IL TEOREMA DI PITAGORA
Collocazione: Classe II di un biennio di scuola secondaria superiore.
Prerequisiti: Isometrie del piano.
Equiscomponibilità tra poligoni.
Similitudini nel piano.
I teorema di Euclide
Teoria elementare della misura.
Obiettivi generali: Individuare e riconoscere proprietà di figure piane.
Verificare una congettura con consapevolezza della
distinzione tra verifica e dimostrazione.
Obiettivi specifici: Comprendere il teorema di Pitagora e saperlo
applicare.
Comprendere che il teorema di Pitagora esprime una
proprietà di cui godono soltanto i triangoli rettangoli.
Comprendere il significato di terna pitagorica e saperla
riconoscere.
Metodologia: Il lavoro è diviso in due parti ciascuna delle quali prende
avvio dalla proposta di un problema, allo scopo di suscitare
o rinnovare negli studenti l’interesse per questo teorema.
La risoluzione del primo avviene con l’aiuto di materiali
quali carta e forbici. Tramite le manipolazione di tali
oggetti si arriva ad ipotizzare il teorema che si cerca di
dimostrare subito dopo.
Con il secondo problema, invece, si definiscono le terne
pitagoriche e si verifica che tre numeri scelti in un certo
modo formano una terna pitagorica.
Tempi: 6 ore.
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Sviluppo dei contenuti
Prima parte
Una barca molto antica
Per festeggiare l’inizio dell’estate, l’ufficio del turismo vuole rimettere in acqua una
barca molto antica, a vela quadrata. La vela di questa barca in origine era un quadrato di
5m di lato, e la sua superficie era pertanto di 25m 2 .Sfortunatamente, questa vela è
andata perduta molto tempo fa e se ne cerca un’altra per sostituirla. Si trovano soltanto
una vela quadrata da 4m di lato e un’altra da 3m di lato. Unendole si ottiene una
superficie adeguata, che misura cioè 3x3+4x4=25m 2 , ma che non è esattamente della
forma giusta.
Uno degli impiegati riflette per tutto il pomeriggio, scarabocchia su un foglio di carta,
poi prende un paio di forbici, ritaglia due triangoli nella vela e ricuce le tre parti in
modo diverso. Così ottiene una vela quadrata della stessa superficie. Come ha fatto?
Si riproduce su carta quadrettata il modello e con l’aiuto dato dal testo e eventualmente
quello dell’insegnante si prova a trovare una soluzione.
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Si osserva che le parti ritagliate sono dei triangoli rettangoli i cui cateti misurano 3m e
4m. L’ipotenusa di questo triangolo rettangolo è il lato delle vela ricostruita, pertanto
misura 5m. La superficie della vela è data dalla somma delle superfici dei due quadrati
di partenza.
Si può rifare la stessa costruzione con due quadrati qualsiasi. Se la misura della
lunghezza del primo lato è a e quella del secondo lato è b, le parti ritagliate sono
triangoli rettangoli con cateti che misurano a e b.
L’ipotenusa del triangolo rettangolo è il lato c del quadrato ricostruito. La superficie c 2
del quadrato ricostruito è data dalla somma delle superfici dei due quadrati di partenza,
se ne deduce che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è
sempre uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
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Si propone una costruzione simili cercando di dare al teorema una dimostrazione più
rigorosa.
Dato il triangolo rettangolo di cateti a, b e ipotenusa c, costruiamo due quadrati
equivalenti, che abbiano come lato la somma dei due cateti, a+b.
Scomponiamo il primo di questi quadrati nei due quadrati costruiti sui cateti e nei
quattro triangoli di figura, equivalenti al triangolo dato. Scomponiamo poi il secondo
quadrato nel quadrato costruito sull'ipotenusa e negli stessi quattro triangoli. Se ai due
quadrati grandi togliamo i quattro triangoli equivalenti, otteniamo due parti equivalenti:
i quadrati costruiti sui cateti e il quadrato costruito sull'ipotenusa.
Attenzione però: la dimostrazione non è ancora completa. E' necessario dimostrare
ancora che le parti in blu sono realmente i quadrati dei cateti e dell'ipotenusa del
triangolo dato. Per il primo quadrato a sinistra questo è evidente, dal modo in cui
abbiamo eseguito la scomposizione, cioè, come si dice, per costruzione. Per il secondo
quadrato a destra, sempre per costruzione, possiamo dire che i suoi lati sono uguali
all'ipotenusa del triangolo. Resta da dimostrare che i suoi angoli sono retti.
