9%
24.0%
78
35.3%
100.0%
35.3%
26-35
22
25.6%
40.0%
10.0%
33
24.4%
60.0%
14.9%
55
24.9%
100.0%
24.9%
36-50
22
25.6%
53.7%
10.0%
19
14.1%
46.3%
8.6%
41
18.6%
100.0%
18.6%
Over 50
17
19.8%
36.2%
7.7%
30
22.2%
63.8%
13.6%
47
21.3%
100.0%
21.3%
Total
86
100.0%
38.9%
38.9%
135
100.0%
61.1%
61.1%
221
100.0%
100.0%
100.0%
Tavole di contingenza
Dalle tabelle di contingenza si possono ricavare ulteriori distribuzioni
unidimensionali :
– Frequenze subordinate ovvero la frequenza di osservare il
carattere x dato il carattere y e viceversa. Formalmente:
P y|x (xi,yj) = P (xi,yj) / P x(xi)
P x|y (xi,yj) = P (xi,yj) / P y(yj)
Indipendenza statistica se al variare di X le distribuzioni subordinate
(Y|X)= xi sono tutte uguali tra loro,si può concludere che la
distribuzione del carattere Y non dipende da X. Nel caso di
indipendenza statistica, la frequenza relativa congiunta è pari al
prodotto delle marginali corrispondenti
P(xi,yj)=Px (xi)Py(yj)
L’indipendenza stat. è un concetto simmetrico: se vale per X, vale
anche per Y. Se si verifica, vuol dire che l’analisi bivariata di X (Y)
non dà informazioni aggiuntive rispetto all’analisi univariata.
