Tasso istantaneo

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I TASSI EQUIVALENTI
Argomenti
Tassi equivalenti, tasso nominale, tasso istantaneo
1
Tassi equivalenti
In un assegnato regime finanziario, due tassi di interesse, riferiti ad orizzonti
temporali diversi, si dicono equivalenti se i corrispondenti fattori di
capitalizzazione per un’operazione finanziaria della stessa durata t risultano uguali.
i
i1/m
Tasso di interesse annuo
Tasso di interesse periodale (riferito ad 1/m di anno)
Esempio
Tasso di interesse semestrale
Tasso di interesse trimestrale
Tasso di interesse mensile
i1/2
i1/4
i1/12
0
0
1
2
m 1
1
Anni
m
Periodi
2
Tassi equivalenti
Se in corrispondenza del tasso di interesse annuo consideriamo la durata di
una determinata operazione t espressa in anni, allora, in corrispondenza di un
tasso periodale i1/m la durata della medesima operazione sarà pari a m  t ,
espressa in frazioni di anno.
ESEMPIO: Operazione finanziaria di durata pari ad 1 anno
3
Tassi equivalenti
Regime dell’interesse semplice
1  i  t  1  i1 m  m  t
i  i1 m  m  i1 m
i

m
con m  0
4
Tassi equivalenti
Regime dell’interesse composto
(1  i )t  (1  i1 m ) mt
1  i  (1  i1 m )  i  (1  i1 m )  1
m
m
(1  i )1 m  1  i1 m  i1 m  (1  i )1 m  1
5
Esercizi
ESERCIZIO 1
Dato un tasso di interesse quadrimestrale (i1/3) pari a 4,65%, nel regime
dell’interesse composto, calcolare i tassi di interesse annuo (i) e
mensile (i1/12) ad esso corrispondenti.
(1  i1 12 )12  (1  i1 3 )3
1  i1 12  (1  i1 3 )3 12
i1 12  (1  i1 3 )3 12  1
i1 12  (1  0, 0465)0,25  1  0, 0114  1,14%
(1  i )1  (1  i1 3 )3
i  (1  i1 3 )3  1
i  (1  0, 0465)3  1  0,1461  14, 61%
6
Esercizio
Riprendendo i dati dell’esercizio precedente calcoliamo gli stessi tassi
incogniti ipotizzando di trovarci nel regime dell’interesse semplice.
1  i1 12 12  1  i1 3  3
3
i1 12  i1 3   i1 12  0, 0465  0, 25  1,16%
12
1  i  1  i1 3  3
i  i1 3  3  i  0, 0465  3  13,95%
7
Tasso nominale di interesse
Ipotizziamo di trovarci nel regime dell’interesse composto e che il capitale
iniziale (C) sia investito ad un tasso annuo di interesse (i).
L’interesse via via generato viene però corrisposto all’investitore a periodicità
prefissate, ad esempio m volte l’anno.
Dopo la prima frazione (1/m) di anno verrà quindi reso disponibile
all’investitore l’interesse maturato.
I  C  i1 m
Questo interesse non viene automaticamente capitalizzato, al termine della
seconda frazione di anno (2/m) il capitale fruttifero sarà ancora pari a C, di
conseguenza anche alla fine di questo periodo l’investitore riceverà una
cedola di interesse pari a
I  C  i1 m
8
Tasso nominale di interesse
Graficamente la situazione può essere così rappresentata
M
C+Ci1/m
C
1/m
2/m
3/m
4/m
t
Ipotizzando che l’investimento duri un anno, alla fine di questo
periodo l’investitore avrà ricevuto per ogni euro investito m “cedole”
di pari importo (i1/m).
9
Tasso di interesse nominale
TASSO DI INTERESSE NOMINALE
Il tasso nominale annuo di interesse convertibile m volte nell’anno equivalente al
tasso di interesse annuo effettivo (i), indicato con j(m), è la somma aritmetica
delle cedole corrisposte all’investitore per ogni euro investito.


