IL TRIANGOLO
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Ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
Se due lati sono disuguali, anche gli angoli opposti sono disuguali, ed al lato maggiore è opposto l’angolo maggiore, e viceversa.
Ogni angolo esterno ( ha per vertice un vertice del triangolo, e per lati uno dei lati uscenti da quel vertice ed il prolungamento dell’altro lato
uscente dallo stesso vertice) è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti
In un triangolo rettangolo isoscele (angoli acuti di 45° ciascuno), l’ipotenusa si ottiene moltiplicando il cateto per
2, ciascun cateto si ottiene dividendo l’ipotenusa per 2.
In un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30° e 60° valgono tra i lati le relazioni seguenti e le opportune
relazioni inverse
a) il cateto minore è metà dell’ipotenusa;
b) il cateto maggiore è dato da 3 . cateto minore.
CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI
Siano a,b,c i lati di un triangolo.Il triangolo è rettangolo se e solo se, detto a il suo lato maggiore, risulta a2 = b2 + c2.
In caso contrario, per decidere se il triangolo è acutangolo ( 3 angoli acuti) od ottusangolo(1 angolo ottuso e 2 acuti) bisogna calcolare il valore delle
seguenti espressioni:
a2 + b2 - c2; b2 + c2 - a2; c2 + a2 - b2; se i tre risultati sono tutti positivi il triangolo è acutangolo, altrimenti è
2ab
2bc
2ac
ottusangolo.
ELEMENTI PARTICOLARI E PUNTI NOTEVOLI
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La mediana di un triangolo è il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto.
Il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al lato rimanente, e misura metà di questo.
Le tre mediane di un triangolo passano per uno stesso punto, il baricentro, sempre interno al triangolo; esso divide ciascuna mediana in due
parti, di cui quella che contiene il vertice è doppia dell’altra.
(AO = 2*OD, CO = 2*OF, BO = 2*OE).
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L’altezza di un triangolo è il segmento di perpendicolare condotta da un vertice al corrispondente lato opposto.
L’altezza è sempre interna al triangolo se questo è acutangolo, coincide con un cateto se il triangolo è rettangolo, può essere esterna al triangolo
se questo è ottusangolo.
Le tre altezze di un triangolo passano per uno stesso punto, detto ortocentro; esso è interno al triangolo se questo è acutangolo,coincide con il
vertice dell’angolo retto se il triangolo è rettangolo,è esterno se il triangolo è ottusangolo.
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La bisettrice di un triangolo è il segmento che divide a metà un angolo. Ogni punto della bisettrice di un angolo è equidistante dai lati
dell’angolo stesso.
Le tre bisettrici di un triangolo passano per uno stesso punto, l’ incentro, sempre interno al triangolo; esso è equidistante da tutti i lati
dell’angolo, ed è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.
L’asse di un lato del triangolo è la retta perpendicolare a quel lato e passante per il suo punto medio.
I tre assi di un triangolo passano per uno stesso punto, detto circocentro; esso è interno al triangolo se questo è acutangolo, coincide con il
punto medio dell’ipotenusa se il triangolo è rettangolo, è esterno se il triangolo è ottusangolo.
IL POLIGONO
Un poligono di n vertici ha n lati.
Da ciascun vertice escono n-3 diagonali, ed in tutto le diagonali del poligono sono n(n-3)
2
La somma degli angoli interni del poligono è (n-2) angoli piatti; la somma degli angoli esterni è sempre due angoli
piatti.
Un poligono si dice regolare quando ha tutti i lati tra loro congruenti e tutti gli angoli tra loro congruenti, ed è
pertanto composto di n triangoli isosceli aventi i vertici comuni.
POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
Un poligono si dice inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici si trovano sulla circonferenza.
Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.
Un quadrilatero convesso si può inscrivere in una circonferenza se è solo se i suoi angoli opposti sono supplementari; ne deriva che
a) ogni rettangolo si può inscrivere in una circonferenza;
b) ogni trapezio isoscele si può inscrivere in una circonferenza.
Un quadrilatero convesso si può circoscrivere ad una circonferenza se è solo se la somma di due lati opposti
è congruente alla somma degli altri due lati; ne deriva che
c) ogni rombo si può circoscrivere ad una circonferenza;
d) un trapezio isoscele si può circoscrivere ad una circonferenza quando il lato obliquo è congruente alla semisomma delle basi.
Un triangolo qualsiasi si può sempre inscrivere in una circonferenza, il cui centro è il circocentro del triangolo; il raggio di tale circonferenza si
calcola con la formula R = abc , dove a, b, c sono i lati del triangolo ed S è la sua superficie.
4S
Un triangolo qualsiasi si può sempre circoscrivere ad una circonferenza, il cui centro è l’incentro del triangolo; il raggio di tale circonferenza si
calcola con la formula r = S , dove S è la superficie del triangolo e p è il suo semiperimetro.
p
Un triangolo rettangolo è sempre inscritto in una semicirconferenza, il cui diametro coincide con l’ipotenusa del triangolo stesso.
Tutti i poligoni regolari si possono sia inscrivere che circoscrivere; le circonferenze inscritte e circoscritte al
poligono hanno lo stesso centro, che è detto anche centro del poligono; esso è il vertice comune di tutti i triangoli
isosceli che compongono il poligono. Il raggio della circonferenza inscritta si dice apotema del poligono, il raggio
della circonferenza circoscritta si dice raggio del poligono. In particolare:
a) il triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio r ha lato r3;
b) il quadrato inscritto nella circonferenza di raggio r ha lato r2;
c) l’ esagono inscritto nella circonferenza di raggio r ha lato r.
