RIFLESSIONI SULLA GEOMETRIA
Raffaello – L’Accademia di Atene- Euclide
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BREVE STORIA DELLA GEOMETRIA
-1850 : Papiro di Mosca. –1700 Papiro di Rhind
In Egitto e in Mesopotamia si conoscono il numero 'p greco', le quattro operazioni, le equazioni
quadratiche, il calcolo dell'area di quasi tutte le figure piane.
Tebe e Babilonia sono i principali centri di studio della matematica.
La maggior parte dei problemi sono di natura economica.
-600 Il greco Talete(624-546 circa) è considerato il fondatore della geometria. Sebbene non abbiamo
nessun documento certo, gli vengono attribuiti i teoremi sulla similitudine dei triangoli, in particolare
quello che porta il suo nome.
-500 Il greco Pitagora(580-497 circa) è il fondatore di una scuola matematica, filosofica e religiosa con
sede a Crotone. Nessun documento scritto ci è pervenuto di questo pensatore. Gli si attribuisce il
famoso teorema sui triangoli rettangoli che porta il suo nome.
-400 Il greco Ippocrate (460-377) scrive il primo trattato di geometria. Democrito (460-370), Eudosso
(408-353), Archita di Taranto risolvono importanti problemi di geometria e aritmetica. Zenone
enuncia i famosi paradossi.
I Greci raccolgono l'eredità dei matematici babilonesi ed egiziani e trasformano una collezione di
risultati empirici in una scienza organica. I due principali processi della organizzazione logica della
matematica sono l'astrazione (trarre un'idea generale dalla percezione di cose diverse) e la deduzione
(giungere da certe premesse a una conclusione in modo che non si possano trovare errori in alcuna
parte dell'argomentazione)
-300 Euclide organizza negli Elementi i teoremi di geometria e di teoria dei numeri ottenuti dalla
cultura matematica greca dell'epoca. Procede per definizioni, postulati e teoremi con una esposizione
che è rimasta classica per ogni tempo. Aristotele codifica le leggi del ragionamento logico
-200 Archimede di Siracusa (287-212) si occupa di aritmetica, algebra, geometria, fisica; risolve
importanti problemi sulle equazioni cubiche; anticipa il calcolo logaritmico e il calcolo integrale.
Ipparco (190-125) fonda la trigonometria piana e sferica. Apollonio studia le coniche. Eratostene
effettua la prima misurazione del diametro della Terra.
La matematica greca raggiunge il massimo sviluppo. Il centro della cultura matematica si sposta da
Atene ad Alessandria d'Egitto.
-100 Erone compie importanti studi di geometria e di fisica
100 Tolomeo nell'Almagesto tratta problemi di trigonometria piana e sferica.
500 Il latino Boezio compie ricerche di logica e geometria
1400-1500 Riscoperta dei classici ( Euclide, Archimede,Apollonio)- Galileo fonda la fisica classica su
basi geometriche
1600 Descartes pubblica il Discours de la méthode che contiene i fondamenti della geometria analitica
1800 Monge e Poncelet fondano la geometria descrittiva e la geometria proiettiva. Lobacevskij e
Bolyai, indipendentemente l'uno dall'altro, studiano una geometria che contraddice il postulato di
Euclide sulle parallele. Riemann fonda le geometrie,euclidee e non ,sul concetto di metrica. Boole
applica il calcolo algebrico alla logica. Cantor formula la teoria degli insiemi. Klein dà un quadro
completo, attraverso la teoria dei gruppi di trasformazioni delle varie geometrie sorte nell'Ottocento:
proiettiva, metrica, euclidea, ellittica, iperbolica, topologia.
I principali filoni di ricerca di questo secolo sono la teoria delle funzioni di variabile immaginaria, la
geometria proiettiva, le geometrie non euclidee, la teoria dei gruppi, il calcolo delle matrici.
1900 Hilbert dà una formulazione puramente assiomatica della geometria. Ricci-Curbastro e LeviCivita creano il calcolo differenziale assoluto, strumento utilizzato da Einstein per formulare la teoria
della relatività. Russell cerca di fondare la matematica su basi puramente logiche. Brouwer in
contrapposizione ritiene esclusivamente intuitivi i principi della matematica.. Mandelbrot espone lo
studio dei frattali, forme geometriche irregolari che appaiono simili se osservate su scale diverse
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La geometria è uno dei più importanti edifici concettuali sviluppati dall’uomo e, in
particolare , ha un posto di riguardo nella cultura occidentale . Per molti secoli
filosofi, poeti e scienziati videro nel rigore inesorabile del metodo geometrico il trionfo
della bellezza della ragione umana .
Già diversi secoli prima di Euclide, presso Egizi, Babilonesi, Indiani, una discreta parte delle proprietà geometriche
enunciate nei suoi Elementi erano utilizzate nella pratica, per misurazioni, costruzioni, studi astronomici, … . La fiducia
in queste proprietà era fondata essenzialmente o sulla loro evidenza (nei casi più "semplici") o su considerazioni
sperimentali.
Presso i Greci si incomincia a dare un'organizzazione razionale alle conoscenze geometriche, nell'ambito di una
speculazione filosofica sulla natura delle cose e, in particolare, dello spazio cosmico
Nei secoli successivi gli
Elementi sono stati oggetti di uno studio intenso soprattutto nel tentativo di dimostrare il V Postulato a partire dagli altri
assiomi o di sostituirlo con un altro postulato più evidente, ma si deve arrivare al seconda metà del XIX secolo perché si
comincino a costruire sistemi geometrici alternativi ( le Geometrie non euclidee). Deve infatti farsi strada l'idea della
geometria come studio degli spazi astratti, che usi definizioni e dimostrazioni che non ricorrano a concetti e
argomentazioni di "fisica".Un contributo in questo senso era già stato dato dall'ideazione della geometria analitica
(Cartesio e Fermat, XVII secolo), con cui erano stati fusi due metodi noti sin dall'antichità, l'impiego dell'algebra in
geometria e l'uso delle coordinate, per dare una definizione "numerica" dello spazio e dei concetti geometrici di base.