j (m)  mi1/ m  m (1  i )1/ m  1
Non
ha
un
significato
finanziario diretto, in quanto
somma aritmetica di capitali
disponibili ad epoche diverse
i1/ m
1
 j ( m)
m
m
j ( m) 

i  1 
 1
m 

10
Esercizi
ESERCIZIO 1
Dato un tasso di interesse annuo effettivo (i) del 10,25%, nel regime
dell’interesse composto, determinare l’equivalente tasso di interesse
nominale convertibile 3 volte l’anno (j(3)).
j (m)  m  (1  i 
1m
 1)
j (3)  3  (1  0,1025)1 3  1  0,99185  9,92%
11
Tasso di interesse istantaneo
Se il tasso di interesse nominale j(m) è convertibile infinite volte nell’anno,
ossia è convertibile istante per istante, si può giungere al seguente risultato
tramite le proprietà dei limiti notevoli.
lim j (m)  lim m (1  i)1/ m  1    ln(1  i)
m
m
Dove la quantità
  ln(1  i)
è definita tasso istantaneo di interesse corrispondente al tasso di interesse
effettivo annuo (i). Ricavando il tasso di interesse effettivo annuo dalla
relazione appena enunciata si avrà:
i  exp( )  1
12
Confronto tra tassi equivalenti
Il tasso di interesse
nominale annuo è:
j ( m)
 Minore di quello effettivo
annuo se m>1;
 Maggiore
di
quello
effettivo annuo se m<1
 Uguale a quello effettivo
annuo se m=1
 Al crescere di m tende al
valore
del
tasso
di
interesse istantaneo
i

1
2
3
............
m
13
Confronto tra tassi equivalenti
L’andamento dei tassi equivalenti rappresentato graficamente è validato dalla
seguente tabella dove sono evidenziati i valori dei tassi equivalenti a
determinati tassi di interesse effettivi annui per diversi valori di m, nonché i
relativi tassi istantanei di interesse.
14
Alcune relazioni notevoli
  ln(1  i )

e e
ln(1 i )

e  1 i
t
e  (1  i )  r (t )
t
t
r (t )  (1  i )  e
t
15
Tasso istantaneo di interesse
-CapitalizzazioneDalle relazioni precedenti risulta evidente che, nell’operazione di
capitalizzazione, utilizzare il tasso effettivo annuo (i) o il
corrispondente tasso istantaneo (δ) conduce agli stessi risultati.
ESEMPIO
Dato un capitale iniziale di € 100 investito nel regime dell’interesse composto
ad un tasso di interesse effettivo annuo del 20% determinare il montante
generato alla fine del terzo anno di investimento.
  ln(1  i )    ln(1, 20)  0,1823
M  C  (1  i )t
M  C  exp( t ) 
 100  (1, 20)3
 100  exp(0,1823  3)
 172,8
 172,8
16
Tasso istantaneo di interesse
-AttualizzazioneRicordando che:
v(t ) 
1
r (t )
Allora possiamo esprimere anche il fattore di attualizzazione tramite il
tasso istantaneo di interesse:
v(t )  (1  i)  exp( t )
t
Si può di conseguenza affermare che anche per quanto riguarda
l’operazione di attualizzazione è indifferente che essa venga svolta per
mezzo del tasso effettivo di interesse annuale o tramite il tasso di
interesse istantaneo corrispondente.
17
Tasso istantaneo di interesse
-AttualizzazioneESEMPIO
Dato un tasso di interesse effettivo annuo del 15% determinare il valore attuale
di un capitale finale di € 100 disponibile tra due anni.
  ln(1  i)    ln(1,15)  0,1398
C  M  (1  i )  t
C  M  exp( t )
 100  (1,15) 2
 100  exp(0,1398  2)
 75, 61
 75, 61
18
Esercizi
ESERCIZIO 1
Determinare il valore attuale di un capitale di € 3000 disponibile tra un
anno e mezzo investito nel regime dell’interesse composto ad un tasso
nominale convertibile semestralmente (j(2)) pari al 15%.
m
j ( m) 

