OTTAVIO SERRA
Leggi lineari in
fisica
Cosenza 2012
1
« La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che
continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico
l'universo), ma non si può intendere se prima non
s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne'
quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i
caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche,
senza i quali mezzi è impossibile a intenderne
umanamente parola; senza questi è un aggirarsi
vanamente per un oscuro laberinto. »
(Galileo Galilei, Il Saggiatore, Cap. VI)
2
In piccolo tutte le curve
(buone) sono diritte
e tutte le superfici (buone)
sono piatte!!!
Che significa? Ne parleremo
dopo.
3
Allungamento di una molla
Legge di Hooke dell’allungamento elastico.
P k.l
ΔP è la forza esterna che provoca
l’allungamento (o la
compressione), forza peso,
muscolare, elettrica …, Δl
l’allungamento, cioè la variazione
di lunghezza l – l0.
4
Man mano che la molla si
allunga, reagisce con una forza
(elastica) di richiamo sempre
più forte che alla fine equilibra
ΔP: F = - ΔP. Se chiamo x
l’allungamento della molla,
avremo
ΔP = k.x ed F = -kx.
Vediamo degli esempi.
5
La prima molla si è allungata di più perché
il peso che la stira è maggiore (Le due
molle sono identiche).
6
7
Esempio numerico
N.B. x è l’allungamentoΔl
8
A occhio, quale grafico si
riferisce alla prima molla?
9
I grafici sono lineari (nei limiti degli errori di misura). Calcolare
il valore medio della costante elastica (in N/cm) e lo scarto
quadratico medio σ per ciascuna molla . Formule:
k1 k2 ... kn
k
n
(k1 k ) (k2 k ) ... (kn k )
n
(radice quadrata del valor medio dei quadrati degli scarti!!!). Però!!!
2
2
2
Perché non si può usare lo scarto medio?
Perché almeno non si usa lo scarto assoluto medio?
I valori di k per la prima molla sono 0,192; 0,192;
0,195; 0,198; 0,198.
Verificare che per la prima molla si ha k 0,195 N
/ cm
e σ =0,003 N/cm
10
“Nota tecnica: il valor medio degli scarti è
sempre zero (provare!) e perciò non serve.
Il valore assoluto è una funzione non buona” (è
appuntita, “non derivabile” dicono i matematici) e
perciò poco maneggevole; il quadrato è invece
una funzione “buona” e maneggevole.
11
Anche la dilatazione termica di un filo metallico è
lineare, cioè l’allungamento è proporzionale alla
(prima potenza della) variazione di temperatura
(temperatura finale meno temperatura iniziale).
E Newton aveva trovato che il calore irradiato da
un corpo è proporzionale alla differenza di
temperatura tra il corpo e l’ambiente. Anche la
corrente elettrica in un filo conduttore è
proporzionale alla tensione applicata ai suoi
estremi!
Possibile che tutte le leggi relative al
comportamento della materia siano lineari, leggi di
proporzionalità? Non
può essere vero!
12
Supponiamo di avere una molla d’acciaio lunga, a riposo, 20 cm e
che la sua costante elastica sia k=10 N/cm (la molla si allunga di 1
cm se la forza applicata è circa un chilo). Se applichiamo 2 chili, la
molla si allunga di 2 cm e con 5 chili l’allungamento è di circa 5 cm.
Ma con 1000 chili la molla si allungherà di 1000
cm, cioè di 10 metri? E’
pazzesco, la
molla molto prima si deformerà
permanentemente, perderà le sue
caratteristiche elastiche, si
snerverà e finirà con lo
spezzarsi.
13
Analogamente, un filo di ferro riscaldato si allunga in
modo proporzionale all’aumento di temperatura, se
tale aumento non è molto grande, perché
altrimenti prima si rammollisce e poi fonde. Addio
proporzionalità!
E la corrente elettrica, al crescere della tensione
applicata, aumenterà sempre più lentamente (la
resistenza elettrica del filo aumenta con la
temperatura), il filo si scalda sempre di più e finisce
con lo spezzarsi nel punto dove raggiunge prima la
temperatura di fusione.
Ma allora, perché in piccolo, per piccole sollecitazioni,
la risposta è lineare?
Vediamo il grafico seguente.
14
Il grafico in blu potrebbe rappresentare
l’allungamento di una molla (in ordinata) in
funzione del peso (in ascissa). In rosso la tangente.
15
La curva nell’intorno del punto di ascissa 1 è ben approssimata
dalla tangente. In piccolo tutte le curve (buone) sono diritte, ogni
funzione (regolare) è approssimata, in un piccolo intervallo della
variabile indipendente, da una funzione lineare (di primo grado). E
siccome la retta è la più semplice delle curve, ecco spiegato perché
i fisici prediligono le leggi lineari (di primo grado).
16
Anche una superficie (Buona!) nell’intorno di un
suo punto è approssimata dal piano tangente,
tanto meglio quanto più piccolo è quell’intorno.
Per questo motivo la superficie della Terra, per
millenni, è stata considerata piatta.
17
E le leggi del moto?
Tutti conoscono la legge del
moto (rettilineo) uniforme:
s=v.t
18
Ma un grave cade con moto (rettilineo) uniforme?
Per Aristotele, sì: “Un grave cade con velocità costante, tanto maggiore
quanto maggiore è il peso”.
Ci volle Galilei per capire che i gravi cadono con moto uniformemente
accelerato. E’ Lui che introduce il concetto di accelerazione; nel caso dei
gravi v=g.t e lo spazio di caduta è
1 2
s gt
2
Il moto è “parabolico”.
L’accelerazione di gravità è
g=9,8
m
2
s
E nel disegno a
fianco quanto vale
l’accelerazione?
19
Ma come mai Aristotele, che era un grande genio, fece un un
simile errore? Aristotele era un buon osservatore, ma era
convinto che i fenomeni andassero studiati “al naturale”, senza
disturbarli. Inoltre senza strumenti è molto difficile notare
l’aumento di velocità al passare del tempo, specialmente in un
intervallo di tempo “piccolo”. E’ la solita storia: in piccolo tutte
le curve sono diritte.
Per esempio, nell’intervallo tra 1s e 2s
l’andamento parabolico differisce ben poco
dall’andamento lineare, per cui sembra che lo
spazio percorso sia proporzionale al tempo,
cioè che la velocità sia costante. E Galilei?
Usa il piano inclinato per rallentare in modo
noto l’accelerazione, e misura il tempo col
metronomo (Era musicista e figlio di
musicista). Con lui nasce il “metodo
sperimentale”.
20
La lineartà piace tanto che la imponiamo anche
quando il fenomeno è chiaramente non lineare. Si
vedano le due figure seguenti:
1 2
s gt
2
1
s g *u
2
{u t }
2
21
Tutti sanno che una data massa di gas, a
temperatura costante, esercita sulle
pareti del recipiente una pressione
inversamente proporzionale al volume, il
graficoo è un ramo di iperbole, ma se
usiamo la densità al posto del volume, il
grafico è rettilineo e l’uomo lo legge
meglio.
22
In un gas (perfetto), a tempertura costante, la
pressione è inversamente proporzionale al volume.
23
Ma se esprimiamo la pressione in funzione della densità, che
è inversamente proporzionale al volume, il grafico è rettilineo
e la lettura è più agevole.
24
Però la semplice legge p=k/V, oppure p=h*d, va
bene solo per alte temperature e grande volume o
per piccole variazioni di volume. Ecc0 come varia
p con V a varie temperature (per il biossido di
carbonio CO2)
La legge semplice va
bene solo se il gas è
caldo e rarefatto.
25
