DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ PER I VALORI ESTREMI

Statistica applicata all’edilizia
DISTRIBUZIONI DI
PROBABILITÀ PER I
VALORI ESTREMI
Distribuzioni di probabilità per valori
estremi
Per l’interpretazione statistica di certe grandezze (portate di piena,
precipitazioni intense, ecc.) per le quali sono disponibili i valori
massimi in un fissato intervallo temporale (anno, mese, giorno, ecc.)
è necessario ricorrere a leggi di distribuzioni specifiche per i
massimi valori.
Se si considera un campione x1, x2,…, xN di dimensione N e P(x) la
distribuzione di probabilità del valore massimo di tale campione si
ricava:
xmax=max[x1, x2,…, xN]
Se le N variabili sono indipendenti:
n
n
k =1
k =1
PX max ( x) = ∏ Pr[ X k ≤ x] = ∏ PXk ( x) = [ PX ( x)] N
Le distribuzioni di probabilità del massimo valore sono distribuzioni
asintotiche che dipendono soltanto dalle distribuzioni di probabilità
della variabile aleatoria di partenza.
Distribuzione di Gumbel
La distribuzione del valore estremo di primo tipo EV 1 fu sviluppata in
modo esteso ed applicata ai valori estremi da Gumbel ed è nota
come distribuzione di Gumbel.
Densità di probabilità:
p ( x ) = αe
−α ( x − u ) − e − α ( x −u )
Funzione di ripartizione:
P( x) = e
− e−α ( x −u )
Se si considera la variabile ridotta y = α (x – u), si ha una distribuzione
doppia esponenziale.
Rappresentazione della funzione di probabilità
della variabile ridotta y
Il parametro α, che è inversamente proporzionale allo scarto quadratico
medio σ(x), controlla la forma del grafico che rappresenta la
funzione di densità di probabilità.
1,283
α=
σ ( x)
dove 1,283 corrisponde allo scarto quadratico medio della variabile
ridotta, mentre il parametro u controlla la posizione del grafico:
aumentare il valore di u equivale a far scorrere il grafico verso
destra, senza deformarlo.
u = µ ( x) − 0,450σ ( x)
La serie 1 con α=9,04 ed u=24,2, mentre la serie 2 con
α=11,6 ed u=30,7.
Distribuzione di Fréchet
• la funzione densità di probabilità p(x) è data da
k − k (log x − β ) −e −k (log x−β )
p( x) = e
x
• Mentre la funzione di ripartizione è
P( x) = e
− e − k (log x − β )
La distribuzione GEV
• La distribuzione General Extreme Value è continua a 3
parametri α, u e k, limitata inferiormente ed illimitata
superiormente
P( x) = e
 α ( x −u ) 
− 1−

k


dove:
α è il parametro di scala;
u è il parametro di posizione;
k è il parametro di forma
k
La media e lo scarto quadratico medio di tale distribuzione
hanno le seguenti espressioni:
k   1 
µ = E[ x ] = u + 1 − 1 + 
α   k 
k
σ ( x) =  
α 
1
per > −1
k
 2  2  1 
1 +  − 1 + 
 k   k 
per
1
> −0,5
k
L’ espressione del quantile è
x=u+
{
1 − (− ln[P ( x)]) }
α
k
!/ k
!/ k

k 
 1   
x = u + 1 −  − ln1 −   
α  
 T   
Nella terminologia adottata x indica il livello di ritorno
associato al periodo di ritorno T, in altre parole è atteso
che il valore x sia superato in media una volta ogni T
anni.
Stima dei parametri della
distribuzione
Per la stima dei parametri della distribuzione esistono differenti
metodi:
•Metodo dei momenti;
•Metodo della massima verosimiglianza;
Il metodo della massima verosimiglianza (MV) è più efficiente degli altri
metodi di stima, ma presenta spesso difficoltà di risoluzione.