i  1 
 1
m 

2
 0,15 
i  1 
  1  0,155625
2 

C  M  (1  i ) t
C  3000  (1  0,155625) 1,5  2414,88
19
Esercizi
ESERCIZIO 2
Determinare il valore attuale di un capitale di € 5000 disponibile tra
due anni e nove mesi investito nel regime dell’interesse composto ad
un tasso di interesse istantaneo (δ) pari al 12,5%.
C  M  exp( t )
C  5000  exp(0,125  33 12)  3545,53
20
Esercizi
ESERCIZIO 3
Determinare il tasso di interesse istantaneo (δ) in base al quale un
capitale di € 2400 genera un montante di € 3000 dopo un anno e
mezzo.
M
M  C  exp( t ) 
 exp( t )
C
M 
ln    ln  exp( t ) 
C 
1 M 
M 
ln     t     ln  
t
C 
C 
1
 3000 

 ln 
  0,1488  14,88%
1,5  2400 
21
Esercizi
ESERCIZIO 4
Dato un tasso istantaneo di interesse (δ) pari al 10% calcolare il tasso
semestrale di interesse equivalente (i1/2).
exp( )  1  i  i  exp( )  1
i1 2  (1  i )1 2  1
i1 2  (1  exp( )  1)1 2  1
i1 2  exp( 2)  1  exp(0,10 2)  1  0, 0513
22
Relazioni di base tra tassi equivalenti
Tasso annuo – Tasso periodale
i  (1  i1 m )m  1
i1 m  (1  i)1 m  1
Tasso nominale - Tasso annuo – Tasso periodale


j (m)  mi1/ m  m (1  i )1/ m  1
i1/ m 
1
j ( m)
m
m
j ( m) 

