Banush Gersena
Bergamaschini Roberto
Campanale Maria Filomena
Pellegrini Mariangela
Pernigotti Andrea
Ronconi Tommaso
Salvitti Marco
Sardelli Francesco
OSCILLATORE ARMONICO
INDICE
Un esempio di oscillatore armonico è dato da un carrello
appoggiato ad una rotaia metallica con due respingenti ai suoi
estremi: su tale rotaia viene fatto scorrere il carrello legato a
molle che permettono di studiare il moto oscillatorio del carrello
stesso. Il dispositivo si basa sulla legge di Hooke che dice che
applicando una forza su un corpo materiale si ottiene uno
spostamento direttamente proporzionale alla forza stessa.
F Kx
L’oscillatore armonico può essere di tre tipi:
Libero
Smorzato
L’oscillatore come modello
Forzato
L’oscillatore armonico libero è un sistema ideale nel quale non
si tiene conto dell’esistenza dell’attrito: l’oscillazione ha perciò
durata infinita. Nel nostro caso il carrello è collegato da entrambe
le parti ad una molla e se viene. applicata su esso una forza
dovrebbe avere moto perpetuo.
L’oscillatore armonico smorzato è un sistema reale che, a
causa dell’attrito, vede l’oscillazione fermarsi in breve tempo;
nel sistema analizzato, l’attrito è rappresentato dall’attrito tra le
ruote del carrello e la rotaia e dalla resistenza dell’aria,.
Nel nostro caso abbiamo a che fare con un oscillatore
armonico forzato: il carrello è attaccato da un lato ad una molla
a sua volta legata ad un motorino con un braccio rotante, mentre
dall’altro una semplice molla; l’oscillazione prodotta con
frequenze e quindi periodi regolabili può mostrare diversi
comportamenti del corpo (il carrello) soggetto alla forza.
Varia perciò l’ampiezza dell’oscillazione e si possono vedere
chiaramente i fenomeni dei battimenti e della risonanza.
RISONANZA
Se la frequenza della forza periodica esercitata dal motorino sul
sistema dell’oscillatore armonico è opportuna, ovvero se la
pulsazione della forza è approssimativamente uguale a quella
dell’oscillazione propria del sistema, allora la forza applicata si
somma alla naturale oscillazione del sistema dando vita al
fenomeno della risonanza, amplificando l’ampiezza delle
oscillazioni, fino ad un valore massimo (infinito se l’attrito fosse
nullo).
Ampiezza (cm)
Oscillatore armonico forzato
60
50
40
30
20
10
0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
Pulsazione w (rad/s)
Dal grafico è possibile notare che non si ha un’amplificazione dell’oscillazione
solo per un preciso valore di pulsazione ma che l’oscillazione aumenta secondo
una curva “a campana”, il cui massimo ha una ascissa prossima al valore della
pulsazione libera.
L’OSCILLATORE COME MODELLO
Il comportamento degli elettroni all’interno degli atomi può essere compreso
attraverso il semplice modello dell’oscillatore armonico.
L’elettrone infatti si può considerare come un sistema in continua oscillazione
con pulsazione propria w0.
Se l’elettrone viene sollecitato esternamente, ad esempio da una radiazione
elettromagnetica (onda armonica), si verifica un fenomeno di risonanza,
assimilabile a ciò che abbiamo riscontrato nell’oscillatore armonico forzato
prima analizzato.
E Eocos t kx ĵ
W2
Livello energetico
superiore
elettrone
W1
Livello energetico
inferiore
Quando l’onda che interagisce con l’elettrone presenta pulsazione w prossima
al valore di pulsazione w0 dell’elettrone si verifica il fenomeno della risonanza
e l’elettrone assorbe l’energia proveniente dalla radiazione elettromagnetica, in
modo tale da passare al livello energetico superiore. A differenza
dell’oscillatore armonico (il cui comportamento è definito secondo la
meccanica classica), l’elettrone si comporta invece secondo i principi della
quantistica e quindi, il salto di orbitale è possibile solo per determinati valori di
energia quantizzati; viene quindi assorbita solo la quantità di energia necessaria
per il salto di orbitale (compresa antro il range dato dalla larghezza della
risonanza) e, se l’energia fornita è insufficiente, lo stato dell’elettrone rimane
invariato.
Dall’osservazione dei risultati sperimentali rilevati dall’oscillatore armonico è
stato possibile osservare che l’elettrone entra in risonanza non solo con l’onda
elettromagnetica di pulsazione w uguale alla pulsazione w0 dell’elettrone ma
con tutte le onde di pulsazione compresa in un intorno di tale valore.
