Ottavio Serra
PITAGORA:
Numeri e figure Il teorema di Pitagora.
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Aristotele, nella Metafisica, I, 5, scrive:
I cosiddetti pitagorici, avendo cominciato a
occuparsi di ricerche matematiche ed essendo
grandemente progrediti in esse, furono condotti
da questi studi ad assumere come principi di
tutte le cose esistenti quelli di cui fanno uso le
scienze matematiche, cioè i numeri […]. Avendo
poi riconosciuto che le proprietà delle armonie
musicali corrispondono a rapporti numerici, e
che in altri fenomeni naturali si riscontrano
analoghe corrispondenze coi numeri, conclusero
che tutto è numero e che il cielo sia proporzione
ed armonia.
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Il cosmo dei pitagorici
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Lo gnomone (
) è un’asta di legno a squadra
per conoscere l’ora dall’ombra del Sole. Indice dell’orologio
solare. E’ un oggetto, numero o una figura, che aggiunto a
un oggetto lo lascia immutato in forma,simile a sé.
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Queste proprietà aritmetiche
convinsero i pitagorici che tutto
è numero, il mondo, i cieli, la
musica. In particolare, le linee
sono somma di punti. Però l’altro
grande trionfo dei pitagorici, il
Teorema di Pitagora, infranse
questa grandiosa concezione,
con la scoperta che esistono
segmenti incommensurabili.
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I numeri perfetti
Prima del famoso teorema, accenniamo a un’altra
conquista dei pitagorici, i numeri perfetti.
Sono i numeri uguali alla somma dei loro divisori, 1 incluso.
I pitagorici conoscevano 6 e 28, forse anche 496.
Euclide dimostrò una formula per generare numeri perfetti
pari e trovò così 8128. (Elementi, Libro IX ).Nel 1700
Eulero dimostrò che la formula di Euclide genera tutti i
numeri perfetti pari (è necessaria, non solo sufficiente).
Senza computer è praticamente impossibile andare
oltre 8128. Infatti il prossimo è 33.550.336, poi vengono
8.589.869.056 e 137.438.691.328, poi un numero di 19
cifre, che non riporto, poi anche il mio pc si arrende.
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E ora il teorema di Pitagora
In
verità era conosciuto anche presso altri
popoli e prima del V secolo, almeno in casi
particolari. Per esempio, i cinesi
conoscevano il caso 3,4,5 come risulta dalla
successiva diapositiva, già dal 1100 a.C.
Forse gli egizi anche da prima.
Il merito dei pitagorici è stato di averne
tentato una giustificazione e di aver aperto
la via alla scienza dimostrativa.
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Basta un’occhiata per capire la
dimostrazione di Chou
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Una “dimostrazione” del teorema dovuta a Pappo
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Il disegno eseguito da Socrate (Platone) nel
“Menone” per la duplicazione del quadrato. Da esso
si ricava il Teorema di Pitagora nel caso particolare
del triangolo rettangolo isoscele (AOB).
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Dal disegno riportato nel “Menone” si ricava
l’irrazionalità della radice quadrata di 2. La via
aritmetica, congeniale ai pitagorici, sembra però troppo
astratta e ardua per quei tempi.
Tuttavia Aristotele negli ANALITICI PRIMI Libro
I, Cap. 23, 41 a, dice che i pitagorici
dimostrarono l’incommensurabilità della
diagonale e del lato del quadrato, mostrando
che l’ipotesi opposta avrebbe condotto
all’assurdo che un numero fosse pari e dispari
nello stesso tempo.
(Euclide, spaventato dai numeri irrazionali, indicibili
) , seguirà, con Eudosso, dimostrazioni
(
geometriche).
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Spirale pitagorica delle radici quadrate
A partire dal triangolo rettangolo isoscele (in rosso)
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Similitudine di un triangolo rettangolo con le due parti in
cui l’altezza lo divide (Euclide VI 8), da cui discendono i
teoremi di Euclide e il teorema di Pitagora.
Questa via più semplice dovette aspettare la teoria dei
rapporti incommensurabili(V libro).
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Secondo Odifreddi l’irrazionalità comparve
dapprima dallo studio del pentagono e perciò
il primo numero irrazionale conosciuto dai
pitagorici fu la radice quadrata di 5, legata
alla sezione aurea. (Il lato del pentagono
regolare è uguale alla sezione aurea della
diagonale) . La sezione aurea, scoperta dai
pitagorici, serviva anche per la costruzione
dei poliedri regolari.
La Sezione aurea di un segmento è la parte
MEDIA PROPORZIONALE tra il segmento e la
parte restante ESTREMA RAGIONE.
Vedi le due diapositive seguenti.
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Il Pentagramma, Stella a 5 punte, era il segno di
riconoscimento dei pitagorici
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La dimostrazione geometrica di Euclide dell’irrazionalità
della radice quadrata di 2. Non si troverà mai un
sottomultiplo comune ad AC ed AB.
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Per finire,
Garfield, (18311881)
Maggior generale
nordista nella
guerra civile,
(1861-63), fu
presidente Usa
per pochi mesi,
assassinato il 7
luglio 1881.
Il teorema di
Pitagora
dimostrato da
Garfield.
Questa chicca
è riportata da
Piergiorgio
Odifreddi su
“Le Scienze”,
luglio 2005.
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Pitagora e la musica.
Studiando i suoni emessi da corde tese, i
pitagorici notarono che i suoni erano tanto più
acuti quanto più le corde, a parità di spessore e
di tensione, erano corte. Essi, pur non
introducendo il concetto assoluto di frequenza,
ebbero idea della frequenza relativa in base al
rapporto tra le lunghezze delle corde. Si
accorsero così che alcuni accordi erano
particolarmente gradevoli: quello di quarta,
rapporto di 4/3 con una frequenza di riferimento,
di quinta, rapporto di 3/2 e di ottava o unisono,
rapporto 2.
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Secondo altri, e secondo me è più probabile,
i pitagorici trovarono le leggi dell’armomia
musicale percuotendo vasi di uguale altezza
riempiti d’acqua a livelli diversi, in modo che
fosse diversa la colonna d’aria vibrante.
In tal modo la frequenza dipende solo dalla
colonna d’aria h. Per chi vuol sapere:
h= (2n+1)l/4 = c/l = (2n+1)c/4h.
(Si formano onde stazionarie se h contiene un
numero intero di “mezzi fusi”)
Per n=0 si ha l’armonica fondamentale, la nota.
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Essi introdussero perciò una Scala musicale
di 7 note separate da intervalli di quinta:
2/3, 1, 3/2, 9/4, 27/8, 81/16, 243/32.
Per farle entrare in un’ottava, la prima si
moltiplica per 2, la quarta e la quinta nota si
dividono per 2, la sesta e la settima si
dividono per 4. Ordinandole per frequenze
crescenti, si ha:
1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128.
Si noti la corrispondenza parziale con la scala
naturale di Aristòsseno (III secolo a.C.),
ripresa da Zarlino (1500, Venezia):
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1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128 (Pitagora)
Do Re Mi
Fa Sol La
1, 9/8, 5/4,
4/3, 3/2, 5/3,
Si
Do
15/8, 2. (Zarlino).
Infine con Bach (1700) si passa dalla scala naturale
alla scala temperata, inserendo altre 5 note dette
diesis, #, della nota precedente o bemolle, b, della
nota successiva, in modo che l’intervallo tra una nota e
la seguente fosse costante, pari a
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Così anche nella musica si estende
attraverso i millenni il genio di Pitagora.
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Pitagora
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Bach
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