. È nella seconda metà dell'Ottocento che (in relazione all'estendersi degli ambiti di applicazione della matematica
conseguente agli sviluppi tecnologici e ai mutamenti nell'organizzazione economica) si precisa l'esigenza di dare una
fondazione autonoma alla matematica. Diventa man mano chiara la necessità di definire i modelli matematici
indipendentemente dai contesti, di usare linguaggi formali con una sintassi e una semantica più rigorose di quelle delle
lingue naturali, al fine di consentire l'applicazione della matematica ai più vari fenomeni, di rendere più controllabili le
dimostrazioni e, quindi, più sicuro l'impiego della matematica
Il problema dei fondamenti della Geometria è uno dei temi principali di ogni riflessione
filosofica della conoscenza. Tale fondamentale rilevanza filosofica non è venuta meno con la
crisi dell’euclideismo.
Se prima la validità assoluta del sistema euclideo aveva condizionato gli sviluppi della teoria
della conoscenza, in seguito si è continuato a guardare la Geometria come punto di
riferimento per meglio comprendere i rapporti tra matematica e scienze empiriche, tra
componenti empiriche e <<a priori>> nel discorso scientifico e anche per una descrizione
coerente dello spazio fenomenologico.
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Matematica e Filosofia nell’antichità classica
Il calcolo del volume di un tronco di . La geometria nasce come un’attività Inizialmente Talete e poi Pitagora ed altri
piramide nel “Papiro di Mosca”
essenzialmente
pratica:
Egiziani, filosofi greci cominciarono ad elaborare
Babilonesi ed altri popoli antichi sapevano
eseguire misure sul terreno, effettuare rilievi
topografici e risolvere semplici problemi
Anche i Greci conoscevano questa arte
pratica, ma come è ben noto i filosofi greci
non consideravano le arti pratiche degne di
molta considerazione. La loro grande
scoperta fu che la geometria poteva essere
considerata anche da un punto di vista
teorico e ciò si rivelò di estrema
importanza per la nascita della matematica
concetti astratti Di seguito le verità
riguardanti i punti, le linee e le superfici
furono organizzate in scala gerarchica, in
maniera tale che le verità meno evidenti
fossero la conseguenza logica di quelle più
semplici.
. Chi vuol diventare filosofo deve
consacrarsi
allo
studio
della
geometria, perché questo studio offre
quella disciplina che gli permetterà di
vincere le sue cattive inclinazioni e di
addestrarsi nell’attività del pensiero
astratto.
Nella filosofia di Platone la geometria è ritenuta l’espressione di una conoscenza
vera di un mondo non fisico e non mentale, un mondo oggettivo delle forme eterne
che la facoltà della ragione può conoscere a priori. Platone sostiene che questa
conoscenza è di grande valore perché essa tratta degli oggetti che non cambiano mai
e che hanno una natura assolutamente precisa, senza il carattere vago ed ambiguo
tipico degli oggetti fisici
“ Sai dunque altresì che [i matematici] si
valgono di forme visibili, e ragionano
intorno ad esse, non ad esse pensando, ma
Μηδείς
ai corpi di cui sono rappresentazione,
Άγεομέτρητος είσίτω
ragionando del quadrato in se stesso e della
diagonale in se stessa, e non di quello o di
quella che disegnano, e finalmente le figure
che essi formano o disegnano
(corrispondenti alle ombre e alle immagini
nelle acque) le usano come semplici
immagini, cercando di vedere
i loro
Una tradizione tardo - antica ci
originali, i quali non altrimenti si possono
tramanda che all' ingresso
dell' Accademia platonica c' era scritto vedere che mediante il discernimento”(
Platone – Repubblica)
: “ Non entri chi non conosce
la geometria " .
Se questo sia un' invenzione letteraria
o se corrisponda alla verità , noi non lo
sappiamo . E' comunque certo che il
motto rispecchia perfettamente il
pensiero platonico
Aristotele ebbe invece una concezione
della conoscenza di tipo empirista.
Si ispirò però ai metodi matematici per
fondare la sua “Logica”, che applica
all'ordinamento logico delle scienze :
definizioni che associano un nome a un
"ente", nel senso di cosa – oggetto o idea –
che esiste, che è "reale"; nozioni comuni (o
assiomi) che indicano alcuni principi
generali comuni a tutte le scienze;
postulati che indicano alcune proprietà
evidenti da cui si vogliono dedurre le altre
proprietà della scienza che si vuole
ordinare.
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L’ASSIOMATICA CLASSICA
Aristotele, con la sua Logica, pose le basi delle teorie assiomatiche
I filosofi greci avevano distinto l’opinione che, basandosi sull’evidenza dei sensi, può
essere fallace e la verità basata sul ragionamento intellettuale; avevano cercato quindi i criteri per
stabilire la demarcazione tra l’opinione (dóxa),la cui verità è contingente e instabile, e l’autentico
sapere (epistéme), la cui verità, necessaria e indubitabile, è garantita da processi razionalmente
fondati. Questa impostazione ha due importanti conseguenze nell’organizzazione classica del sapere
scientifico:
una teoria matematica è un sistema ipotetico-deduttivo che si basa su un insieme di concetti non
definiti, detti concetti primitivi, e un insieme di proposizioni primitive, dette assiomi, accettate
senza che ne venga data una dimostrazione. Tutti gli altri concetti della teoria devono essere
introdotti mediante definizioni e tutte le altre proposizioni della teoria, dette teoremi, devono essere
ottenute mediante dimostrazioni nelle quali si assumono come ipotesi solo assiomi o proposizioni
già precedentemente dimostrate.
1) La necessità di assumere concetti primitivi e assiomi deriva dal fatto che sia le definizioni sia le
dimostrazioni hanno un carattere “relazionale”: in una definizione un concetto nuovo viene definito
a partire da altri il cui significato è assunto come già noto e una dimostrazione mostra come una
conclusione deriva logicamente da altre proposizioni assunte come ipotesi.
