Complementi sulle equazioni di 2° grado

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Complementi sulle equazioni di 2° grado
Trovare un’equazione di 2° grado che ammetta 2 soluzioni prefissate: s1 e s2.
Primo metodo
ESEMPIO NUMERICO
Cominciamo a spiegare l’argomento con un esempio e poi passiamo al caso generale.
Supponiamo di voler trovare un’equazione che ammetta come soluzioni i numeri 2 e 3. Allora
possiamo procedere nel seguente modo:
È chiaro che l’equazione
(x – 2) (x – 3) = 0
è un’equazione di 2° grado che ammette le soluzioni 2 e 3.
Infatti, se poniamo x = 2, il prodotto al primo membro diventa
(2 – 2 ) (2 – 3)
che è uguale a zero. Quindi 2 è effettivamente una soluzione dell’equazione.
Allo stesso modo, se poniamo x = 3, il prodotto al primo membro diventa
(3 – 2 ) (3 – 3)
che è uguale a zero. Quindi 3 è effettivamente una soluzione dell’equazione.
Ovviamente, se moltiplichiamo le due parentesi per un numero qualsiasi (ma diverso da zero),
l’equazione che otteniamo ammette ancora le soluzioni 2 e 3. Ad esempio, se moltiplichiamo le due
parentesi per 7, l’equazione
7 (x – 2) (x – 3) = 0
è un’altra equazione di 2° grado che ammette le soluzioni 2 e 3.
In generale, dato un qualsiasi numero “a” diverso da zero, si ha che l’equazione
a (x – 2) (x – 3) = 0
è un’equazione di 2° grado che ammette le soluzioni 2 e 3.
In realtà si può dimostrare1 che le equazioni del tipo
a (x – 2) (x – 3) = 0 (al variare di a
diverso da zero) sono tutte e sole le equazioni di secondo grado che ammettono le soluzioni 2 e 3.
IN GENERALE
Siano s1 e s2 due numeri qualsiasi. Se vogliamo un’equazione di secondo grado che ammetta s1 e s2
come soluzioni, basta che consideriamo l’equazione
(x – s1) (x – s2) = 0
e se vogliamo considerare tutte le infinite equazioni di secondo grado che ammettono le soluzioni s1
e s2, consideriamo le infinite equazioni
a (x – s1) (x – s2) = 0
al variare di “a”.
Secondo metodo
ESEMPIO NUMERICO
Supponiamo di volere un’equazione scritta in forma normale2 che ammetta le soluzioni 2 e 3. A tal
fine consideriamo la somma delle soluzioni che è 2 + 3 = 5 e il prodotto delle soluzioni che è
2  3 = 6. Allora l’equazione che cerchiamo è
x2 – 5 x + 6 = 0
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Si dimostra immediatamente mediante il teorema di Ruffini.
Ricordiamo che un’equazione di 2° grado scritta in forma normale è un’equazione del tipo ax 2 + bx + c =0.
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dove come coefficiente della x abbiamo l’opposto della somma delle due soluzioni, mentre come
termine noto abbiamo il prodotto delle due soluzioni.
Spieghiamo perché l’equazione che ha come coefficiente della x ha l’opposto della somma delle
due soluzioni, mentre come termine noto abbiamo il prodotto delle due soluzioni.
Come già detto all’inizio, l’equazione più semplice che ammette come soluzioni 2 e 3, è la
seguente:
(x – 2) (x – 3) = 0.
Possiamo trasformarla in forma normale effettuando il prodotto tra i due binomi in parentesi:
(x – 2) (x – 3) = 0  x2 -3x – 2x + 6 = 0  x2 – 5 x + 6 = 0.
Quindi l’equazione
x2 – 5 x + 6 = 0
è un’equazione di 2° grado scritta in forma normale che ammette le due soluzioni 2 e 33.
IN GENERALE
Se vogliamo un’equazione di secondo grado in forma normale che ammetta s1 e s2 come soluzioni
possiamo procedere in uno dei seguenti due modi:
consideriamo l’equazione
(x – s1) (x – s2) = 0
Moltiplichiamo le due parentesi e otteniamo:
x2 – s2x – s1x + s1s2 = 0 e mettendo in evidenza la x tra il secondo e terzo termine si ottiene:
x2 – (s1 + s2)x + s1s2 = 0
Oppure, per risparmiare tempo si può procedere così:
calcoliamo la somma delle due soluzioni, ossia calcoliamo (s1 + s2);
calcoliamo il prodotto delle due soluzioni, ossia calcoliamo s1s2;
costruiamo un’equazione che abbia come coefficiente del termine di primo grado l’opposto della
somma e come termine noto il prodotto,
x2 – (somma delle due soluzioni)x + (prodotto delle due soluzioni) = 0
ed in questo modo otteniamo più velocemente l’equazione già scritta sopra.