Visualizza il grafico
SPETTRI DI EMISSIONE
Abbiamo analizzato le radiazioni elettromagnetiche emesse da una
lampada a mercurio.Queste venivano fatte passare attraverso una
fenditura di ingresso, focalizzate da una lente, quindi fatte passare
attraverso un reticolo di diffrazione, che le scomponeva nelle
varie lunghezze d’onda. Sullo schermo le radiazioni potevano
essere fatte passare attraverso fenditure di diversa larghezza.
Sapendo che esiste una relazione tra l’angolo di cui viene deviata
la radiazione elettromagnetica e la sua lunghezza d’onda ( e cioè
l= d sen(F), dove d è la distanza tra due righe del reticolo di
diffrazione. E’ possibile (utilizzando un sensore di luce) ottenere
un grafico dell’intensità luminosa in funzione della lunghezza
d’onda.
SPETTRO DI EMISSIONE DEL MERCURIO
12
14
16
18
Grafico
Raccolta n°3, lta n°4, lta n°5
Intensità (% max)
2
4
6
8
10
A metà picco blu
Dl18,214nm
A metà picco viola
Dl13,463nm
-6
-4
-2
0
A metà picco arancio
Dl14,480nm
320
340
360
380
400
420
440
460
480
500
Raccolta n°3, lta n°4, lta n°5
lunghezza d'onda (nm)
520
540
560
580
600
620
640
Come si nota dal grafico vi è una dispersione di l dovuta a
Dl = Dlspe + Dlint
E’ possibile ridurre Dlspe diminuendo la larghezza delle fenditure
di uscita. E’ tuttavia impossibile eliminare la dispersione di l in
quanto esiste un Dlint (intrinseca) dovuto al principio di
indeterminazione di Heisemberg:
DE Dt costante
dove DE è la differenza tra l’energia maggiore e l’energia minore
in ogni picco e Dt è l’intervallo di tempo durante il quale
l’elettrone è nello stato eccitato (quando viene emessa la
radiazione elettromagnetica).
Emissione
La larghezza di picco Dw è data dalla somma di un fattore intrinseco e di uno
sperimentale. Possiamo diminuire quello sperimentale restringendo la fenditura
d’uscita, ma non possiamo agire su quello intrinseco, ovvero é impossibile
restringere la larghezza oltre un certo limite.
La larghezza di picco intrinseca è spiegabile attraverso il principio
d’indeterminazione di Heisenberg:
Dw t K
Dove Dw é l’indeterminazione nella pulsazione e quindi nell’energia della
radiazione emessa, e t rappresenta il tempo in cui l’elettrone rimane nel livello
eccitato. In modo intuitivo possiamo, infatti, modellizare l’elettrone, nello stato
eccitato, come un oscillatore smorzato che emette onde elettromagnetiche
armoniche smorzate non periodiche.
Tanto maggiore è lo smorzamento (ovvero minore il tempo di rilassamento),
tanto maggiore è l’indeterminazione sul periodo e quindi sulla pulsazione.
INDICE
Riassumendo possiamo quindi affermare che la pulsazione dell’onda è
legata all’energia trasportata dall’onda stessa e quindi Dw corrisponde
alla larghezza della riga spettrale.
Il tempo di smorzamento t dell’oscillatore armonico corrisponde al
tempo di permanenza t dell’elettrone nello stato eccitato.
Quindi il tempo di vita dell’elettrone nello stato eccitato Dt e la larghezza
in frequenza della riga emessa corrispondente sono legati da una
relazione di proporzionalità inversa:
Dw Dt = costante
Principio di indeterminazione di Heisemberg
Cos’è uno spettro di assorbimento?
Uno spettro di assorbimento è la misura di una proprietà fisica f in
relazione alla frequenza n.
In questa esperienza abbiamo analizzato gli spettri di assorbimento,
come
fenomeno
dell’interazione
radiazionemateria.
L’assorbimento è stato effettuato da un corpo rigido, nel nostro caso
un vetrino.
sorgente
monocromatore
fibra ottica
rilevatore
La luce bianca prodotta dalla sorgente (una lampada allo xeno)
passa nel monocromatore che contiene al suo interno un elemento
dispersivo: un reticolo di diffrazione, che grazie a particolari
angolature e ad un sistema di specchi scompone la luce bianca
nei colori che la costituiscono e inoltre permette di selezionare un
solo colore (una sola lunghezza d’onda).
La luce scomposta passa attraverso una
fenditura e grazie ad una fibra ottica
colpisce il rilevatore.