Se si vogliono evitare circolarità o regressi all’infinito, occorre stabilire i punti di partenza, ossia i
concetti primitivi e gli assiomi, da cui iniziare il processo definitorio e dimostrativo.
A proposito degli assiomi, si era soliti suddividere le proposizioni primitive in due gruppi: i
postulati e le nozioni comuni (o anche semplicemente assiomi); i postulati enunciavano le proprietà
evidenti degli oggetti della teoria (e oggi sono detti assiomi specifici); le nozioni comuni stabilivano
proprietà di carattere generale, vere per qualsiasi ambito oggettuale e non solo per quello specifico
della teoria (e corrispondono,almeno approssimativamente, a quelli oggi detti assiomi logici).
2) per essere veritativo il discorso scientifico deve possedere un preciso contenuto oggettuale (solo
a proposito di determinati oggetti si può dire che una proposizione è vera);
3) gli assiomi, assunti senza dimostrazione, essendo i “garanti” della verità delle proposizioni
dell’intera teoria, devono essere “veri di per sé”: la loro verità deve essere intellettualmente
garantita al di là di ogni ragionevole dubbio.
Ricapitolando
Il sistema assiomatico è perciò un sistema di proposizioni vere, deduttivamente
concatenate e fondate su poche proposizioni la cui verità è evidente. Rigorosa struttura
deduttiva e verità delle proposizioni conferiscono al sistema assiomatico lo status di
epistéme
. I concetti primitivi sono concetti semplici, intuitivi, immediati che non hanno bisogno di
alcuna definizione.
Gli assiomi sono affermazioni vere, giuste evidenti. Essi sono i principi fondamentali di
una scienza perché sono più noti delle altre proposizioni; costituiscono non solo il punto di
partenza della catena deduttiva di una scienza, ma anche, con la loro verità, garantiscono
la verità di tutte le conseguenze logicamente dedotte.
Assiomi e concetti primitivi ci sono forniti dalla esperienza del mondo fisico anche se
possono essere soggetti ad idealizzazioni.
Questa concezione, chiamata della “Assiomatica classica” è stata universalmente accettata fino al
secolo XIX.
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LA GEOMETRIA EUCLIDEA
Verso la fine del quarto secolo a. C. si ebbe in Grecia ,ad opera di Euclide, il periodo più
significativo ed esaltante del processo di razionalizzazione della Geometria che era iniziato
circa tre secoli prima con Talete
Euclide nella sua famosa opera, Gli Elementi, sintetizzò in maniera sistematica, secondo i canoni
della logica aristotelica, tutte le conoscenze teoriche della geometria greca. Per duemila anni questo
testo rimase insuperato e venne considerato, per il suo rigore, come un modello esemplare per la
formulazione di una qualunque scienza .
La Geometria , con le sue leggi incontestabili, si impone come emblema della verità e della
certezza.
Questa imponente costruzione concettuale pone però due interessanti problema di carattere
epistemologico che riguardano il tipo di esistenza degli enti matematici il valore della verità delle
proposizioni.
Gli enti matematici hanno una esistenza propria, indipendente dalla nostra mente, oppure
esistono solo nella nostra mente? Noi ci limitiamo a scoprire gli enti matematici oppure ne
siamo i creatori?
Cosa garantisce la verità degli assiomi?
E inoltre le verità matematiche hanno solo un valore di correttezza sintattica o hanno un valore
semantico ( descrivono la realtà fisica e sono quindi suscettibili di verifica sperimentale)?.
In sostanza lo spazio geometrico coincide con lo spazio fenomenologico?
E’ palese l’analogia con i quesiti che stanno alla base della teoria filosofica della conoscenza
Da dove provengono le cognizioni ?
In che rapporto stanno la mente e le cose, il pensiero e l’essere ?
Quali relazioni sussistono fra i sensi e la ragione ?
Che valore hanno i concetti ?
Quali sono le garanzie di un sapere vero ?
IL PARADIGMA EUCLIDEO
Ancora oggi le risposte ai precedenti quesiti si intrecciano con l’evoluzione delle principali
correnti di pensiero ( nominalismo, concettualismo,razionalismo, idealismo, empirismo,
formalismo,logicismo) e si collegano al problema della natura dello spazio fisico e dei metodi di
indagine scientifica
Fino al secolo XIX resta comunque valido quello che potremmo definire paradigma euclideo,
fondato su una concezione assiomatica di tipo contenutistico con le seguenti caratteristiche :
1) i concetti primitivi sono evidenti e le proposizioni prime sono immediatamente vere ( criterio di
verità)
2) l'evidenza ai concetti derivati è trasmessa tramite la definizione, la verità alle proposizioni
derivate ( teoremi) è trasmessa tramite la dimostrazione
3) La Geometria fornisce una descrizione corretta delle proprietà dello spazio fisico e delle figure
geometriche esso contenuto, le quali a loro volta sono le idealizzazioni dei corpi materiali.
(E’ evidente l’influsso della filosofia platonica oltre che di quella aristotelica con riferimento alla
logica)
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LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
C’era nell’imponente edificio della Geometria euclidea un punto debole: il V postulato, che
Euclide formula nella forma seguente:
“Se due linee rette sono tagliate mediante una terza e formano da una stessa parte angoli interni la
cui somma è minore di due angoli retti e se sono prolungate da tale parte allora esse si incontrano”
Lo stesso Euclide deve essersi reso conto della <<stranezza >> di questo postulato , visto che negli
Elementi lo utilizza solo quando è strettamente necessario .
Colpisce infatti la complessità di questa proposizione, molto diversa dagli altri postulati tanto da
sembrare piuttosto un teorema, anche per la struttura della sua formulazione.( la proposizione
inversa è peraltro un teorema)..
Inoltre non è << evidente>> , né immediatamente intuitivo .