NOTA
Si potrebbe dimostrare facilmente4 anche il viceversa, ossia che se abbiamo un’equazione del tipo
x2 + bx + c = 0
che ammette le due soluzioni, allora b è uguale all’opposto della somma due soluzioni e c è uguale
al prodotto delle due soluzioni.
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Tutte le infinite equazioni di secondo grado in forma normale che ammettono le soluzioni 2 e 3 si ottengono
moltiplicando tutti i termini di questa equazione per un qualsiasi numero diverso da zero.
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Ciò si può dimostrare mediante il teorema di Ruffini o anche mediante semplici ragionamenti che partono dalla
formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
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Trovare due numeri di cui siano noti somma e prodotto
Consideriamo un’applicazione di ciò che si è detto prima:
Cominciamo con un ESEMPIO NUMERICO:
supponiamo di voler trovare due numeri di cui la loro somma è 9 e il loro prodotto è 18.
x2 – 9x + 18 = 0.
Per quanto detto nella nota precedente, questa equazione deve avere due soluzioni di cui l’opposto
della loro somma è -9 e il loro prodotto è 18. Ciò significa che le due soluzioni dell’equazione sono
i due numeri da noi cercati.
Infatti risolvendo l’equazione otteniamo le due soluzioni 3 e 6, la cui somma è 9 e il prodotto è 18.
IN GENERALE
Vogliamo trovare due numeri di cui conosciamo la loro somma e il loro prodotto.
Allora consideriamo l’equazione
x2 – (somma dei due numeri)x + (prodotto dei due numeri) = 0.
Le due soluzioni dell’equazione sono i due numeri cercati.
Applicazione alla geometria
Risolviamo il seguente problema.
Trovare i lati di un rettangolo di area 24 e di perimetro 20.
Svolgimento:
Denotiamo con  la base del rettangolo e con  la sua altezza.
Allora l’area del rettangolo è il prodotto 24.
Contemporaneamente il perimetro del rettangolo è  , ossia 2().
Poiché 2() = 20, allora () = 10.
Quindi dobbiamo trovare due numeri la cui somma è 10 e il cui perimetro è 24.
Allora risolviamo l’equazione
x2 – 10 x + 24 = 0
che ci dà come soluzioni 6 e 4 che sono appunto le misure dei lati del rettangolo.


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Scomposizione di un trinomio di 2° grado
Un trinomio di secondo grado del tipo
ax2+ bx + c
può essere scomposto mediante l’ausilio delle equazioni di 2° grado. Si procede nel seguente modo:
1) Si trasforma il trinomio in un’equazione di 2° grado
ax2+ bx + c = 0
2) Si trovano le eventuali soluzioni dell’equazione (che chiamiamo s1 e s2);
3) Il polinomio a (x-s1) (x-s2) è la scomposizione di ax2+ bx + c.
NOTA 1 Se l’equazione ax2+ bx + c = 0 ammette un’unica soluzione (che denotiamo con s), allora
la scomposizione che cerchiamo è a (x-s) (x-s), ossia a (x-s)2.
NOTA 2 Se l’equazione ax2+ bx + c = 0 non ammette soluzioni allora il trinomio di 2° grado non si
può scomporre.
ESEMPIO
Scomponiamo il polinomio
-10x2 + 19x – 6
Risolviamo quindi la seguente equazione
-10x2 + 19x – 6 = 0
Essa ha come soluzioni 3/2 e 2/5, quindi il polinomio può essere scomposto come
-10 (x – 3/2) (x – 2/5).
Spesso però conviene eliminare le frazioni, a questo punto riscriviamo la scomposizione del
polinomio nel seguente modo (scomponendo 10 come 25):
-2 (x – 3/2) 5 (x – 2/5).
Moltiplichiamo la prima parentesi per -2 e la seconda per 5 e otteniamo:
(-2x + 3) (5x -2)