Università degli studi di Pisa - Facoltà di Ingegneria
Corso di laurea specialistica in Ingegneria dell’Automazione
Programma di Metodi Matematici per l’Ingegneria
a.a. 2004- 2005
Cap. 0 Richiami di algebra lineare e nozioni preliminari.
Definizione di spazio vettoriale normato. Esempi di norme vettoriali. Successioni di Cauchy.
Spazi di Banach e spazio duale.
Definizione di prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
Spazi di Hilbert. Esempi. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Serie di Fourier:convergenza.
Sistemi completi di funzioni in L2. Polinomi ortogonali di: Legendre, Chebyshev, La guerre, Hermite.
Richiami sui polinomi. Algoritmo di Corner.
Rango di una matrice. Matrici simmetriche, antisimmetriche, hermitiane, antihermitiane, ortogonali, unitarie:
proprietà.
Matrici definite positive e semidefinite positive. Matrici a banda. Matrice aggiunta. Matrice inversa.
Valori singolari di una matrice e sue proprietà.
Matrici elementari Formula di Sherman-Morrison. Perturbazione di una matrice:teorema.
Matrice inversa generalizzata, matrice pseudoinversa.
Sistemi lineari:formulazione del problema e rappresentazione delle soluzioni.
Definizione di autovalore e autovettori destri e sinistri di una matrice. Sistemi biortogonali. Raggio spettrale.
Norma di una matrice. Esempi di norme matriciali indotte da norme vettoriali.
Diagonalizzazione di una matrice. Matrici a predominanza diagonale. Matrici simili. Matrici riducibili. Grafo di
una matrice. Matrici di permutazione. Matrici convergenti.
Teorema di Cayley-Hamilton. Teorema di Hirch.
Localizzazione degli autovalori nel piano complesso. Teoremi di Gershgorin. Matrice compagna.
Cap. 1 Analisi dell’errore
Rappresentazione dei numeri reali.
Errori di troncamento e arrotondamento.
Aritmetica finita e precisione di macchina.
Errori di calcolo di una funzione: analitico, inerente, algoritmico.
Analisi dell’errore mediante l’uso del grafo.
Cap. 2 Metodi diretti e iterativi per la risoluzione di sistemi lineari
Metodo di Gauss e fattorizzazione LR.
Analisi dell’errore e numero di condizionamento.
Metodo di Doolittle e Cholesky.
Metodi iterativi di Jacobi, Gauss-Seidel e SOR (successive over relaxation).
Metodo del gradiente coniugato.
Cap. 3 Metodi per la risoluzione di un’equazione e di un sistema di equazioni non lineari
Metodo delle approssimazioni successive.
Ordine di convergenza, test d’arresto, errori di arrotondamento.
Metodi di Newton, Jacobi-Newton, Gauss-Seidel, SOR-Newton e di Robinson.
Equazioni algebriche: successione di Sturm.
Cap. 4 Metodi per la determinazione di autovalori e autovettori di una matrice
Localizzazione degli autovalori.
Metodo delle potenze.
Metodo di Jacobi.
Metodo LR.
Metodo QR.
Cap. 5 Interpolazione e approssimazione di una funzione
Differenze divise e differenze finite.
Polinomi di Lagrange, Newton, Hermite.
Spline cubiche.
Polinomi trigonometrici e trasformata discreta di Fourier.
La funzione test di Runge, interpolazione “quasi minimax”di Chebyshev.
I
Metodo dei minimi quadrati nel discreto e nel continuo. Polinomi ortogonali di Legendre, Chebyshev, Laguerre,
Hermite.
Convergenza in media e uniforme.
Cap. 6 Integrazione e derivazione numerica
Somme di Riemann, grado di precisione.
Formule di Newton-Cotes.
Formule composite.
Formule gaussiane.
Formule dei resti.
Tecniche di estrapolazione e controllo dell’errore.
Estensione agli integrali doppi e tripli.