i  1 
 1
m 

23
Relazioni di base tra tassi equivalenti
Tasso istantaneo - Tasso annuo – Tasso periodale
  ln(1  i )
i  exp( )  1
  ln(1  i1 m ) m
i1 m  exp  m   1
24
Criteri per la scelta degli investimenti
Argomenti
Operazioni finanziarie, Valore Attuale Netto (VAN),
Tasso Interno di Rendimento (TIR)
25
Le operazioni finanziarie
OPERAZIONI FINANZIARIE
Queste operazioni si manifestano come una successione, finita o infinita, di
somme di denaro in entrata e in uscita (flussi di cassa), scadenzate nel
tempo.
Ipotesi
 Flussi certi
 Scadenze determinate
 Operazioni finanziarie discrete (P.I.-P.O. => point inputs – point outputs)
26
Le operazioni finanziarie
Un’operazione finanziaria è rappresentabile come una famiglia di coppie in
cui xh rappresenta il generico importo (positivo o negativo) relativo all’epoca
th, in simboli
( x0 , x1 , x2 , , xh , , xn ) /(t0 , t1, t2 , , th , , tn )
oppure
 x , t 
h
h
In particolare:
- xh >0
Flusso in entrata all’epoca th (es. ricavi da investimento, somme
prese in prestito …)
- xh <0
Flusso in uscita all’epoca th (es. somme investite, spese relative
all’operazione, rimborso di prestiti …)
27
Le operazioni finanziarie
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI UN’OPERAZIONE FINANZIARIA
t0
t1
t2
t3
tn 1
tn
x0
x1
x2
x3
xn 1
xn
OPERAZIONI FINANZIARIE
 Investimento (tutte le uscite precedono tutte le entrate)
 Finanziamento (tutte le entrate precedono tutte le uscite)
Le operazioni finanziarie sono definite “semplici” se una sola uscita precede
tutte le entrate (caso dell’investimento) o se una sola entrata precede tutte
le uscite
28
Il VAN (Valore Attuale Netto)
VAN
Il Valore Attuale Netto di un’operazione finanziaria è dato dalla somma dei
flussi di cassa attualizzati relativi all’operazione stessa.
n
VAN   xh  (1  j ) (t t )
h
0
h 0
L’applicazione della formula del VAN richiede, oltre al flusso di cassa
connesso all’operazione che è dato, la scelta del tasso di interesse da
utilizzare.
Il VAN di un progetto assume il significato di valore attuale del guadagno che
lo stesso progetto permetterà di conseguire
29
Criterio del VAN
Il calcolo del VAN è utile per decidere quale tra alternativi progetti sia più
conveniente. Naturalmente la scelta ricade sul progetto caratterizzato dal
VAN maggiore.
Per essere confrontabili due progetti devono essere omogenei, ossia devono
avere:
 Stessa durata
 Stessa entità di capitale investito
 Stesso tasso di valutazione
CRITICHE AL CRITERIO DEL VAN
 Soggettività nella decisione del tasso di interesse col quale scontare i flussi
 Assunzione dell’ipotesi che tale tasso sia stabile nel tempo
30
Il TIR (Tasso Interno di Rendimento)
Il TIR è un indicatore che esprime la redditività di un’operazione finanziaria in
termini di tasso.
Caratteristiche:
 è intrinseco nell’operazione in questione
 è oggettivamente determinabile
Il TIR si ricava dalla seguente relazione
n
 xh  (1  TIR)
h 0
 ( t h  t0 )
0
Questo equivale a dire che, secondo tale tasso, il valore attuale dei flussi in
uscita uguaglia il valore attuale dei flussi in entrata.
31
Criterio del TIR
Il criterio del TIR permette di scegliere tra operazioni finanziarie alternative
a seconda che l’operazione in questione sia un investimento o un
finanziamento.
- Investimento
- Finanziamento
si sceglie l’alternativa caratterizzata dal TIR maggiore
si sceglie l’alternativa caratterizzata dal TIR minore
CRITICITA’
Non è sempre possibile determinare il TIR delle operazioni finanziarie e di
conseguenza il relativo criterio non è sempre applicabile.
Teorema di Nostrom
Se le poste di un’operazione finanziaria {(xh,th)} rispettano le seguenti condizioni:
x0  0
xk  0
per k  1, 2,..., n
allora l’operazione stessa possiede un
TIR positivo
x0  x1  x2  ...  xn  0
32
Esercizi su TIR e VAN
ESERCIZIO 1
Un’azienda acquista un macchinario per € 20.000. Sapendo che tale
acquisto incrementerà le entrata dell’azienda di € 6.000 nel primo
anno, di € 8.000 nel secondo anno e di € 11.000 nel terzo anno,
calcolare il TIR dell’investimento e il VAN secondo l’ipotesi che il
tasso di valutazione sia del 9%.
33
Esercizi su TIR e VAN
ESERCIZIO 2
Un’azienda deve scegliere tra due investimenti alternativi:
INVESTIMENTO A
-Acquisto di un impianto per € 70.000
-Entrate stimate 1°anno € 14.000
-Entrate stimate 2°anno € 16.000
-Entrate stimate 3°anno € 20.000
-Entrate stimate 4°anno € 25.000
-Entrate stimate 5°anno € 20.000
-Entrate stimate 6°anno € 19.000
INVESTIMENTO B
-Acquisto di un impianto per € 120.000
-Entrate stimate 1°anno € 26.000
-Entrate stimate 2°anno € 28.000
-Entrate stimate 3°anno € 34.000
-Entrate stimate 4°anno € 36.000
-Entrate stimate 5°anno € 25.000
-Entrate stimate 6°anno € 15.000
Determinare la scelta che l’azienda farà basandosi sul criterio del
VAN con tasso di valutazione del 9% e basandosi sul criterio del TIR.
I due approcci sono tra loro coerenti?
34
Calcolo delle probabilità
Legge delle Probabilità Totali per eventi incompatibili
 n  n
P  Ei    P( Ei )
 i 1  i 1

P  A  B   P  A  P  B 
Legge delle Probabilità Totali per eventi compatibili
 n  n
P  Ei    P( Ei )
 i 1  i 1

