Esercizi con soluzione
Probabilità e calcolo
combinatorio
Dado lanciato per 3 volte: probabilità uscita stesso numero per 3 volte
E1 = esce 6 p(E1)= 1/6
E2 = esce 6 p(E2)= 1/6
E3 = esce 6 p(E3)= 1/6
P(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) : P(E123) = p(E1)*p(E2)*p(E3) =1/6*1/6*1/6 = 1 / 216
Gioco con probabilità di vittoria 70% :giocando tre partite calcolare la
probabilità di vincere ( o mai )
p(E1) = 70% = 0.7
p(E2) = 70% = 0.7
p(E3) = 70% = 0.7
p(E1 ∩ E2 ∩ E3 ) = p(E1)*p(E2)*p(E3) = 0.7*0.7*0.7 = 0,343
p(E4) = 1 – 0.343 = 0.657
Si lanciano una moneta e un dado :calcolare probabilità di uscita :
croce e numero pari
testa e numero divisibile per 3
E1 = uscita croce p(E1)= 1 / 2
E2 = uscita testa p(E2)= 1 / 2
E3 = uscita numero pari (2, 4, 6) : p(E3) = 1 / 2
E4 = uscita divisibile per 3 (3, 6) : p(E4) =1 /3
p(E1 ∩ E3) = p(E1)*p(E3) = 1 / 2 * 1 / 2 = 1 /4
P(E2 ∩ E4) = p(E2)*p(E4) = 1 / 2 * 1 / 3 = 1 / 6
2, 4 , 6
(3 , 6)
Urna con 8 palline blu, 2 palline rosse
estrazione di una pallina e suo reinserimento nell’urna,per due volte
E1 = nessuna pallina rossa
E2 = due palline rosse
ER = esce pallina rossa (2/10) p(ER) = 1 / 5
NR = non esce pallina rossa (8/10) p(NR) = 4 / 5
E1 ..P(NR ∩ NR) = p(NR)*p(NR) = 4 / 5 * 4 / 5 = 16 / 25 = 0.64
E2…P(ER ∩ ER) = p(ER)*p(ER) = 1 / 5 * 1 / 5 = 1 / 25 = 0.04 = 4 %
t = numero eventi totale
p(E) = probabilità che si verifichi ( f = eventi favorevoli)
p(Ē) = probabilità che non si verifichi ( t – f = eventi sfavorevoli)
(= probabilità evento contrario complementare)
p(E) = f / t
p(Ē)= t – f / t = 1 – f / t = 1 – p(E) >>>> p(E) + p(Ē) = 1
La somma delle probabilità di due eventi contrari è uguale a uno
Lanciare un dado due volte( come lanciare due dadi insieme una volta)
(1,2,3,4,5,6)
Calcolare la probabilità che non esca mai un numero(es.6) : p(E)
Disposizioni con ripetizione Dn,k = n^k
Eventi favorevoli: coppie con (1,2,3,4,5)
eventi sfavorevoli: coppie con (6)
D5,2 = n^k = 5^2 = 25
D6,2 = n^k = 6^2 = 36
P(E) = 25 / 36
Lanciare un dado due volte:
calcolare la probabilità di uscita del numero 6 : p(E) o 5
La probabilità dell’evento contrario ( esce 1,2,3,4,5) è p(Ē) = 25/36
Perciò la probabilità dell’evento(6) p(E) = 1 – p(Ē) = 1 – 25/36 = 11 /36
La probabilità dell’evento contrario ( esce 1,2,3,4,6) è p(Ē) = 25/36
Perciò la probabilità dell’evento(5) p(E) = 1 – p(Ē) = 1 – 25/36 = 11 /36
Urna con 2 palline blu e 8 palline rosse(s=10): estrazione
contemporanea
di n palline ( 1 ≤ n ≤ 8) ( 1,2,3,4,5,6,7,8)
Calcolare probabilità di uscita di almeno una pallina blu: p(E)
p(E) = 1 – p(Ē)
Combinazioni possibili Cs,n = Cs,n = s! / (s-n)!n!=10!/ (10-n)!n!