Formule di derivazione numerica.
Cap. 7 Risoluzione numerica di equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie
con condizioni iniziali assegnate
Problema di Cauchy: teorema di esitenza e unicità. Risoluzione di un sistema differenziale del primo ordine a
coefficienti costanti: matrice exp(Ax)e teorema di Caley-Hamilton.
Metodi lineari a k passi: errore di troncamento, errore locale, errore globale; ordine, consistenza, zero-stabilità,
convergenza, stabilità assoluta e relativa.
Metodi di Adam, Bashford, Moulton.
Metodi BDF (Backward Differential Formulas)
Metodo di Schur e metodo della frontiera.
Metodi di predizione e correzione: stima dell’errore locale di troncamento.
Metodi di Runge-Kutta: espliciti, impliciti, semi-impliciti. Ordine, consistenza, convergenza, stabilità assoluta e
relativa.
Formule di metodi di Runge-Kutta espliciti di ordine 2, 3, 4, 5, 6, impliciti e semi-impliciti.
Stima dell’errore locale: estrapolazione di Richardson.
Cap. 8 Metodi alle differenze finite per la risoluzione di problemi differenziali ai limiti
Risoluzione di un’equazione differenziale lineare a coefficienti non costanti con condizioni ai limiti di prima,
seconda e terza specie. Caso degli autovalori.
Risoluzione di problemi differenziali non lineari della forma y f ( x, y) e y f ( x, y, y ) con
condizioni ai limiti di prima specie. Teorema di esistenza e unicità.
Metodi lineari a due passi; metodo di Numerov.
Risoluzione di problemi differenziali non lineari della forma
Esempi proposti. Problema del Boundary layer.
y IV f ( x, y) .
Cap. 9 Risoluzione numerica di equazioni differenziali alle derivate parziali
tramite il metodo delle differenze finite
Applicazione del metodo delle differenze finite per la risoluzione di equazioni del secondo ordine lineari di tipo
ellittico, parabolico, iperbolico con condizioni del tipo di Dirichlet, di Newmann, di Robin o misto.
Equazioni di Laplace e di Poisson. Principio del massimo.
Problema di Dirichlet - u=f(x,y) in , u(x,y)=g(x,y), (x,y) . Limitazione a priori della soluzione. Errore di
troncamento. Consistenza. Convergenza.
Problemi classici:
- problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace e di Poisson;
- problema del trasporto;
problema di trasmissione del calore;
- problema delle onde;
Consistenza, convergenza, stabilità.
Cap. 10 Equazioni variazionali-Elementi finiti.
Formulazione debole di un problema ai limiti in una dimensione.
Approssimazione di Ritz-Galerkin.
Stima dell’errore.
Spazi di Sobolev: derivate generalizzate; norme di Sobolev; disuguaglianza di Sobolev e teorema di traccia.
Dualità.
Formulazione variazionale di problemi ellittici con valori assegnati al contorno.
Spazi di Hilbert.
Proiezione su sottospazi. Proiezione su un convesso chiuso.
II
Teorema di Banach-Caccippoli.
Teorema di rappresentazione di Riesz.
Teorema di Stampacchia.
Teorema di Lax-Milgram.
Approssimazione polinomiale in spazi di Sobolev.
Formulazione variazionale dell’equazione di Poisson con condizioni al contorno di Dirichlet, di Neumann puro e
di Neumann misto.
Approssimazione variazionale dell’equazione di Poisson.
Problema di Stokes.
Problema di diffusione di un fluido attraverso un mezzo poroso.
Problema di Navier-Stokes.
Elementi finiti di Lagrange, di Hermite, di Argyris in una, due, tre dimensioni.
Gli studenti sono invitati a consegnare all’atto della prova scritta un’applicazione al computer. Tale applicazione può
essere rivolta ad un tema d’esame assegnato negli appelli passati e possibilmente risolto con più algoritmi di calcolo tra
quelli indicati nelle dispense.
III