P  A  B   P  A  P  B   P  A  B 
Eventi indipendenti
P  A  B   P  A P  B 
35
Calcolo delle probabilità
Probabilità Condizionata
P  A B 
P  B A 
P  A  B
P  B
P  A  B
P  A
Legge delle Probabilità Composte
P  A  B   P  B  P  A B   P  A P  B A
Teorema di BAYES
P  A B 
P  A P  B A
P  B
36
Calcolo delle Probabilità
ESERCIZIO 1
In una città vengono venduti tre giornali: A,B,C. Da un’indagine
risulta che il 47% degli abitanti legge il giornale A, il 34% il giornale
B, il 12% il giornale C; l’8% legge A e B, il 5% legge A e C, il 4% legge
B e C e infine il 4% legge tutti e tre i giornali.
Se si sceglie a caso una persona trovare la probabilità che:
- Non legga alcun giornale
- Legga solo un giornale
- Legga A e B sapendo che legge almeno un giornale
37
Calcolo delle Probabilità
ESERCIZIO 2
In un palazzo vivono solo tre famiglie: A, B, C, di 4 componenti
ciascuna. La famiglia A è composta da 4 maschi, la B da 3 maschi e 1
femmina, la C da 2 maschi e 2 femmine. Considerando equiprobabile
l’uscita di un componente di una qualunque delle tre famiglie, si
osserva che dal portone esce una persona di sesso maschile. Quale è
la probabilità che egli appartenga alla famiglia B?.
38
Calcolo delle Probabilità
ESERCIZIO 3
La probabilità di colpire un bersaglio con una buona carabina è 1/3,
con una meno buona è 1/4. Un tiratore ha cinque carabine, di cui
una buona. Se spara un colpo con una carabina scelta a caso, qual è
la probabilità di colpire il bersaglio?
Sapendo che il tiratore ha colpito il bersaglio, qual è la probabilità
che abbia usato una carabina buona?
39
Calcolo delle Probabilità
ESERCIZIO 4
Di 5 chiavi, una sola delle quali apre una serratura, 3 prese a caso
sono inserite in un cassetto A e le restanti 2 in un cassetto B.
Successivamente, da B si estrae a caso una chiave.
Definiti gli eventi:
- H = “B contiene la chiave che apre la serratura”
- E = “la chiave estratta da B non apre la serratura”
Calcolare P(E) e P(H|E).
40
Calcolo delle Probabilità
ESERCIZIO 5
Compro due cassette con dieci piantine di bocche di leone ciascuna che
ancora devono fiorire. Il vivaista mi ha detto che nella prima cassetta ci
sono 7 piantine rosse e 3 bianche, mentre nella seconda ci sono 5
piantine rosse e 5 bianche.
Prendo una delle due cassette, a caso, e da questa prendo due piantine.
Qual è la probabilità che sboccino due bocche di leone rosse?
41
Calcolo delle Probabilità
ESERCIZIO 6
Un dirigente di una compagnia di assicurazioni ha sviluppato un test attitudinale
per agenti assicurativi. Sa che dall’attuale gruppo di agenti il 65% ha ottenuto
buoni risultati di vendita ed il restante 35% ha ottenuto risultati scarsi. Dà il suo
test all’intero gruppo di agenti e trova che il 73% di coloro che hanno ottenuto
buoni risultati passa il test e che il 78% di coloro che hanno ottenuto scarsi
risultati sbaglia il test. Scegliendo un agente a caso e sottoponendogli il test:
a) qual è la probabilità che chi passa il test non abbia ottenuto buone vendite?
b)qual è la probabilità che chi passa il test abbia ottenuto buone vendite?
c) qual è la probabilità che chi non passa il test non abbia ottenuto buone
vendite?
d) qual è la probabilità che chi non passa il test abbia ottenuto buone vendite?
42
Calcolo delle Probabilità
ESERCIZIO 7
Tre macchine, A B, e C, producono rispettivamente il 60%, il 30%, e il
10% del numero totale dei pezzi prodotti da una fabbrica. Le
percentuali di produzione difettosa di queste macchine sono
rispettivamente del 2%, 3% e 4%.
- Determinare la probabilità di estrarre un pezzo difettoso.
Viene estratto a caso un pezzo che risulta difettoso.
- Determinare la probabilità che quel pezzo sia stato prodotto dalla
macchina C.
43
Soluzioni
Esercizio 1:
- 20%
- 71%
- 10%
Esercizio 2:
- 1/3
Esercizio 3:
- 4/15
- 1/4
44
Soluzioni
Esercizio 4:
- 4/5
- 1/4
Esercizio 5:
- 0,34
Esercizio 6:
- 0,1396
- 0,8604
- 0,6087
- 0,3913
45
Soluzioni
Esercizio 7:
- 0,025
- 0,16
46
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