Misura di resistenza con

Corso di Preparazione di Esperienze Didattiche
C.d.L. Matematica, a.a. 2009-10
Misura di una resistenza elettrica con il ponte di Wheatstone
– Studio a casa
La condizione di azzeramento del circuito può essere ricavata facilmente ricordando che, dette
I1 , I 2 , I 3 , I x le correnti rispettivamente nelle resistenze R1 , R2 , R3 , Rx si ha, nella condizione di
corrente nulla nel ramo BD: I1  I 2 ; I 3  I x . Sempre a causa della condizione di zero, le resistenze
I1 R1  I 3 R3
. Dividendo membro a membro le due
R1 , R3 e R2 , Rx risultano in parallelo per cui si ha:
I 2 R2  I x Rx
I R
IR
equazioni si ha: 1 1  3 3 da cui, ricordando le uguaglianze I1  I 2 ; I 3  I x si avrà:
I 2 R2 I x Rx
R R  Rx  R1  R2  R3
Rx R1  R2 R3  Rx  2 3 e



R1
Rx
R1
R2
R3
Si supponga ad esempio che V  10V , Rx  15.42  0.01 k . Si abbiano i seguenti valori
nominali di resistori commerciali R1  1.2k ; R2  2.2k ; R3  8.2k  . La corrente che circolerà
nell’amperometro è circa 5 A (vedi dimostrazione di seguito). Tenendo conto del fatto che gli
amperometri a disposizione hanno una sensibilità proprio di 5 A , in questo caso la corrente nel
ramo BD non è nulla ma compatibile con 0. Sfruttando la condizione di 0 e propagando le
incertezze sui valori nominali si ha Rx  15  2 k , valore compatibile con quello atteso. In questo
caso la misura con il ponte di Wheatstone non è più accurata di quella effettuata con il metodo
voltamperometrico. Se invece si misurano le resistenze con un Ohmetro digitale la stima di Rx
diventa Rx  15.03  0.02 k che non è più compatibile con il valore atteso. Per migliorare la
stima occorre cambiare uno dei resistori, ponendo ad esempio in serie ad uno di essi un resistore
commerciale opportuno. Ad esempio se in serie al resistore R2 si pone un resistore con resistenza
pari a 47  si ottiene Rx  15.35  0.02 k che rappresenta una stima migliore della resistenza
incognita. Da notare che in questo caso la corrente nel ramo BD è circa 0.8 A , ben al di sotto
dell’errore di sensibilità degli strumenti a disposizione. Questo dimostra che per essere efficace, il
metodo di Wheatstone deve prevedere l’uso di un amperometro di grossa precisione.
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Per dimostrare che, scelti i resistori di sopra, la corrente nell’amperometro è circa 5 A ,
applichiamo al ponte di Wheatstone il teorema di Thevenin. Il teorema dice che una rete qualsiasi
vista da due punti qualsiasi è equivalente ad un generatore di tensione di valore opportuno VTH in
serie ad una resistenza di valore opportuno RTH . Il valore VTH è il valore della tensione che si
misura dai due punti in esame a circuito aperto, mentre il valore RTH è dato dalla resistenza che si
vede da questi due punti quando il generatore esterno è cortocircuitato. Nel nostro caso, i due punti
del circuito sono B e D. Quando non vi è l’amperometro che collega questi due punti, la tensione
vista tra B e D vale VTH  VD  VB  VD  VA  VA  VB . Ma si ha VD  VA   I1R1 e VA  VB  I 3 R3 .
Poiché inoltre a circuito aperto tra D e B, R1 e R2 sono in serie come anche R3 e Rx vale ancora la
V
relazione
quindi
e
I1  I 2 ; I 3  I x e
V  I1  R1  R2   I1 
 R1  R2 
V
.
Quindi
si
avrà
V  I 3  R3  Rx   I 3 
 R3  Rx 
VTH  VD  VB   I1R1  I 3 R3  


R3
R1
V
V
R1 
R3  V 

.
  R  R   R  R  
 R1  R2 
 R3  Rx 
3
x
1
2


Avendo circuitato il generatore, dai punti B e D si vede la serie tra il parallelo di R1 , R2 ed il
RR
RR
parallelo tra R3 , Rx cioè RTH  1 2  3 x . Quindi, il ponte di Wheatstone è equivalente al
R1  R2 R3  Rx
seguente circuito, dove Rg è la resistenza dell’amperometro.
Quindi, la corrente che attraversa l’amperometro sarà


R3
R1
V 


 R3  Rx   R1  R2  
VTH

Rg 
Ig 
Rg da cui
R3 Rx
R1 R2
RTH  Rg

 Rg
R1  R2 R3  Rx
V
Rg  R3  R1  R2   R1  R3  Rx  
R1 R2  R3  Rx   R3 Rx  R1  R2   Rg  R1  R2  R3  Rx 
Da notare che I g  0   R3  R1  R2   R1  R3  Rx    0
la quale restituisce la condizione Rx R1  R2 R3
Sostituendo nella relazione I g 
VTH
Rg i valori nominali delle resistenze ed il valore della
RTH  Rg
resistenza interna dell’amperometro ( 588  ) si ha:
VTH  60 mV
RTH  6 k 
ed inoltre I g  5 A .