evariste galois - Digilander

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Vita
Studi
Morte
Memorie
Algebra pura
Teoria di Galois
Dimostrazione
Evariste Galois nasce a Bourgla-Reine nell’ottobre del 1811;
ragazzo prodigio, poco più che
adolescente riuscì a
determinare un metodo
generale per scoprire se una
equazione è risolvibile o meno
con operazioni quali somma,
sottrazione, moltiplicazione,
divisione, elevazione di potenza
ed estrazione di radice
Questo studente
dimostra
una netta
superiorità
su tutti i colleghi."
(Louis Richard)
Nel 1828 cercò di essere
ammesso all‘Ecolè polytechnique
ma fallì l'esame d'ammissione.
Ritentò l'anno successivo ma
venne nuovamente bocciato,
sempre all'esame d'ammissione.
Leggenda vuole che considerasse
gli esercizi di matematica banali
e non interessanti e che quindi si
rifiutasse di risolverli;
esasperato dall'esaminatore che
gli voleva imporre di risolvere
quegli esercizi, egli gli avrebbe
scagliato contro il cancellino.
Emesso dalla Francia nel novembre 1984
Galois morì durante un duello, combattuto per salvare l'onore
di una donna che il giovane amava. Vi sono altre versioni che
accusano la polizia segreta del Re della responsabilità del
duello affermando che la motivazione dell'onore fu solo una
copertura per nascondere un omicidio politico.
Quale sia la vera versione non è noto. È certo invece che
Évariste fosse sicuro di morire durante quel duello, al punto
che passò tutta la notte precedente a cercare di sistemare i
suoi lavori matematici e in questi vi sono delle annotazioni in cui
afferma che gli manca il tempo per un'esposizione più completa
e chiara.
Il 30 Maggio 1822 di prima mattina veniva colpito da un
proiettile all'addome e il giorno seguente moriva
(probabilmente di peritonite) all'ospedale di Cochin. Le
sue ultime parole, dette a suo fratello Alfred furono:
«Non piangere! Ho bisogno di tutto il mio coraggio per
morire a vent'anni».
"In Francia, verso il 1830,
apparve
nel firmamento della
matematica pura
un nuovo astro, d'incomparabile
splendore... Evariste Galois."
(Felix Klein)
La memoria di Galois sulla teoria delle equazioni fu proposta
diverse volte per la pubblicazione, ma non venne mai pubblicata
mentre lui era in vita.
Inizialmente il matematico fece pervenire la sua memoria a
Cauchy. Questi la esaminò e gli disse di modificarla dato che
coincideva in alcuni punti con un lavoro di Abel. Galois modificò
la memorie e la inviò a Fourier verso l'inizio del 1830 per poter
competere al Gran Premio indetto dall'Accademia.
Nel gennaio 1831, Galois inviò al matematico Poisson un breve
riassunto dei suoi lavori chiedendogli di presentare il suo lavoro
all'Accademia. questi rifiutò il lavoro, affermando che
non era chiara
ed era
impossibile
Il'esposizione
contributi matematici
di Galois
furono
alla fineanalizzarne con
chiarezza nel
la rigorosità,
e lo invitava
a lavorare
per rendere
il
pubblicati
1843 da Joseph
Liouville
che, ricevuto
il
lavoro più rigoroso
comprensibile.e lo sistemò per
manoscritto,
lo lessee attentamente
rendere l'esposizione più semplice.
In base al teorema fondamentale dell'algebra, o teorema di
Gauss, un'equazione di grado enne può essere risolta per enne
radici, quindi dovrebbe esistere una formula per calcolare le
cinque radici di un'equazione di quinto grado... Eppure questa
formula non si riusciva a ricavarla.
Il grande matematico franco-piemontese Joseph-Louis
Lagrange (1734-1813) aveva individuato un metodo generale
per ricavare le formule risolutive per radicali di equazioni di
ennesimo grado. Questo metodo riduce un'equazione di primo
grado ad una semplice divisione, un'equazione di secondo grado
ad una di primo, una di terzo ad una di secondo ed una di
quarto ad una di terzo. Tuttavia, se applicato ad una di quinto
la trasforma in una di sesto, e se applicato ad una di sesto la
rende addirittura di decimo grado!
Un matematico italiano, Ruffini, sul finire del Settecento
aveva dato una dimostrazione piuttosto complessa, e poco
elegante, del fatto che le equazioni di quinto grado non
potessero essere risolte per mezzo di radicali. Alla stessa
Galois decise che da allora in avanti avrebbe ricercato le
condizioni necessarie e sufficienti a risolvere, per mezzo di
radicali, equazione algebriche di qualsiasi grado. Iniziò, nel 1829
(a diciassette anni e mezzo!!) a studiare quelle equazioni che
avevano per grado un numero primo; ben presto verificò e
dimostrò che si potevano risolvere solo quelle di grado pari a
due o tre, mentre per quelle di grado dal quinto in su non era
possibile trovare una formula risolutiva per radicali.
Evariste Galois riuscì, per primo nella storia della matematica, a
dimostrare l'insolubilità per radicali di equazioni algebriche di
grado superiore al quarto.
Se abbiamo un dato polinomio, può succedere che alcune delle
radici del polinomio siano connesse da varie equazioni
algebriche. Ad esempio, può succedere che per due delle radici,
diciamo A e B, valga l'equazione A2 + 5B3 = 7. L'idea centrale di
Galois è di considerare per queste permutazioni (o
riarrangiamenti) delle radici la proprietà che ogni equazione
algebrica soddisfatta dalle radici è ancora soddisfatta dopo che
le radici sono state permutate. Un'importante clausola è che ci
limitiamo ad equazioni algebriche nelle quali i coefficienti sono
numeri razionali.
L'insieme di queste permutazioni forma un gruppo di
permutazione, chiamato anche gruppo di Galois del polinomio (sui
numeri razionali).
Si consideri l’equazione quadratica
x2 − 4x + 1 = 0.
Usando la formula quadratica, troviamo che le due radici sono
A = 2 + √3, e
B = 2 − √3.
Esempi di equazioni algebriche soddisfatte da A e B includono
A + B = 4, e
AB = 1.
Ovviamente, in entrambe queste equazioni, se scambiamo A e B,
otteniamo un'altra espressione vera. Ad esempio, l'equazione A
+ B = 4 diventa semplicemente B + A = 4.
Concludiamo quindi che il gruppo di Galois del polinomio x2 − 4x +
1 consiste in due permutazioni: la permutazione identica che
lascia A e B inalterati, e la permutazione di trasposizione che
scambia A e B.
Una discussione simile si applica ad ogni polinomio quadratico
ax2 + bx + c, dove a, b e c sono numeri razionali.