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Gli insiemi Q e R
Le frazioni
A partire da N vogliamo costruire un nuovo insieme numerico nel quale sia sempre possibile eseguire
la divisione.
Per fare ciò dobbiamo introdurre il concetto di frazione.
Una frazione è un elemento del prodotto cartesiano N x N0, cioè è una coppia ordinata (a, b) con
b ≠ 0 che scriviamo nella forma
a
:
b
(a, b)
a
b
La frazione
a
rappresenta la divisione tra a e b se b ≠ 0
b
1
Gli insiemi Q e R
Le frazioni
Esistono frazioni diverse che esprimono la stessa quantità come ad esempio:
2
5
2
Diciamo che
5
4
10
è equivalente a
4
.
10
Per stabilire se due frazioni sono equivalenti si può ricorrere alla seguente regola:
La frazione
a
è equivalente alla frazione
b
c
se a  d = b  c
d
ESEMPIO
3
7
6
14
3  14 = 7  6
Prodotto incrociato
2
Gli insiemi Q e R
Definizione e caratteristiche
L’insieme delle frazioni può essere quindi suddiviso in tanti sottoinsiemi, ciascuno dei quali contiene tutte
e sole le frazioni equivalenti tra loro; chiameremo questi sottoinsiemi gruppi di equivalenza.
Si chiama numero razionale assoluto ogni sottoinsieme di frazioni equivalenti.
L’insieme dei numeri razionali assoluti viene indicato con Qa
La scelta della frazione rappresentante è arbitraria ma generalmente è comodo scegliere quella ridotta ai
minimi termini, cioè la frazione in cui il M.C.D. fra il numeratore e il denominatore è uguale a 1.
Per ridurre una frazione ai minimi termini si applica la proprietà invariantiva della divisione:
ESEMPIO
15
15 : 3
=
24
24 : 3
=
5
8
3
Gli insiemi Q e R
Rappresentazione
Anche l’insieme Qa può essere rappresentato su una semiretta orientata. Fissato un segmento a cui far
corrispondere il numero razionale 1, per individuare il punto a cui corrisponde, per esempio, il numero
3 ,
4
basta dividere il segmento unitario in 4 parti uguali e considerare il multiplo secondo 3 di una di queste parti.
6
8
3
4
0
1
Il punto che rappresenta la frazione 3 rappresenta anche tutte le frazioni ad essa equivalenti ( 6 , 9 …)
8 12
4
a si fa corrispondere il punto che si
b
ottiene dividendo il segmento unitario in b parti uguali e considerando il multiplo secondo a di una di
In generale, al numero razionale rappresentato dalla frazione
queste parti.
a parti
0
a
b
1
b parti
4
Gli insiemi Q e R
Dalla frazione al numero decimale
Oltre che in forma di frazione, un numero razionale si può rappresentare anche con una scrittura
decimale.
Per trasformare una frazione in un numero decimale basta dividere il numeratore per il denominatore.
Il numero decimale può essere:
• finito:
3
5
= 3 : 5 = 0,6
• periodico semplice:
• periodico misto:
14
= 14 : 3 = 4,6666… = 4,6
3
26
= 1,7333… = 1,73
15
periodo
antiperiodo
5
Gli insiemi Q e R
Dalla frazione al numero decimale
Enunciamo il seguente criterio:
• una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione
contiene solo potenze del 2 e/o del 5, dà origine ad un numero decimale finito;
• una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione
contiene almeno un fattore diverso da 2 e da 5, dà origine ad un numero decimale periodico.
ESEMPI
12
16
7
3
3
numero decimale finito
3 : 4 = 0,75
numero decimale periodico
7 : 3 = 2,3
4
6
Dal numero decimale
alla frazione generatrice
Gli insiemi Q e R
La frazione generatrice di un numero decimale finito si ottiene scrivendo al numeratore le cifre del
numero senza la virgola e al denominatore 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali.
ESEMPIO
7,5 =
75
10
=
15
2
La frazione generatrice di un numero decimale periodico è una frazione che ha per numeratore la
differenza tra il numero intero che si ottiene togliendo la virgola ed il numero intero che si ottiene
eliminando le cifre del periodo, e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante
sono le cifre dell’antiperiodo.
ESEMPI
2,24 =
1,73 =
224 – 2
99
173 – 17
90
=
=
222
99
156
90
=
=
74
33
26
15
7
Gli insiemi Q e R
Ordinamento
• Se due frazioni hanno uguale denominatore, la frazione maggiore è quella con il numeratore maggiore.
ESEMPIO
11
13
>
7
13
• Se due frazioni hanno denominatori diversi basta ridurre allo stesso denominatore e poi confrontare i
numeratori.
ESEMPIO
5
2
>
4
7
Infatti, riducendole a denominatore comune 14 = m.c.m. (2, 7)
35
14
>
8
14
• Per confrontare due numeri razionali assoluti basta confrontare due frazioni rappresentanti o le loro
forme decimali.