Consideriamo l'angolo in A, che sommato agli altri due angoli aventi lo stesso vertice
forma un angolo piatto. Ma anche la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale
a un angolo piatto, e quindi l'angolo in A corrisponde al terzo angolo del triangolo, che
è retto. Allo stesso modo si dimostra che anche gli altri angoli sono retti e quindi che la
figura è un quadrato.
Possiamo ora affermare che:
In un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è
uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Tale teorema va sotto il nome di “Teorema di Pitagora”.
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Si può far presente ai ragazzi che tale teorema è attribuito a Pitagora, ma in realtà la sua
storia è molto più complessa e le sue origini risalgono almeno ad un migliaio di anni
prima che Pitagora si dedicasse allo studio dei triangoli rettangoli. Infatti in Cina il
teorema "di Pitagora" era già noto almeno mille anni prima della nascita di Pitagora. La
dimostrazione originale purtroppo è andata perduta, ma dalla figura ritrovata si può
risalire a tale dimostrazione in linea generale.
Se si indicano con a e b i cateti e con c l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, il quadrato
di lato a+b si può considerare composto di 8 triangoli(gialli e bianchi) e del quadratino
di lato b-a (rosso), o anche del quadrato sull’ipotenusa c (giallo e rosso) e di quattro
triangoli (bianchi), da cui si ricava la relazione 4ab+ (b-a) 2 = c 2 +2ab.
Sviluppando (b-a) 2 = b 2 + a 2 -2ab, si ottiene 4ab+b 2 + a 2 -2ab = c 2 +2ab, cioè
b 2 +a 2 = c 2 , quindi il teorema di Pitagora.
Infine si propone la dimostrazione che si può dare servendosi del I teorema di Euclide.
Ricordiamo l’enunciato di quest’ultimo:
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è
equiscomponibile al rettangolo avente per lati l’ipotenusa e la proiezione
del cateto stesso sull’ipotenusa.
Possiamo ora dimostrare il teorema di Pitagora:
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è
equiscomponibile alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
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Siano ABC un triangolo rettangolo, ABDE e ACFG i quadrati rispettivamente dei cateti
AB e AC; il punto H la proiezione del punto A sull’ipotenusa. Si prolunghi AH fino ad
incontrare in M il lato IL del quadrato costruito sull’ipotenusa. Il segmento HM divide il
quadrato BILC in due rettangoli BIMH e HMLC che per il I teorema di Euclide sono
rispettivamente equiscomponibili ai due quadrati ABDE e ACFG. Poiché la somma dei
due rettangoli dà il quadrato dell’ipotenusa, resta dimostrato che in un triangolo
rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equiscomponibile alla somma dei
quadrati costruiti sui cateti, quindi l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale
alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Spesso dai libri di testo viene omesso l’inverso del teorema di Pitagora, ma ci si chiede:
in base a quali considerazioni didattiche ciò avviene, quando è proprio esso ad avere
maggiori applicazioni? I ragazzi sono pienamente coscienti che il teorema di Pitagora
esprime una proprietà di cui godono solo i triangoli rettangoli?
Dimostriamo, quindi, l’inverso del teorema di Pitagora:
Se i lati a, b e c di un triangolo verificano la relazione a 2 +b 2 = c 2 , allora
il triangolo è rettangolo; a e b sono i cateti e c è l’ipotenusa.
Sia ABC un triangolo tale che AB 2 = AC 2 + BC 2 dobbiamo provare che l’angolo in C è
retto. Consideriamo ora un triangolo rettangolo A’B’C’ con AC=A’C’ e BC=B’C’.
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Per il teorema di Pitagora A’C’ 2 +B’C’ 2 = A’B’ 2 , quindi AC 2 + BC 2 = A’B’ 2 e poiché
per ipotesi AC 2 + BC 2 = AB 2 si ha A’B’=AB pertanto i due triangoli sono isometrici
quindi anche ABC è rettangolo.
Seconda parte
Il club dei pirati
Il sindaco ha permesso ai bambini del club dei pirati di collocare una piccola recinzione
sulla spiaggia, per delimitare il loro terreno di gioco. Ma ha posto un certo numero di
condizioni: la recinzione deve necessariamente essere costituita da piccoli steccati
lunghi 1 metro messi uno di seguito all’altro, e deve formare un triangolo rettangolo.