Per diversi secoli i matematici coltivarono la convinzione che il V postulato dipendesse dagli altri
quattro che lo precedono e che pertanto si potesse dimostrare come un teorema. I tentativi furono
numerosi, il più espressivo tra questi è quello del matematico italiano Gerolamo Saccheri. Tutte le
dimostrazioni, però, facevano passare, per così dire "tacitamente", ammissioni che poi si rivelarono
equivalenti al postulato stesso.
In pratica si ottennero solo formulazioni più <<semplici>> del V postulato.
John Playfair (1748-1819) elaborò quella che forse è la versione più conosciuta del quinto
Postulato:
Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, esiste ed è unica una retta passante per il
punto e parallela alla retta data
Tra il 1829 il matematico russo Nikolay Lobacevskij, e, autonomamente, il matematico ungherese
Janos Bolyai ebbero il coraggio di affrontare il problema su strada opposta: proposero una
geometria ( la Geometria iperbolica) nella quale fosse contemplata, in sostituzione del quinto
postulato di Euclide, una diversa asserzione sul parallelismo tra rette. Poiché una tale geometria si
rivelò altrettanto razionalmente logica di quella di Euclide, e quindi del tutto accettabile, il 1829
segnò la nascita delle cosiddette "Geometrie non Euclidee" e nel contempo la conferma che il V
postulato è veramente un postulato in quanto indipendente dalle altre asserzioni primitive che lo
precedono.
Nel 1854 anche B. Riemann pubblicò un’opera ,”Sulle ipotesi che stanno alla base della
geometria”, in cui non solo introduce un'altra geometria non euclidea ( Geometria ellittica), ma
rivoluziona la scelta dell’oggetto della Geometria, non più lo spazio fisico ma gli insiemi di
ennuple ordinate di numeri reali o complessi ( varietà)
La scoperta delle Geometrie non euclidee mette in discussione quindi il paradigma euclideo e
genera una vera e propria rivoluzione nel pensiero filosofico e scientifico, induce una revisione
critica dei fondamenti della Geometria , del suo valore conoscitivo, del suo rapporto con la realtà
fisica.
Il primo importante risultato è una distinzione tra geometria <<matematica>> (sistema ipoteticodeduttivo) e geometria <<fisica>> (scienza dell’estensione) .
Per la prima si presentò la necessità di una revisione rigorosa dei fondamenti, per la seconda
un’ analisi approfondita del rapporto tra geometria ed esperienza.
.
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LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
In qualche ora libera sono talvolta tornato a riflettere su
un altro argomento che per me è già vecchio di quasi
quarant'anni; intendo parlare dei primi fondamenti della
geometria; non so se Le ho già parlato delle mie idee in
proposito. Anche su tale argomento ho ulteriormente
consolidato alcuni punti, e la mia convinzione che non sia
possibile fondare la geometria in modo interamente a
priori è divenuta se possibile, ancora più salda. Intanto
lascerò passare molto tempo prima di decidermi ad
elaborare per la pubblicazione le mie assai ampie
ricerche sull'argomento, e forse ciò non avverrà mai
durante la mia vita, perché temerei le strida dei Beoti
qualora volessi esprimere compiutamente le mie idee.
Lettera di Gauss a Bessel (27-gernnaio- 1829)
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
“.. Ho scoperto cose così belle che ne sono rimasto abbagliato.
Dal nulla ho creato un nuovo mondo..”
Da una lettera di Janos Bolyai al padre Farkas
“ "…se la cosa è perfettamente riuscita, è conveniente
Jànos Bolyai (1802-1860)
Farkas Bolyai
(padre di Janos)
affrettarsi a renderla di pubblica ragione per due motivi:
primo perché le idee passano facilmente da uno all'altro,
che in seguito le può pubblicare prima; in secondo luogo,
perché c'è anche qualche verità in questo fatto, che
parecchie cose hanno un epoca, nella quale esse sono
trovate nello stesso tempo in più luoghi, precisamente
come in primavera le violette da ogni parte vengono
alla luce..".
Da lla lettera di risposta di F. Bolyai figlio Janos
<<Nei concetti stessi [della geometria] non si racchiuda
ancora quella verità che si voleva dimostrare, e che può
essere controllata, in modo simile alle altre leggi fisiche,
soltanto da esperienze»
Lobacevskij N. I. (1793-1856)
<<È un errore confondere l'"illimitatezza" con l'"infinità" dello
spazio; il primo concetto è infatti relativo all'"estensione", cioè
è un concetto "qualitativo"; il secondo invece è relativo alla
"misura", cioè è un concetto "quantitativo". Sicché si può
ipotizzare uno spazio che sia insieme "illimitato" e "finito"; e
quindi una retta che sia, ugualmente, illimitata e finita. Nel
caso della retta, essa risulterà quindi "chiusa".>>
Riemann B. (1826-1866).
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GEOMETRIA E VERITA’
Sin dall’antichità a il sistema ipotetico-deduttivo è stato oggetto di critiche soprattutto da parte dei
filosofi empiristi e scettici ( Carneade, Sesto Empirico) . Le principali obiezioni erano:
I principi della dimostrazione sono ipotesi e per dar loro un fondamento occorrerebbe : o risalire
indietro all’infinito o presumere che vengano giustificate dalle conseguenze, ciò che costituisce
un circolo vizioso.
Se le premesse di un sillogismo derivano da un metodo induttivo, la deduzione che ne consegue
è solo una tautologia.
Attraverso la mediazione dei dibattiti medievali, la questione del rapporto tra conoscenza sensibile
e conoscenza razionale si ripropone in età moderna nel confronto tra due posizioni gnoseologiche
contrapposte: quella del razionalismo e quella dell'empirismo. Il primo considera i concetti come
"innati", cioè come patrimonio originario della mente, mentre il secondo fa derivare la conoscenza
intellettuale dall'esperienza.
Alla fine del Settecento, Kant tenta di conciliare questi due atteggiamenti sostenendo che nel
processo conoscitivo cooperano strutture innate della mente e dati empirici.