8
Gli insiemi Q e R
a
• ADDIZIONE
+
b
c
Operazioni
=
ad + bc
bd
d
Se b e d hanno divisori comuni il denominatore comune è il m.c.m. di essi.
ESEMPIO
3
+
4
• SOTTRAZIONE
1
9+2
=
12
6
a
b
c
−
=
=
11
12
ad − bc
con
b
bd
d
a
≥
c
d
ESEMPIO
7
3
−
1
6
=
14 − 1
6
=
13
6
9
Gli insiemi Q e R
• MOLTIPLICAZIONE
a

b
ESEMPIO
ac
=
bd
d
a
8
:
b
4
5
5

3
ESEMPIO
c
1
2
• DIVISIONE
Operazioni
:
c
3
12
4
a
=

b
d
8
5
=
=
4
5
d
d
c
c
1

3
82
=
reciproco di
c
con c ≠ 0
d
3
10
10
Gli insiemi Q e R
n
a
• POTENZE
=
b
ESEMPIO
4
0
an
a
con
bn
b
4
2
3
Operazioni
=
9
1
16
2
=
= 1 e 0 0 non ha significato
0
1
3
16
8
= 1
11
Gli insiemi Q e R
Rapporti e proporzioni
Si dice rapporto fra due numeri a e b, con b ≠ 0, il quoziente della loro divisione.
Si dice che quattro numeri a, b, c, d, sono in proporzione se il rapporto fra i primi due numeri è uguale al
rapporto fra i secondi due:
a
b
=
c
con b ≠ 0 e d ≠ 0
d
conseguenti
antecedenti
a:b=c:d
medi
estremi
12
Gli insiemi Q e R
Rapporti e proporzioni
Proprietà delle proporzioni
• Proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
ad
a:b=c:d
bc=ad
bc
• Proprietà del permutare: scambiando fra loro i medi, oppure gli estremi, la relazione che si ottiene è
ancora una proporzione.
a:b=c:d
a:c=b:d
d:b=c:a
13
Gli insiemi Q e R
Rapporti e proporzioni
• Proprietà dell’invertire: scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, la relazione che
si ottiene è ancora una proporzione.
a:b=c:d
b:a=d:c
• Proprietà del comporre: in ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo (o al
secondo) come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto).
a:b=c:d
si sommano
(a + b) : a = (c + d) : c
(a + b) : b = (c + d) : d
• Proprietà dello scomporre: in ogni proporzione, la differenza dei primi due termini sta al primo (o al
secondo) come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto).
a:b=c:d
si sottraggono
(a - b) : a = (c - d) : c
se
a>b
e
c>d
(a - b) : b = (c - d) : d
14
Gli insiemi Q e R
Rapporti e percentuali
• Se in una proporzione c’è un termine non noto, lo si può determinare applicando la proprietà
fondamentale.
ESEMPIO
15 : 8 = 6 : x
15x = 48
x=
48
15
=
16
5
• Per calcolare il termine incognito (medio proporzionale) in una proporzione continua (con i medi uguali)
a : x = x : b si applica la stessa proprietà: x2 = ab x = √ab
ESEMPIO
45 : x = x : 5
x = √45  5 = 15
• Percentuale: è un modo diverso di esprimere una frazione decimale
ESEMPIO
15
100
15
Il 15% di 2400 è 2400 
= 360
100
15% equivale a
15
Gli insiemi Q e R
Definizione e caratteristiche
• Numero razionale relativo: numero razionale assoluto preceduto dal segno + o − (il segno + può
essere sottinteso).
Q+ : insieme dei numeri razionali positivi
• Q = Q+ U Q− U {0}
dove
Q− : insieme dei numeri razionali negativi
• Q0 = Q+ U Q−
• Rappresentazione sulla retta orientata dei numeri.
−
−
3
1
8
3
−
−
2
1
3
2
−
−
1
1
1
2
+
0
1
1
4
+
+
1
1
4
3
+
+
2
1
7
3
+
3
1
16
Gli insiemi Q e R
Caratteristiche
• Numeri concordi: numeri con lo stesso segno.
Es. +
3
2
e +
1
3
• Numeri discordi: numeri con segno opposto.
Es. −
1
4
e +
3
5
=
3
5
• Valore assoluto o modulo di un numero razionale: numero razionale
assoluto ad esso corrispondente.
• Numeri opposti: numeri con lo stesso valore assoluto ma discordi
Es. −
Es. −
3
8
3
5
e +
3
8
17
Gli insiemi Q e R
Operazioni
• L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e l’elevamento a potenza vengono definite in
Q con regole analoghe a quelle introdotte in Qa e, quanto riguarda i segni, in Z.