Variando le lunghezze d’onda, considerate
in un intervallo compreso tra 300 e 700,
abbiamo raccolto i dati dell’intensità
luminosa I0, ottenendo il seguente
grafico:
Senza vetrino
60
50
40
I con 0 30
20
10
0
0
200
400
lunghezza d'onda
600
800
Successivamente abbiamo interposto un vetrino giallo tra la fibra
ottica e il rilevatore e abbiamo ripetuto le misurazioni dell’intensità
luminosa IT nello stesso intervallo di lunghezza d’onda, così da poter
vedere l’assorbimento da parte del corpo rigido.
Abbiamo messo in relazione i diversi valori di I0 e IT, calcolandone il
rapporto. Abbiamo poi costruito un grafico ponendo in relazione il
rapporto delle intensità luminose e la lunghezza d’onda.
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
TRASMISSIONE
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
400
500
600
700
Possiamo notare che si può avere trasmissione di luce solo quando si è giunti
ad una certa lunghezza d’onda che, nel nostro caso, è intorno ai 500nm.
Dal punto di vista energetico,la relazione tra lunghezza d’onda ed energia è
inversamente proporzionale. Infatti:
E= hn= hc/l
Quindi, per lunghezze d’onda maggiori a 500nm l’energia non è sufficiente
a far saltare l’elettrone al livello superiore. In particolare nell’ultima parte
del grafico,dove non si ha affatto assorbimento di energia, l’intensità
iniziale I0 resta invariata dopo il passaggio attraverso il vetrino: I0 = IT.
Nella parte in “salita”, invece, si riscontra un progressivo eccitamento degli
elettroni che non hanno ancora energia necessaria per compiere il salto. E’
proprio a partire da lunghezze d’onda più piccole di 500nm che l’elettrone
compie il salto al livello superiore.
W2
Livello energetico
superiore
elettrone
W1
Livello energetico
inferiore
I dati raccolti hanno rilevato che fasci di luce con particolari
lunghezze d’onda non vengono registrate dal rilevatore, essendo state
assorbite dal vetrino. Questo assorbimento non è stato però netto.
Si può notare che il passaggio
dall’assorbimento alla trasmissione è simile ad
una parte del grafico della risonanza. L’unica
differenza è che non si ha il successivo
ritorno a valori tendenti all’asse delle x.
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
Ciò si può interpretare considerando che gli
atomi che costituiscono il vetrino (corpo
solido), avendo legami molto forti,
sovrappongono i livelli energetici su cui
viaggiano gli elettroni in modo da creare non
un unico livello ma una banda estesa in
energia,che non riusciamo sperimentalmente
ad esplorare nella sua interezza.
0,00
400
500
600
700
oscillatore armonico forzo-smorzato
180
160
140
ampiezza
120
100
80
60
40
20
0
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
omega
5,00
6,00
7,00
8,00
INDICE
L’obiettivo di questa esperienza è quello di verificare
sperimentalmente l’equazione che regola la legge motoria di un
particolare corpo rigido che presenta notevoli
proprietà di
simmetria: il giroscopio.
Il giroscopio è un disco capace di ruotare intorno ad un asse fisso,
che passa attraverso il centro dello stesso.
Ragionando nel discreto, la rotazione intorno al suo asse è
caratterizzata dalla somma vettoriale dei singoli momenti angolari Li
di tutti i punti che lo costituiscono:
Li ri mi vi
i
i
Momento angolare e momento di una forza
L’altra grandezza fisica fondamentale è il momento di una
forza necessaria
per modificare
il momento angolare:
M r F
Mentre gira il giroscopio è soggetto ad una variazione DL DtM
.
Quindi per modificare il momento angolare è necessaria una forza
perpendicolare alla direzione del momento angolare stesso.
Quindi se l’angolo con cui ruota è piccolo dL=LdØ
dL·dt--1=LdØ ·dt--1=LW
dove W è dato dalla velocità angolare con cui gira il giroscopio.
Essendo L=Iw,dove w è dato dalla velocità angolare del disco, si ha:
(1)
mgd=IwW
dove I è dato dal momento di inerzia dell’intero sistema
da cui W=mgdI-1w1
I=mr2(ga-1-1)=0,0131Kg m2
m=0,035Kg
r=0,029m
g=9,81ms-2
a=2,20·10-2ms-2
d=21,34·10-2m
w=32,66 rad/s
W=0,723 rad/s
La pulsazione prevista teoricamente dalla equazione (1) risulta
W = 0,7299 rad/s: il risultato teorico e
quello sperimentale sono per tanto consistenti.
essere
INDICE
Il giroscopio e lo spin
Il giroscopio è un ottimo esempio per rappresentare il
momento angolare intrinseco dell’elettrone (spin 1/2; 1/2), con la differenza che il giroscopio può assumere
infinite posizioni mentre la direzione del momento
angolare dell’elettrone è quantizzata.