Nella Critica della ragion pura (1781), Kant classifica le regole formali del pensiero, distinguendo tra giudizi a
priori e empirici, che a loro volta si distinguono tra analitici e sintetici.
Giudizi a priori
analitici a priori
analitici o
semplicemente analitici
empirici
non esistono
sintetici empirici
o
semplicemente sintetici
I giudizi a priori sono indipendenti dall'esperienza e derivano dal pensiero in se stesso, si distinguono per la
loro necessità e universalità.
I giudizi empirici o a posteriori derivano dall'esperienza, pertanto non sono universali ma contingenti,
particolari, dipendono da fatti specifici.
I giudizi analitici sono quelli contenuti implicitamente nel soggetto di cui si parla, pertanto non ampliano la
nostra conoscenza.
I giudizi sintetici sono quelli che aggiungono al soggetto di cui si parla qualcosa che non era già pensato in
esso, pertanto ampliano effettivamente la nostra conoscenza
sintetici sintetici a priori
. Kant considerava le proposizioni della geometria giudizi sintetici a priori. Essi rappresenterebbero
una forma di conoscenza sicura e universale che arricchisce la nostra conoscenza su un dato oggetto e allo
stesso tempo non ha il carattere di imperfezione della conoscenza empirica.
Dunque, l’atteggiamento di Kant verso la geometria euclidea era inequivocabile: essa era
“conoscenza necessaria”, cioè conoscenza che assume rilievo per le cose esistenti ma indipendente
dall’ esperienza che di tali cose abbiamo.
La scoperta delle Geometrie non euclidee fa crollare questa certezza : i principi perdono il carattere
di verità evidente, garantita dall’intuizione .In particolare Riemann parla di <<ipotesi>> ed
Helmholtz di <<fatti>> che stanno alla base delle costruzioni geometriche e che sono dettati da
considerazioni empiriche o necessità teoriche e non più dalla semplice intuizione.
L’unica certezza che ci si può aspettare è quella che deriva dalla non contradditorietà , una certezza
quindi di carattere logico .
Non solo la necessità e l’univocità dei concetti geometrici diventavano di fatto insostenibili, ma
veniva meno il più che millenario dominio della Geometria quale punto di riferimento per la quasi
totalità dei concetti matematici.
Lo sviluppo dell’Algebra, la nascita della Logica moderna, l’accentuato processo di rigorizzazione
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dell’Analisi, portarono nel corso del XIX secolo, ad un mutamento radicale della ricerca
matematica e dei suoi rapporti con la filosofia.
In questa atmosfera si situa la costruzione della teoria degli insiemi di Cantor e la revisione dei
fondamenti della geometria, ma anche dell’intera assiomatica, che fa Hilbert. ( Fondadamenti della
Geometria- 1900)
Nel XX secolo si assiste al nascere di correnti di pensiero, come il formalismo, dello stesso Hilbert,
il logicismo , di Bertrand Russell, lo strutturalismo del gruppo Bourbaki. Orientate in senso
astratto, allontanando sempre di più i concetti matematici dalla realtà fisica.
L’ASSIOMATICA MODERNA
Nasce così il metodo assiomatico moderno che non accetta più l’identificazione della verità di un
asserto con la sua dimostrabilità, non fa più ricorso all’evidenza per scegliere gli assiomi e non si
pone più il problema della verità degli assiomi stessi
1)I concetti primitivi sono enti del pensiero non definiti;
Gli assiomi non sono più verità primitive indimostrabili, ma semplici ipotesi relative ai concetti
primitivi , senza nessun necessario riferimento intuitivo, ed hanno unicamente la funzione di fornire
la base su cui verrà costruito il sistema di proposizioni e definizioni, successivamente dedotte per
via logica, che costituisce la geometria .
2)Il sistema degli assiomi deve avere le seguenti proprietà
Coerenza ( non contradditorietà)
Indipendenza ( nessun assioma può essere dedotto dagli altri)
Completezza ( il sistema di assiomi deve essere sufficiente per l’effettiva deduzione di tutte le
proposizioni ammesse entro una teoria.)
3)Siccome non interessa il loro significato, gli assiomi, come pure i concetti primitivi, possono
essere espressi semplicemente con dei simboli sui quali si può istituire un calcolo.
.4) Ad ogni interpretazione degli enti primitivi corrisponde un modello (concreto) della teoria
assiomatica (di per se' astratta, formale). Non esiste un modello unico e nemmeno un modello
privilegiato
Se l'assunzione del metodo assiomatico moderno comporta la perdita dell'unità: non esiste più la
Matematica, ma esistono le Matematiche (come non c'è più la Geometria, ma le Geometrie), apre
d'altro canto nuovi vastissimi campi di ricerca e quindi nuove prospettive di progresso sia del
pensiero
.
A – Libertà nella scelta degli assiomi. Non essendo più legato all’evidenza, il matematico, fra tutte
le proposizioni di una teoria, può scegliere come assiomi quelle che meglio crede lasciandosi
guidare dalla sua intuizione, dal senso estetico, da motivi pratici
B_Siccome si prescinde dal “contenuto” degli assiomi e dalla “natura” dei concetti primitivi, un
sistema assiomatico non è più legato ai “fatti” da cui ha tratto origine, ma può essere applicato a
situazioni molto diverse. Così, per esempio, gli assiomi che definiscono un gruppo riescono a
descrivere e a padroneggiare insiemi finiti e insiemi infiniti, numeri, funzioni, trasformazioni
geometriche, ecc. Lo studio di ambienti geometrici ad una, due o tre dimensioni, una volta libero
da ogni riferimento sensoriale, viene generalizzato nella teoria degli iperspazi a n- dimensioni.
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GEOMETRIA NEL ‘900
Il gruppo Bourbaki
“ I matematici sono platonisti nei giorni di
lavoro e formalisti la domenica”
Congresso Bourbaki 1939
S. Weil, Ch. Pisot, A Weil, J. Dieudonné,
C. Chabauty, Ch Ehresmann, J. Delsarte
David Hilbert (1862- 1943)
“Si deve poter dire al posto di punti ,rette,
piani:
tavole , sedie, boccali di birra”
HermannWeyl(1885-1955)
Mathematics
may
be
defined as the
subject
in
which
we
never
know
what we are
talking about,
nor whether
what we are
saying is true.
