Ottica geometrica 1
19 dicembre 2013
Definizioni
Approssimazioni
Stigmatismo
Specchio concavo, fuoco
Invertibilita` del cammino ottico
Immagini e oggetti virtuali
Definizioni
• Si dice oggetto un corpo che emette luce propria o diffonde
luce di un’altro corpo
• Strumento ottico e` un apparato, semplice o complesso, che
riflette o rifrange la luce emessa da un oggetto
• Esempi ne sono uno specchio, una lente, l’occhio, un
telescopio
• Immagine e` la luce emessa dall’oggetto dopo essere stata
trasformata dallo strumento ottico e raccolta su uno schermo
(torneremo sul concetto)
• L’ottica geometrica (OG) studia la formazione di immagini
mediante strumenti ottici, considerando la luce emessa
dall’oggetto come un insieme di raggi
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Approssimazioni dell’OG
• Nell’OG si considera la luce come formata da
particelle che si muovono in line retta e
interagiscono con le superfici dello strumento ottico
secondo le leggi della riflessione e della rifrazione
• Nell’OG non entra mai in gioco la natura ondulatoria
della luce
• Tale approssimazione e` generalmente ben
soddisfatta, perche’ le dimensioni delle superfici
degli strumenti ottici sono molto maggiori della
lunghezza d’onda della luce
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Forma dello strumento ottico
• Ci limiteremo a studiare il caso in cui
– gli strumenti ottici abbiano un asse di simmetria cilindrica
– gli elementi dello strumento siano costituiti solo da
porzioni di superfici piane o sferiche
• In tal modo rimangono definiti per ciascuna
superficie
– un centro C e un raggio di curvatura R
– un vertice V come intersezione tra la superficie e l’asse
R
V
C
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Stigmatismo
• Uno strumento ottico e` detto stigmatico se
trasforma un punto oggetto in un unico punto
immagine: e` una condizione essenziale per una
buona definizione dell’immagine
• Lo strumento puo` essere stigmatico per uno o alcuni
punti oppure puo` esserlo per tutti i punti dello
spazio oggetto
• Lo stigmatismo e` difficile da ottenere
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Ottica gaussiana
• Si puo` ottenere stigmatismo in modo approssimato a
condizione di usare raggi parassiali, cioe` poco inclinati
rispetto all’asse ottico dello strumento e poco distanti da esso
• La piccola inclinazione permette di approssimare la tangente e
il seno di un’angolo con l’angolo stesso (espresso in radianti)
• In questa approssimazione gaussiana gli angoli q, a, q’ sono
tutti piccoli e la sagitta HV, relativa al semi-arco NV si puo`
considerare nulla
N
q
P
C
a
Q
q’
H V
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Aberrazioni
• Le eqq. che ricaveremo per le immagini formate da uno
strumento ottico sono valide solo nell’approssimazione
parassiale
• Non sono più accurate quando consideriamo
– raggi con grandi angoli rispetto all’asse
– raggi lontani dall’asse
– luce non monocromatica per elementi ottici rifrattivi
• Questo fenomeno ha diversi aspetti, chiamati
nell’insieme aberrazioni
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Tipi di elemento ottico
• Una superficie di uno strumento che presenta solo
riflessione e` detta superficie catottrica o specchio
• Una superficie di uno strumento che presenta
rifrazione e` detta superficie diottrica o diottro
• Le superfici rifrangenti presentano anche riflessione,
ma in approssimazione parassiale (piccoli angoli di
incidenza) l’onda riflessa ha intensità piuttosto
piccola e viene trascurata (o considerata parassita)
• Una lente è l’insieme di due diottri
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Formazione delle immagini
• Studieremo dapprima la formazione
dell’immagine per un punto sull’asse
• In un secondo momento studieremo cosa
succede per un punto fuori asse
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Formazione delle immagini
• Dopo aver interagito con un elemento ottico i raggi
possono convergere sul punto immagine, e
raggiungerlo
• Dopo di che ne divergono come se l’immagine fosse
un oggetto e non è possibile distinguere la luce
proveniente da un’immagine da quella proveninente
da un oggetto
• L’immagine di un elemento ottico diventa così
l’oggetto dell’elemento successivo
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Specchio concavo (1)
• Cerchiamo l’immagine Q di un punto oggetto P giacente
sull’asse a sinistra di C