Probabilità evento contrario (tutte rosse) : p(Ē)
Combinazioni possibili C8,n = n! / (8-n)!n! = 8! / (8-n)!n!
p(Ē) = 8! / (8-n)!n! / (10! / (10-n)!n!) =8!(10-n)! / 10!(8-n)! =
= (n^2 – 19n +90 ) / 90
p(E) = 1 – p(Ē) = n(19-n)/90
Per n = 4 >> p(E) = 4*15/90 = 2/3 = 0.66 66%
Per avere p(E) > 0.66 si deve risolvere il sistema(oppure usare excel…)
n^2 – 19n + 60 < 0
1≤n≤8
Risultato 4 < n ≤ 8
Eventi incompatibili e probabilità totale(unione)
Lancio di un dado (s = 1,2,3,4,5,6)
E1 = esce numero divisore di 3 (1,3) >>> p(E1) = 2/6 = 1 /3
E2 = esce numero maggiore di 3 (4,5,6) >>> p(E2) = 3/6 = 1 /2
E3 = esce numero diverso da 2 (1,3,4,5,6) >>>p(E3) = 5/6
E3 = esce numero divisore di 3 o > di 3 (1,3,4,5,6) >>> p(E3)=5/6
E = E1 U E2 >>> p(E) = p(E1) + p(E2)=1/3 +1/2 = 5 /6 >>> unione
E1 ∩ E2 = Ø >>> incompatibili
45
6
1 3
2
Lotteria : s=90 ( 45 pari, 45 dispari) >>> 1,2,3……89,90)
E = uscita numero pari o 1,3,5
E1 = uscita numero pari (45) >> p(E1) = 45/90 = 1 /2
E2 = uscita numero 1 o 3 o 5 (3) >>> p(E2) = 3/90 = 1 / 30
E1 ∩ E2 = Ø incompatibili
pari
dispari
E = E1 U E2 >>> p(E) = p(E1) + p(E2) = 1 / 2 + 1 / 30 = 8 / 15 unione
Esempio con soluzione mediante uso di formule o di tabella
cartesiana
Urna contenente 2 palline blu, 3 palline rosse, n palline verdi
calcolo mediante formule
( o 6 palline verdi per confronto con tabella)
estrazione contemporanea di 2 palline ( s = n + 5)
E1 :Si chiede di calcolare la probabilità che escano due palline blu
E2 : si chiede di calcolare la probabilità che non escano palline verdi
E3 : si chiede la probabilità che escano palline di due colori
Con la tabella si visualizzano tutte le possibili combinazioni e si
calcolano le varie probabilità richieste, senza ricorrere alla probabilità
dell’evento contrario, che si utilizza invece nel calcolo mediante formule
Urna contenente 2 palline blu, 3 palline rosse, n palline verdi
estrazione contemporanea di 2 palline ( s = n + 5)
N = Coppie palline = Cs,k = C(n+5),2 = (n+5)(n+4)/2
E1 = uscita 2 palline blu (1) >>> p(E1)= 2 / N
E2 = uscita nessuna pallina verde (2+3 = 5)
C5,2 = 5*4/2 = 10 >>> p(E2) = 10 / N = 10 / (n+5)(n+4)/2) = 20 /(n+5)(n+4)
E3 = uscita palline colore diverso
Ē = uscita 2 palline dello stesso colore
B = (2*1/2)= 1>> p(B) = 1 / N
R = (3*2/2) = 3>> p(R) = 3 / N
V = (n(n-1)/2 >> p(V) = n(n-1)/2N
incompatibili
P(Ē) = p(B)+p(R)+p(V) = (n^2 –n + 8)/((n+5)(n+4)
P(E3) = 1 – p(Ē) = 2(5n+6) / ( n+5)(n+4)
Calcolare numero palline verdi per avere p(E2) = 2 / 11
Da (20/ (n+5)(n+4)) = 2 /11 segue n = 6 ( escluso – 15)
Urna contenente 2 palline blu, 3 palline rosse, 6 palline verdi
estrazione contemporanea di 2 palline ( s = 11)
N = Coppie palline = Cs,k = C(11),2 = (11)(10)/2 = 55
E1 = uscita 2 palline blu (1) >>> p(E1)= 1/ 55 = 0.018
E2 = uscita nessuna pallina verde (2+3 = 5)
C5,2 = 5*4/2 = 10 >>> p(E2) = 10 / 55 = 10 / (11)(10)/2) = 0.18
E3 = uscita due verdi (15) >>> p(E3) = 15/55=0.27
E4 = uscita palline colore diverso(36): p(E4)=36/55 = 0.65
Ē = uscita 2 palline dello stesso colore
B = (2*1/2)= 1>> p(B) = 1 / 55 = 0.018
R = (3*2/2) = 3>> p(R) = 3 / 55=0.054
V = (6*5)/2 = 15 >> p(V) = 15 / 55 = 0.27
incompatibili
E4 = 1 – p(Ē) = 1 – p(E1)+p(E2)+p(E3) = 1 – 0.018 + 0.054 + 0.27 = 0.65
Applicazione delle formule con variazione di verdi e spazio totale eventi
V = 5,6,7 …eventi = 45, 55, 66