“E’ certamente deplorevole che noi dobbiamo
occuparci così a fondo dell’aspetto puramente
Bertrand Russell (1872-1970):
“La matematica è quella scienza che non sa di formale e dedicargli tanto spazio…, ma ciò non
cosa parla, senza sapere se quello che dice è si può evitare. Come ogni linguaggio ed ogni
scrittura deve essere appresa prima di poterla
vero”
adoperare per esprimere liberamente il proprio
pensiero, così, anche in questo caso, l’unica via
per liberarci della pressione delle formule è
quella di impadronirci molto bene dello
strumento matematico per poter dedicarci ai
veri problemi che ci occupano”
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GEOMETRIA E FISICA
Anche quando aveva ormai perduto la sua connotazione di scienza pratica ( “misura della terra”),
la geometria è stata sempre considerata la prima rappresentazione del mondo fisico.
Su basi geometriche sono stati costruiti i primi modelli cosmologici, sul linguaggio geometrico si
basa la fisica galileiana, carattere geometrico ( euclideo) ha lo spazio assoluto di Newton,
l’immenso palcoscenico su cui avvengono i fenomeni naturali.
Indipendentemente dalla posizione filosofica ( platonista, empirista, kantiana) la corrispondenza tra
verità geometrica e realtà fisica non era mai posta in discussione, né si pensava di sottomettere le
proprietà delle figure geometriche al vaglio dell’esperienza.
Quando le geometrie non euclidee acquistarono dignità e validità sul piano logico, si cominciò a
mettere in discussione anche il primato della geometria euclidea nella capacità di adattarsi al
mondo fenomenico. La posizione kantiana , secondo cui gli assiomi della geometria esprimono
condizioni cui gli oggetti dell’esperienza devono necessariamente sottostare in quanto esprimono la
struttura del nostro <<senso esterno>>, perde di significato di fronte all’interrogativo: Quale
geometria descrive il mondo in cui viviamo?
Le prime risposte denotano una posizione decisamente empirista . Secondo Gauss e Lobacevskij
le verità geometriche non hanno validità assolute, ma possono essere controllate sperimentalmente,
come le leggi fisiche. Lo stesso Gauss, prima della pubblicazione del lavoro di Lobacevskij sulla
Geometria iperbolica, aveva tentato di verificare sperimentalmente la proprietà degli angoli
interni di un triangolo, la cui somma, nella geometria euclidea è pari ad un angolo piatto.
( triangolazione di Hannover) . Anche Lobacevskij provò un esperimento analogo con misurazioni
non geodetiche ma astronomiche ( triangolo avente per vertici la Terra, il Sole e la stella Sirio).
Inutile dire che nessuno dei due esperimenti forni’ un risultato pari esattamente a 180° e che la
discrepanza poteva essere attribuita agli errori di misura.
In ogni caso però i risultati non potevano essere decisivi. Infatti, notava lo stesso Lobacevskij, la
geometria iperbolica prevede chela somma degli angoli interni di un triangolo sia inferiore a 180° e
che il difetto angolare sia proporzionale alla lunghezza dei lati. Chi ci assicura pertanto che il
triangolo scelto sia <<abbastanza >> grande?
L’elemento problematico che rende discutibile questo empirismo geometrico fu colto però da
Helmholtz , sviluppato da Poincaré ed accettato in parte da Einstein e può essere così formulato:
Una geometria fisica presuppone che alla descrizione geometrica adottata corrispondano certe
assunzioni sugli oggetti utilizzati nell’esperimento ( per esempio le linee rette vengono
rappresentate da regoli supposti indeformabili o raggi luminosi che si ipotizza viaggino in linea
retta). Questa interdipendenza fa sì che, qualunque siano i risultati sperimentali, è sempre possibile
sostenere la validità di qualunque sistema geometrico, a patto di modificare le ipotesi ausiliarie.
Se , come nell’esperimento di Lobacevskij ,la somma degli angoli interni di un triangolo non risulta
uguale ad un angolo piatto possiamo indifferentemente concludere che
I raggi luminosi si propagano in linea retta e lo spazio non è euclideo
Lo spazio è euclideo, ma i raggi luminosi non hanno descritto una traiettoria rettilinea per
qualche causa fisica.
Con Poincaré si affaccia nel panorama epistemologico , accanto al kantismo e all’empirismo, una
terza posizione , il convenzionalismo, originariamente formulata per gli assiomi geometrici e in
seguito estesa anche ai principi generali della fisica.. Sia la geometria che la fisica derivano il loro
rigore di scienza dalla loro natura convenzionale. Il sitema ipotetico-deduttivo non avrà più una
funzione conoscitiva, ma avrà il compito di aiutare la ricerca, guidando lo scienziato nel distinguere
il percorso più comodo e più semplice e nella selezione degli assiomi più utili a fornire un
orientamento nel mondo dei fatti empirici.
La conclusione che Poincaré trae da queste considerazioni è che «gli assiomi geometrici non sono
dunque né giudizi sintetici a priori né fatti sperimentali: sono convenzioni. Con ciò la questione su
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quale sia la vera geometria del mondo fisico si dissolve. Essa, afferma Poincaré, «non ha alcun
senso». Ma se non esiste un criterio di verità in base al quale scegliere una geometria, in quanto non
ha senso parlare di verità relativamente a ciò che è puramente convenzionale, sì che «una geometria
non può essere più vera di un'altra», con quale altro criterio allora scegliere la geometria mediante
cui rappresentare lo spazio fisico? Salva la imprescindibile necessità di evitare ogni contraddizione,
la scelta della geometria -afferma Poincaré- è libera. Tuttavia, se una geometria non può essere più
vera di un'altra, può comunque essere più comoda, e da questo punto di vista la scelta ricadrà
sempre sulla geometria euclidea, sia perché è la più semplice sia perché si accorda bene con le
proprietà dei solidi naturali.