• In Q può essere introdotta la potenza con esponente negativo:
se l’esponente di una potenza di base non nulla è un numero intero negativo, si calcola la potenza ad
esponente positivo del reciproco della base:
n
a-n =
1
a
con
n>0
e a≠0
Possiamo allora dare la definizione completa di potenza:
dato un numero razionale a ed un numero intero n ≠ 0, si dice potenza n-esima di a, e si scrive an:
• Il prodotto di n fattori uguali ad a se n ≥ 2
• Il numero a stesso se n = 1
• Il numero 1-n se n < 0 e a ≠ 0
a
• Si pone poi a0 = 1 se a ≠ 0 e non si attribuisce significato alla scrittura 00
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Gli insiemi Q e R
Operazioni
Tabella di riepilogo delle operazioni negli insiemi numerici
OPERAZIONE
CARATTERISTICHE E PROPRIETÀ
Addizione
• è un’operazione interna a qualsiasi insieme numerico
• è commutativa e associativa
• ha elemento neutro: 0
• è invertibile in Z e Q e l’operazione inversa è la sottrazione
Sottrazione
• è un’operazione interna a Z e Q, non sempre è possibile in N e Qa
• possiede la proprietà invariantiva
Moltiplicazione
• è un’operazione interna a qualsiasi insieme numerico
• è commutativa e associativa
• è distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione
• ha elemento neutro: 1
• è invertibile in Q0 e l’operazione inversa è la divisione
Divisione
• è un’operazione interna a Q, non sempre è possibile in N e Z
• possiede la proprietà invariantiva
• è distributiva solo a sinistra rispetto all’addizione e alla sottrazione
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Gli insiemi Q e R
Definizione e caratteristiche
• Numeri irrazionali: numeri decimali illimitati non periodici
L’insieme dei numeri razionali e quello dei numeri irrazionali sono disgiunti e la loro unione dà origine
all’insieme dei numeri reali. Un numero reale è quindi un numero che è razionale o irrazionale.
L’insieme dei numeri reali si indica con R.
L’insieme R può essere rappresentato su una retta orientata ed esiste una corrispondenza biunivoca tra i
punti di tale retta e i numeri reali. Questa proprietà dei numeri reali è nota come “assioma di continuità
della retta”.
20
Gli insiemi Q e R
Notazione scientifica e ordine di grandezza
Nei calcoli scientifici, dove si deve lavorare spesso con numeri molto grandi oppure molto piccoli, si usa
una notazione particolare che utilizza le potenze del 10.
Questo modo di scrivere i numeri prende il nome di notazione scientifica.
Un numero è in notazione scientifica se è scritto nella forma
a  10k
dove a è un numero reale con una sola cifra diversa da zero prima della virgola e k è un numero intero.
ESEMPI
3 280 000 000 000 si può scrivere come 3,28  1012
(basta spostare la virgola a destra di 12 posti per avere il numero dato.
0,000000067 si può scrivere come 6,7  10−8
(basta spostare la virgola a sinistra di 8 posti per avere il numero dato.
21
Gli insiemi Q e R
Notazione scientifica e ordine di grandezza
Di un numero reale scritto in notazione scientifica si definisce poi l’ordine di grandezza come la potenza
di 10 più vicina al numero:
10k
se |a| < 5
Ordine di grandezza di a  10k è
10k+1 se |a| ≥ 5
ESEMPI
2,4  103
ha ordine di grandezza 103
5,6  10−4
ha ordine di grandezza 10−3 (l’esponente è −4 + 1)
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Gli insiemi Q e R
TABELLA RIASSUNTIVA SUGLI INSIEMI
• Insieme infinito che ha come primo elemento 0, non esiste ultimo elemento: 0, 1, 2, …
N
• È un insieme discreto.
• Le operazioni interne sono: - l’addizione
- la moltiplicazione
• Insieme infinito che non ha né primo né ultimo elemento: … −2, −1, 0, +1, +2, …
• È un insieme discreto.
Z
• Le operazioni interne sono: - l’addizione e la sua inversa sottrazione
- la moltiplicazione
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Gli insiemi Q e R
•Insieme infinito che non ha né primo né ultimo elemento: i suoi elementi si possono esprimere
come frazioni oppure come numeri decimali finiti o periodici.
Q
•È un insieme denso
•Le operazioni interne sono: - l’addizione e la sua inversa sottrazione
- la moltiplicazione e la sua inversa divisione
• Insieme infinito che non ha né primo né ultimo elemento; i suoi elementi sono i numeri razionali e
irrazionali
R
• È un insieme continuo
• Si possono eseguire tutte le operazioni ad eccezione dell’estrazione di radice di indice pari di un
numero negativo
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Gli insiemi Q e R
Grafici di funzioni
Ogni funzione y = f (x) può essere rappresentata graficamente in un piano cartesiano mediante l’insieme
dei punti di coordinate (x, y) che si ottengono attribuendo a x un valore del dominio e calcolando il
corrispondente valore di y.
• Funzione di proporzionalità diretta: y = kx
Retta passante per l’origine.
• Funzione di proporzionalità inversa: y =
k
con k ≠ 0
x
Iperbole equilatera.
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Gli insiemi Q e R
Grafici di funzioni
• Funzione di proporzionalità quadratica: y = kx2
Nella figura sono rappresentate:
y = x2
(in giallo)
y=−
1 2
x (in rosso)
2
Parabola con vertice nell ’ origine,
simmetrica rispetto all’asse y.
26