I pirati cercano in un primo momento di formare un triangolo i cui lati misurano 10, 10
e 15 metri. Ma questo triangolo ha un angolo retto?
In seguito provano a formare un triangolo con i lati da 10, 10 e 14 metri. Ma, anche in
questo caso, il triangolo ottenuto ha un angolo retto?
A forza di tentativi ed errori, i bambini finiscono per trovare tre numeri interi, a, b e c,
in modo che il triangolo i cui lati misurano a, b e c metri sia un triangolo rettangolo.
Qual è il triangolo più piccolo che possono formare in questo modo?
Una volta trovato un triangolo rettangolo, uno dei pirati propone di raddoppiare il
numero degli steccatisi su ognuno dei tre lati, in modo da avere più spazio. Il triangolo
così ottenuto è ancora un triangolo rettangolo? E se avessero moltiplicato il numero
degli steccati per 3? E per 4?
Si comincia con il verificare se i triangoli presi in considerazione dai ragazzi siano o
meno rettangoli (potrebbe anche essere questo lo spunto per dimostrare il teorema
inverso).
Secondo il teorema di Pitagora, se il triangolo di lati 10, 10 e 15 fosse rettangolo, la
somma dei quadrati costruiti sui cateti sarebbe uguale al quadrato costruito
sull’ipotenusa. Ora la somma dei quadrati dei cateti è:
10 2 +10 2 =200
mentre il quadrato dell’ipotenusa è:
15 2 =225
quindi il triangolo non è rettangolo.
Nel triangolo di lati 10, 10 e 14 il quadrato dell’ipotenusa è 14 2 =196, anche questo
triangolo non è rettangolo.
Per cercare due numeri a e b tali che a 2 +b 2 equivalga al quadrato di un numero intero,
si possono cercare dei valori piccoli per a e b, calcolare a 2 +b 2 e verificare se la somma
corrisponde o meno al quadrato di un numero intero. Si può costruire la tabella
dell’operazione a 2 +b 2 :
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1
2
3
4
5
1
2
5
10
17
26
2
5
8
13
20
29
3
10
13
18
25
34
4
17
20
25
32
41
5
26
29
34
41
50
Il primo quadrato che troviamo nella tabella è 25=3 2 +4 2 , ovvero 3 2 +4 2 =5 2 .Il più
piccolo triangolo rettangolo i cui lati siano tutti dei numeri interi è pertanto un triangolo
rettangolo i cui lati misurano 3, 4 e 5 metri.
Uno dei pirati proponeva, per avere più spazio, di raddoppiare il numero degli steccati
su ognuno dei lati di questo triangolo. Così facendo si ottiene un triangolo con i lati di 6,
8 e 10 metri, che è anch’esso un triangolo rettangolo:6 2 +8 2 =36+64=100=10 2 . Ancora
si può verificare che i pirati otterrebbero ugualmente un triangolo rettangolo
moltiplicando il numero degli steccati per 3 o per 4.
A questo punto si può definire una terna pitagorica. Se tre numeri interi a, b e c
verificano la relazione a 2 +b 2 =c 2 si dice che formano una terna pitagorica. Una terna
pitagorica (a,b,c) è quindi una tripletta di numeri interi che soddisfano l’uguaglianza del
teorema di Pitagora. Si può dimostrare che tutte le terne pitagoriche possono essere
generate nel modo seguente:
a = m2 - n2
b = 2mn
c = m2 + n2
dove m ed n sono due numeri interi con m>n.
Si verifica facilmente che i numeri a, b e c formano una terna pitagorica, infatti:
a 2 = (m 2 - n 2 ) 2 = m 4 + n 4 - 2m 2 n 2
b 2 = (2mn) 2 = 4 m 2 n 2
a 2 + b 2 = m 4 + n 4 - 2m 2 n 2 + 4 m 2 n 2 = m 4 + n 4 + 2m 2 n 2 = (m 2 + n 2 ) 2 = c 2
Il triangolo rettangolo con cateti m 2 - n 2 e 2mn ha sempre quindi un’ipotenusa che è
un numero intero:m 2 + n 2 . Scegliendo dei numeri m e n, si possono costruire infiniti
triangoli rettangoli. Per esempio se m = 2, 3, 4, 5… e n = 1, si ottengono i triangoli (3,
4, 5), (8, 6, 10), (15, 8, 17), (24, 10, 26)…Si possono trovare altri triangoli
moltiplicando o dimezzando i lati, ad esempio dimezzando (24, 10, 26) si ottiene il
triangolo (12, 5, 13).