Einstein esprime il suo pensiero sui rapporti tra geometria e Fisica nella conferenza dal titolo
Geometria ed esperienza ( 1921). La sua affermazione:<<Nella misura in cui le proposizioni
matematiche si riferiscono alla realtà , esse non sono certe; e nella misura in cui esse sono certe, non
si riferiscono alla realtà>> è vicina al convenzionalismo, ma in seguito egli se ne discosta ed opta
per un criterio empirico nella scelta della geometria di Riemann nella Relatività generale.
L’originilità della posizione di Einstein si riscontra nella sua teoria della gravitazione .La geometria
dello spazio-tempo è determinata dalla presenza di masse, nel senso che il comportamento
geometrico dei corpi e la marcia degli orologi dipendono dai campi gravitazionali , i quali, a loro
volta sono prodotti dalla materia.
Anziché attraverso un'interazione di tipo attrattivo in uno spazio piatto come quello euclideo,
Einstein viene ad interpretare la gravitazione come il moto inerziale delle masse all'interno di un
tessuto spazio-temporale incurvato, nel quale la geometria euclidea non vale più. Due corpi quindi
si attraggono solo per una proprietà geometrica, perché cioè deformano lo spazio attorno a loro.
Anche la luce segue allora nella sua propagazione la curvatura dello spazio, e da questo Einstein
dedusse che le grandi masse devono essere in grado di attirare e di curvare anche i raggi di luce,
effetto che è stato verificato con un errore dell’ 1%.
La curvatura dello spazio influenza anche le orbite dei pianeti che non rimangono fisse nello
spazio, come nella teoria newtoniana. La spiegazione dello lo spostamento del perielio di Mercurio
fu il massimo risultato della teoria nuova della gravitazione
Con Einstein il legame Fisica-Geometria diventa quindi molto più profondo
Lo spazio ed i corpi immersi in esso non sono oggetti indipendenti. Lo spazio influisce su di essi
poiché vincola un corpo libero a muoversi lungo una geodetica, ma i corpi influiscono a loro volta
sullo spazio determinandone la curvatura. Si è soliti rappresentare questo fatto immaginando lo
spazio bidimensionale come un foglio elastico teso: se non vi sono masse appoggiate, il foglio è
piano .Se una massa viene però posta su di esso, lo spazio si incurva; altri punti materiali, che si
muovo su tale spazio, avvertono la presenza della massa tramite la curvatura dello spazio
circostante.
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GEOMETRIA E FISICA
Platone nel suo dialogo, Timeo, associa il tetraedro,
l'ottaedro, il cubo, e l'icosaedro rispettivamente a quelli che
erano allora ritenuti i quattro elementi fondamentali: fuoco,
aria, terra, e acqua. Il dodecaedro, non realizzabile
unendo opportunamente triangoli (come invece avviene
per gli altri poliedri citati), veniva invece associato
“e quando il dio cominciò ad ordinare l'universo, in
all'immagine del cosmo intero, realizzando la cosiddetta
principio il fuoco, l'acqua, la terra e l'aria, che pure
avevano tracce delle proprie forme, si trovavano in quella quintessenza
In epoca moderna Keplero (1531-1630)tentò di stabilire
condizione in cui è naturale che ogni cosa si trovi quando
ildio è assente. Essendo in tale stato, il dio allora li adornò una corrispondenza tra le orbite dei pianeti e le proprietà
dapprima di forme e di figure. E che il dio ordinò insieme geometriche dei cinque poliedri regolari, intercalando alle
sfere che contenevano l'orbita dei pianeti i cinque solidi
questi elementi, partendo da una condizione ben
diversa, nel modo più bello e più nobile possibile”
Platone- Timeo
Stampa antica con lo
schema del sistema tolemaico
All’incirca 150 anni dopo Cristo, il modello di Universo
venne sistemato e completato da quello che è considerato
l’ultimo dei grandi astronomi matematici greci, Claudio
Tolomeo. La sua opera, in tredici volumi, è conosciuta con
il nome di «Almagesto>>
In essa l’astronomo alessandrino forniva una
rappresentazione del Cosmo che potremmo così
sintetizzare: 1) l’Universo è finito ed eterno, limitato dalla
sfera delle stelle fisse che ruota intorno al proprio asse da
oriente ad occidente; 2) al centro vi è la Terra, sferica
anch’essa, che volge verso l’alto la parte abitata; 3) i
pianeti girano su sfere di cristallo intorno al centro
dell’Universo percorrendo gli epicicli a distanze tanto
maggiori quanto più lento è il loro movimento
Anche nel sistema copernicano, eliocentrico non
abbandona l'idea di un universo sferico finito, limitato
dall'ultimo cielo delle stelle fisse; le orbite erano ancora
rigidamente sferiche, ritenendo il moto circolare la
perfezione assoluta
“La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che
continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico
l’universo), ma non si può intendere se prima non s'impara
a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è
scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri
son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza
i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente
parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un
oscuro laberinto.”
Galileo Galilei, Il Saggiatore
Galileo Galilei(1564- 1642)
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“La nostra mente si è adattata per selezione naturale alle
condizioni del mondo esterno e ha adottato la geometria
più vantaggiosa per la specie, o, in altri termini, la più
comoda"
Henri Poincaré – La scienza e l’ipotesi
Henri Poincaré ( 1854-1912)
“ La maggior gioia che ho avuto è stata di ricavare
non solo la teoria di Newton come prima
approssimazione, ma anche il moto del perielio di
Mercurio come seconda approssimazione ( da una
lettera di Einstein a Sommerfield -1913)
Albert Einstein(1879-1955)
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GEOMETRIA E TRASFORMAZIONI
La scoperta delle Geometrie non euclidee è solo
un aspetto del processo di differenzazione che
si andava producendo all’interno della
Geometria.
