Segnali e Sistemi
(Ingegneria Informatica)
Lezione 5
last update Oct 22, 2004
c 2004 Finesso, Pavon, Pinzoni
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MODELLO MATEMATICO DEI SISTEMI (da lezione 2)
Un sistema è una mappa
Σ : X −→ Y
x(·) → y(·) = Σ[x(·)]
dove X ed Y sono insiemi di segnali.
Un sistema è dunque una funzione che ha per dominio e codominio insiemi di funzioni. In matematica Σ si dice operatore.
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Terminologia - Notazioni - Convenzioni (da lezione 2)
Spesso si rappresenta un sistema con
x(t) -
Σ
y(t)
-
Si noti l’abuso di notazioni
x(t) ed y(t) qui rappresentano sia i segnali che i loro valori.
x(t) è detto ingresso, y(t) è detto uscita.
(X, Y ) segnali a tempo continuo ⇒ sistema a tempo continuo
(X, Y ) segnali a tempo discreto ⇒ sistema a tempo discreto
(X, Y ) tempo continuo e tempo discreto ⇒ sistema ibrido
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ESEMPI DI SISTEMI
Sistema meccanico: Massa–molla con forza esterna applicata.
Se x(t) = forza esterna, ed y(t) = elongazione molla,
my (t) + ky(t) = x(t),
Legge di Newton.
Sistema elettrico: Resistenza R attraversata da corrente.
Il legame ingresso-uscita è fornito dalla legge di Ohm
Se x(t) = tensione ai capi di R ed y(t) = corrente attraverso R,
1
x(t),
y(t) =
R
Legge di Ohm.
Sistema finanziario: Conto corrente bancario
Se x(n) = depositi − prelievi al mese n-esimo ed y(n) = saldo
1 di punto,
al mese n-esimo, ed il tasso di interesse mensile è di 12
allora
1
y(n) = 1 +
y(n − 1) + x(n),
Bilancio di massa.
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INTERCONNESSIONI DI SISTEMI – Cascata
Connettere sistemi è un buon modo per ottenere nuovi sistemi.
Cascata di sistemi
x(t) -
Σ1
w(t)-
Σ2
y(t)
-
L’uscita di Σ1 è l’ingresso di Σ2. La relazione ingresso/uscita è
y(t) = Σ2(w(t)) = Σ2((Σ1 (x(t)))
In matematica: cascata di sistemi = composizione di operatori.
Attenzione: la cascata non è necessariamente commutativa.
In generale Σ1Σ2 = Σ2Σ1. Abbiamo già visto che UT R = RUT .
Attenzione informatici:
La cascata ΣΣ è il primo passo di una funzione ricorsiva!
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Interconnessioni di sistemi – Parallelo
vedi lezione
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Interconnessioni di sistemi – Feedback
al prof. Beghi
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SISTEMI NOTEVOLI
Sistemi statici
Un sistema è statico se esiste una funzione f (x, t) tale che
y(t) = Σ[x(·)] = f (x(t), t).
y(t) può dipendere da x(t) e t, ma non da x(τ ) per τ = t.
Si dice anche sistema algebrico, o istantaneo, o senza memoria.
Ognuno di questi termini suggerisce una naturale interpretazione.
Esempio: y(t) = (t + 1) x(t).
Controesempio: y(t) = t x(t + 1).
Esempio fisico: tensione e corrente in una resistenza ideale.
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Sistemi statici – II
Cosa è un sistema costante ?
Abbiamo definito un sistema come una mappa
Σ : X −→ Y
x(·) → y(·) = Σ[x(·)]
dove X ed Y sono insiemi di segnali.
Se esiste una funzione f (t) tale che, per ogni x(·) ∈ X, risulta
y(t) = f (t)
allora diremo che il sistema è costante. L’uscita è sempre la
stessa funzione, non necessariamente una funzione costante!
Esempio: y(t) = sin(ωt).
ω Hz) quando
È il fischio che si sente alla radio (la portante a 2π
il modulatore del trasmettitore è guasto.