Più difficile è dimostrare che i numeri a, b e c definiti in quel modo formano una terna
pitagorica. La dimostrazione è riportata di seguito, ma credo sia un po’ difficile da
proporre in un biennio di scuola secondaria superiore.
Dimostrazione. Abbiamo già osservato che se a, b e c formano una terna pitagorica, lo
stesso vale per ha, hb e hc. Ci si può limitare a considerare terne con a e b primi tra loro,
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tali terne sono dette irriducibili, tutte le altre si otterranno moltiplicando a, b e c per lo
stesso numero.
Cominciamo con l’osservare che essendo primi tra loro, a e b non possono essere tutti e
due pari. Facciamo vedere che non possono essere nemmeno ambedue dispari.
Infatti se per assurdo a e b fossero dispari lo sarebbero anche a 2 e b 2 , allora c 2 , somma
di due numeri dispari, sarebbe pari, e quindi c sarebbe pari.
D’altra parte se a e b sono dispari, a=2k+1 e b=2h+1, risulta a 2 =(2k+1) 2 =4k 2 +4k+1 e
b 2 =4h 2 +4h+1 e quindi c 2 =a 2 +b 2 =4(k 2 +k+h 2 +h)+2. Da questa formula segue che
dividendo c 2 per 4 si ottiene il quoziente k 2 +k+h 2 +h ed il resto 2, in particolare c 2
non è divisibile per 4, e questo è assurdo, dato che c è pari ed il quadrato di un numero
pari è sempre divisibile per 4. Riassumendo, se a, b e c formano una terna pitagorica, i
due numeri a e b devono essere uno pari ed uno dispari e di conseguenza c deve essere
dispari.
Nella relazione a 2 + b 2 = c 2 , sia a dispari e b pari, portiamo a 2 a destra, si ha:
b 2 = c 2 - a 2 =(c – a)(c + a), siccome a e c sono dispari , c-a e c+a sono pari. Poniamo
allora b=2s, c+a=2x, c-a=2y, risulterà b 2 =4s 2 =4xy, e dunque s 2 = xy.
Anche x e y sono primi tra loro, infatti se avessero un fattore in comune q, s 2 = xy
sarebbe divisibile per q 2 , cosicché s sarebbe divisibile per q, e lo stesso sarebbe vero
per 2s, cioè per b. D’altra parte anche a=x-y sarebbe divisibile per q, in contraddizione
con l’ipotesi che a e b fossero primi tra loro.
Siccome il prodotto xy è un quadrato, x e y sono essi stessi dei quadrati: x=m 2 e y=n 2 .
Si avrà allora in conclusione b 2 =4xy=4 m 2 n 2 per cui:
b=2mn
a = x – y = m2 - n2
c = x + y = m2 + n2
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Possibili sviluppi o approfondimenti
Il primo è relativo all’esistenza di un triangolo rettangolo i cui lati sono numeri
interi e i cui cateti sono uguali. Abbiamo visto che i tentativi (10,10,15) e
(10,10,14) non avevano successo. In effetti un simile triangolo non può esistere,
pertanto quando si disegna un triangolo rettangolo i cui cateti sono uguali ed interi,
l’ipotenusa non è mai un numero intero. Una conseguenza di ciò sta nel fatto che
quando si disegna un triangolo rettangolo i cui cateti sono uguali ad 1, l’ipotenusa
di questo triangolo vale 2 .
Si può generalizzare il teorema di Pitagora sostituendo figure simili ai quadrati,
quindi “in un triangolo rettangolo l’area della figura descritta sull’ipotenusa è
uguale alla somma delle aree delle figure simili descritta sui cateti”. La
dimostrazione fa uso del fatto che, come dimostrato da Euclide sia per i poligoni
che per i cerchi, le figure simili descritte sui lati di un triangolo stanno tra loro
come i quadrati di segmenti corrispondenti. Ad esempio, nel caso di stelle simili, se
si prendono sulle due figure due segmenti corrispondenti, che possono essere uno
dei lati delle stelle, ma anche i segmenti che uniscono due punte consecutive, o
anche quelli che congiungono una punta con il vertice opposto, allora le aree delle
stelle sono proporzionali ai quadrati di questi segmenti.