Il matematico tedesco Felix Klein (18491925)colse l’esigenza di un paradigma unificante
e propose una concezione organica della
Geometria attuando una notevole convergenza
di correnti di ricerca rimaste fino a quel
momento senza relazioni, quali la geometria
proiettiva, lo studio delle trasformazioni , la
teoria dei gruppi.
Nel 1872, nel suo discorso inaugurale all'università di Erlangen., che diventerà famoso come il
"Programma di Erlangen", Klein descrive la geometria come lo studio delle proprietà delle figure,
aventi carattere invariante rispetto ad un particolare gruppo di trasformazioni.
Le diverse geometrie, la geometria euclidea, la geometria proiettiva, la geometria affine e le stesse
geometrie non euclidee - tutte apparentemente scorrelate - vengono unificate e classificate, secondo
l'insieme delle trasformazioni che lasciano invariate certe caratteristiche dei relativi spazi
geometrici. : la pluralità delle geometrie si giustificava con la pluralità dei gruppi di trasformazioni.
Le proprietà delle figure che hanno significato geometrico sono quelle invarianti rispetto al gruppo di trasformazioni
che caratterizza la geometria.
Il carattere di gruppo della classe di trasformazioni prescelte fa sì che le figure geometriche possano essere suddivise
in classi di equivalenza ( per esempio tutti i cerchi sono simili. Quindi equivalenti rispetto al gruppo delle similitudini,
mentre tutti i triangoli sono affini, quindi equivalenti rispetto al gruppo delle affinità etc)
In tal modo
Si ottiene una visione unitaria dei vari capitoli della geometria che si andavano sviluppando al
suo tempo e un legami fra i metodi di indagine geometrica ( analitico e grafico)
La Geometria ritrova una sua identità e una sua specificità dopo aver perduto la sua
caratteristica peculiare ( capacità di descrivere il mondo reale)
Si ripresenta in modo diverso il concetto di archetipo di una figura geometrica , non più idea
innata come nella concezione platonica o concetto astratto dal dato sensiibile, come nella
filosofia aristotelica, ma semplicemente la classe di equivalenza individuata dalla figura
rispetto alla corrispondenza considerata.
Infine è importante osservare come lo schema generale che Klein introduce nella classificazione
delle geometrie acquistò grande importanza nell’evoluzione del pensiero scientifico ed è lo
strumento concettuale di base per cogliere l'idea di relatività. Tutte le teorie della fisica hanno un
gruppo di invarianza, che caratterizza la loro validità in una classe più o meno ampia di sistemi di
riferimento, e quindi la loro indifferenza al sistema di riferimento: l'osservatore nel sistema di
riferimento O scrive esattamente le stesse leggi della fisica di quello che si serve del sistema di
riferimento O', purché O e O' siano collegati da una delle trasformazioni del gruppo di invarianza di
quella teoria. Il gruppo di invarianza della fisica aristotelica è il gruppo euclideo, mentre quello
della meccanica classica è il gruppo di Galileo. L'inizio dei guai della fisica classica alla fine
dell'Ottocento potrebbe essere caratterizzato dicendo che il gruppo di invarianza
dell'elettromagnetismo maxwelliano non è più il gruppo di Galileo, ma un gruppo di cui al tempo di
Maxwell non si sospettava ancora l'esistenza: si tratta infatti di quello che abbiamo chiamato il
gruppo di Poincaré o di Lorentz., che fu ufficialmente introdotto nella fisica solo con la relatività
speciale di Einstein.
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E per finire
GEOMETRIA E ARTE
Alberti divide l'intero spazio in modo tale che l'altezza
dell'edificio è pari alla sua larghezza, formando così un
unico vasto quadrato. La parte inferiore, divisa in due dal
portale, forma due quadrati, ciascuno dei quali ha una
superficie pari ad un quarto di quella del quadrato grande.
Il piano superiore è sormontato da un timpano triangolare
classico, ha esattamente le stesse misure dei due quadrati
della parte inferiore. Nel suo trattato Alberti allude spesso
alla necessità di proporzione armonica e semplice.
L.B. Alberti S-Maria Novella ( Firenze) 1456
Notiamo in questo quadro una rigorosa organizzazione
geometrica (circoli, triangoli, rettangoli e frammenti di
essi), che enfatizza la qualità e il senso intrinseco di ogni
elemento, in accordo con la sua collocazione: la linea
orizzontale emana un senso caldo; quella verticale, freddo;
il punto, silenzio e immobilità
Kandisky- Quadrato nero
(1923)
. La croce di Cristo è rappresentata come unn ipercubo di
uno spazio a quattro dimensioni, dispiegato in uno spazio
tridimensionale a formare un policubo a croce .
Dalì’ ha voluto così interpretare la morte di Cristo come
un evento avvenuto in una regione trascendentale rispetto
al nostro tempo e al nostro spazio tridimensionale
Dalì – Corpus
Hypercubus (1954)
Quest'immagine è una rappresentazione di uno spazio
iperbolico il cui modello è dovuto al matematico francese
Poincarè.. Poniamoci al centro del disegno e supponiamo
di voler camminare fino al bordo di esso. Mentre
camminiamo ci restringiamo sempre di più, proprio come
accade ai pesci della figura. Per raggiungere il bordo
quindi dovremmo percorrere una distanza che ci sembrerà
infinita, ma essendo immersi in questo spazio non ci parrà
subito ovvio che ci sia qualcosa di inusuale
Escher Limite del
cerchioIII
1958
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BIBLIOGRAFIA
GEYMONAT
L. Storia del pensiero filosofico e scientifico Garzanti
FRAJESE A. Attraverso la storia della Matematica Le Monnier
MARACCHIA S. La matematica come sistema ipotetico-deduttivo. Le Monnier
AGAZZI E. – PALLADINO D. Le geometrie non Euclidee e i fondamenti della matematica.
Arnoldo Mondadori Editore
Siti Web ( principali)www.. matematicamente.it
www.dm.unibo.it/matematica/Noneuclidea
http://matematica.unibocconi.it
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