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Sistemi dinamici
Un sistema non statico è dinamico.
y(t) = Σ[x(·)]
y(t) può dipendere dall’intero x(·).
Si dice anche sistema con memoria.
Attenzione: questa locuzione è fuorviante.
Se t è il presente diciamo passato la semiretta (−∞, t), futuro la semiretta
(t, ∞). La memoria del sistema può riferirsi alla dipendenza di y(t), l’uscita
presente, dal solo passato, dal solo futuro, o da una mistura di passato e
futuro del segnale di ingresso.
Esempi dei tre tipi:
y(·) = U−T [x(·)],
y(·) = UT [x(·)],
y(·) = (UT + U−T )[x(·)]
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Sistemi causali
y(t) = Σ[x(·)] = f ({x(τ ), τ ∈ (−∞, t]})
y(t) non dipende dal futuro di x(t).
Esempio:
y(t) = (t + 1)x(t − 1),
Controesempio: y(t) = (t − 1)x(t + 1).
Esempio fisico: Se x(·) è l’andamento temporale del livello del
Po a Torino, U−48[x(·)] è l’andamento a Porto Tolle (t = ore).
Nota: tutti i sistemi statici sono causali.
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Sistemi anticausali
y(t) = Σ[x(·)] = f ({x(τ ), τ ∈ [t, ∞)})
y(t) non dipende dal passato di x(t).
Esempio:
y(t) = (t − 1)x(t + 1),
Controesempio: y(t) = (t + 1)x(t − 1).
Esempio fisico: ?? Non credo ce ne siano a livello macroscopico.
Si veda però la discussione sulla soluzione all’indietro delle EDO.
Nota: tutti i sistemi statici sono anticausali.
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Sistemi causali ed anticausali
I sistemi statici sono contemporaneamente causali ed anticausali,
ma in modo triviale.
È più interessante notare che esistono sistemi dinamici che sono
contemporaneamente causali ed anticausali.
d x(t) dove X = C 1 (R), (vedi lezione).
Esempio: y(t) = dt
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Sistemi BIBO-stabili
Un sistema è stabile se manda segnali limitati in segnali limitati.
(BIBO = bounded input bounded output)
Il segnale z(t) è limitato se:
|z(t)| ≤ Mz < ∞, ∀t ∈ R, ovvero Mz := supt∈R |z(t)| < ∞.
Formalmente un sistema è BIBO stabile se
|x(t)| ≤ Mx < ∞, ∀t ∈ R =⇒ |y(t)| ≤ My < ∞, ∀t ∈ R < ∞
Si noti che:
(a) non è imposto un legame tra Mx ed My ,
(b) non è imposto che supx(·)∈X supt∈R |y(t)| < ∞.
Esempio: y(t) = ex(t),
Controesempio: y(t) = tx(t)
A lezione:
d x(t), e y(t) = t
y(t) = dt
−∞ x(τ )dτ non sono BIBO-stabili.
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Sistemi tempo-invarianti
Un sistema è tempo-invariante se:
Σ UT = UT Σ
∀T
Interpretazione:
Se all’ingresso x(t) corrisponde l’uscita y(t), allora all’ingresso
x(t + T ) deve corrispondere l’uscita y(t + T ).
Con metafora biologica diciamo che il sistema non invecchia.
Esempio: y(t) = x(t + 1), Controesempio: y(t) = x(−t + 1).
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Sistemi lineari
Il sistema L è lineare se, ∀ x1(·), x2(·), x(·) ∈ X, a ∈ C valgono:
• L[x1(·) + x2(·)] = L[x1(·)] + L[x2(·)]
• L[ax(·)] = aL[x(·)]
Questa definizione è equivalente a: ∀ x1(·), x2(·) ∈ X, a1, a2 ∈ C
L[a1x1(·) + a2x2(·)] = a1L[x1(·)] + a2L[x2(·)]
Esempio: y(t) = t2x(t), Controesempio: y(t) = tx2(t)
Nota: Se L è lineare, allora L(0) = 0 (vedi lezione).
A lezione: Se L è lineare e causale allora supp(y(·)) ⊂ supp(x(·)).
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