• Consideriamo un raggio (luminoso) PN emesso da P e
incidente sul punto N dello specchio
• Tracciamo il raggio (geometrico) CN dal centro dello specchio
a N: l’angolo PNC e` l’angolo d’incidenza i
• Il raggio PN viene riflesso secondo l’angolo di riflessione
CNQ=r
N
ir
P
C
Q
V
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Specchio concavo (1)
• Con riferimento alla figura, abbiamo le seguenti due
uguaglianze geometriche q i a
q ' a r
• Sommando membro a membro ed eliminando i ed r
q q ' 2a
• Esprimiamo le tangenti degli angoli
tgq NH PH
tga NH CH
N
ir
q
P
a
C
Q
q’
H V
tgq ' NH QH
• Diciamo y la distanza trasversale
NH
• o la distanza dell’oggetto dal
vertice
• i la distanza dell’immagine dal
vertice
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Specchio concavo (1)
• Nell’approssimazione di Gauss le tangenti sono assimilabili
agli angoli, HV ~ 0 e quindi
q tgq y / o
• E sostituendo in
a tga y / R
q q ' 2a
q ' tgq ' y / i
otteniamo
1 1 2
o i R
Il valore di i non dipende dal
particolare raggio, ovvero da
q o y, quindi si ha stigmatismo
N
P
C
V
Q
o
R
i
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Stigmatismo approssimato
• Se non facessimo approssimazioni, detto x
• otterremmo
HV R1 cos a
y
y
1 2tgatgq tg 2a
i
x
x y
R1 cosa
2
tgq '
tg 2a q
2tga tgq tg atgq
• E siccome
tga y ( R cosa ) otteniamo cosa 1 y R
2
2
• E infine
y R
1 2 1
2
y
R o
i
R 1 1
2
2 1 y 1
R
R o R o
• Poiche’ la posizione dell’immagine dipende da y, non avremmo
stigmatismo
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• L’AG consiste nel fermarsi al primo ordine in y,
i
2 1
ottenendo cosi’ stigmatismo approssimato
R
o
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Fuoco
• Se facciamo tendere P all’infinito (o ) il raggio PN diventa
parallelo all’asse e il raggio riflesso interseca l’asse in un punto
F detto fuoco
• Dall’eq. dello specchio ricaviamo
la posizione del fuoco (i = f)
R
f
2
N
V
C
F
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Invertibilità dei raggi
• In ottica esiste il principio di invertibilità del raggio luminoso
(o cammino ottico), secondo cui invertendo il verso di un
raggio, si ottiene ancora un possibile raggio
• Applicato al caso precedente possiamo allora affermare che
un raggio emesso dal fuoco viene riflesso parallelamente
all’asse
• Allora o = f e i
N
V
C
F
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Specchio concavo (2)
• Anche per punti oggetto P compresi tra C e F possiamo
ripetere la costruzione già vista e ottenere la stessa equazione
1 1 2
o i R
N
V
Q
C
P
F
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Specchio concavo (3)
• Cerchiamo l’immagine Q di un punto oggetto P giacente
sull’asse a destra di F
• Il raggio riflesso e l’asse sono ora divergenti e non esiste un
punto in cui i raggi convergano
• Se prolunghiamo il raggio riflesso al di là dello specchio, esiste
però un’intersezione Q con l’asse che viene detta immagine
virtuale di P: non sono i raggi, ma i loro prolungamenti
geometrici che si incontrano
N
C
F P
V
Q
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Specchio concavo (3)
• In tal caso valgono le relazioni geometriche
q i a
r q 'a
• Sommando membro a membro e semplificando
q q ' 2a
• Come nel caso precedente approssimiamo l’angolo con la
ottenendo
tangente,
1 1 2
o i R
N
r
a
C
i
F P
q
V
q'
Q
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Immagini virtuali
• A differenza delle immagini reali, nelle immagini virtuali i raggi
luminosi non convergono in un punto e quindi non possono
essere raccolte su uno schermo
• Mediante un sistema ottico, possono però essere focalizzati su
uno schermo ove formano un’immagine reale
• Anche l’occhio può svolgere tale funzione, in questo caso lo
schermo è la retina dell’occhio
N
C
F P
V
Q
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Oggetti virtuali
• Supponiamo che un elemento ottico faccia convergere i raggi
che lo colpiscono
• Se questi raggi sono successivamente intercettati da un
secondo elemento ottico, l’immagine del primo elemento
puo` anche non formarsi
• Ciononostante l’immagine che si formerebbe può essere
considerata come un oggetto virtuale per il secondo elemento
ottico
• P. e. l’immagine creata da un elemento ottico convergente,
p.e. una lente, che cadesse dietro uno specchio, costituisce un
oggetto virtuale per lo specchio
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