Più precisamente, le aree s e S delle due stelle sono proporzionali ai quadrati dei
segmenti ab e AB, o a quelli dei segmenti ac e AC, o anche ai quadrati dei
segmenti ad e AD:
s:S=ab 2 :AB 2 =ac 2 :AC 2 =ad 2 :AD 2
Cioè risulta:
s=k ab 2 =h ac 2 =m ad 2
S=k AB 2 =h AC 2 =m AD 2
Con k,h e m costanti di proporzionalità diverse.
Così nel teorema di Pitagora, al posto dei quadrati costruiti sui cateti e
sull’ipotenusa, potremo mettere dei pentagoni, o dei triangoli simili, o dei
semicerchi, o qualsiasi tipo di figure, purchè simili tra loro, come le stelle per le
quali si può affermare che la stella costruita sull’ipotenusa è equivalente alle stelle
costruite sui cateti.
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Infatti, se chiamiamo S l’area della stella costruita sull’ipotenusa c e s 1 e s 2 quelle
delle stelle costruite sui cateti a e b, risulta:
S=h c 2 , s 1 = h a 2 , s 2 =h b 2
Ma per il teorema di Pitagora risulta:
c 2 = a 2 + b 2 quindi anche h c 2 = h a 2 + h b 2
ossia
S= s 1 + s 2
In un triangolo rettangolo, l’area della stella costruita sull’ipotenusa è uguale alla
somma delle aree delle stelle simili costruite sui cateti. Lo stesso vale per qualsiasi
altra figura.
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Verifica
1) Dimostrare che il quadrato costruito sull’altezza di un triangolo equilatero è
equivalente ai 3 del quadrato costruito su un lato.
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2) Dimostrare che se si congiunge un qualsiasi punto O interno ad un rettangolo ABCD
con i vertici, la somma dei quadrati che hanno per lati i due segmenti delle congiungenti
O con due vertici opposti è equivalente alla somma dei quadrati che hanno per lati i
segmenti delle altre due congiungenti.
3) La base di un rettangolo è i 5
della sua altezza e la loro differenza è 42 cm.
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Determinare perimetro ed area del rombo che si ottiene congiungendo successivamente
i punti medi dei lati del rettangolo.
4) Il perimetro del triangolo ABC, isoscele sulla base BC, è di 64 cm e la base supera di
13 cm ciascuno dei lati congruenti AB e AC. Determinare l’area dl triangolo. Sia D il
punto medio di AC e D’ il simmetrico di D rispetto a BC; detto A’ il punto simmetrico
di A rispetto a BC, determinare perimetro e area del trapezio ADD’A’.
5) Il teorema di Pitagora è valido per triangoli:
qualsiasi
equilateri
rettangoli
isosceli
6) Nel trapezio isoscele della figura, conoscendo la misura del lato obliquo AD e la
misura della sua proiezione AH sul lato AB,
posso calcolare la misura dell’altezza DH applicando il teorema di
Pitagora al triangolo ADB
posso calcolare la misura dell’altezza DH applicando il teorema di
Pitagora al triangolo ADH
posso calcolare la misura dell’altezza DH applicando il teorema di
Pitagora al triangolo DHB
non posso calcolare l’altezza
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7) I lati di un triangolo misurano 3cm, 4cm e 5cm. Che tipo di triangolo è:
qualsiasi
rettangolo
isoscele
equilatero
8) Vero o falso?
V
1
13; 5; 12 è una terna pitagorica
2
Una terna pitagorica è una terna di triangoli rettangoli
3
17; 9; 15 è una terna pitagorica
4
In una terna pitagorica il numero maggiore è uguale alla
somma degli altri due numeri
La diagonale di un quadrato è anche l’ipotenusa dei due
triangoli rettangoli in cui è suddiviso il quadrato
Da una terna pitagorica non se ne possono ricavare altre
5
6
7
8
Il lato del rombo è l’ipotenusa di uno dei triangoli
formati dalle diagonali
Utilizzando le misure dei lati (terne di numeri) si può
verificare se un triangolo è rettangolo oppure no
13
F
