AnalisiMat.II2007

Università di Roma “La Sapienza” – Facoltà di Ingegneria
Corso di Laura in Ingegneria Civile (Canale M-Z) – Ingegneria dei Trasporti (Canale A-Z)
Programma del corso di Analisi Matematica II A.A. 2006 –2007
Prof.ssa E. Vacca
Funzioni di più variabili:
Elementi di topologia di R2. Definizione di funzione di due variabili. Definizioni di limite:
condizione necessaria e condizione sufficiente per l’esistenza di un limite. Definizione di funzione
continua. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Derivate parziali e loro significato
geometrico; gradiente e sua interpretazione geometrica. Definizione di funzione derivabile. Derivate
di ordine successivo; Teorema di Schwarz. Teorema sulle derivate localmente limitate (dim.).
Teorema di decomposizione dell’incremento (dim.). Funzione composta di due variabili. Derivata
di funzione composta. Definizione di funzione differenziabile. Differenziale e suo significato
geometrico. Teorema: la differenziabilità implica la continuità (dim.). Teorema: la differenziabilità
implica la derivabilità. Teorema del differenziale. Definizione di derivata direzionale. Teorema per
la derivata direzionale di una funzione differenziabile. Funzioni con gradiente nullo in un connesso.
Formula di Taylor del secondo ordine: cenni. Funzioni a valori vettoriali: cenni. Minimi e massimi
relativi per funzioni di due variabili: liberi o vincolati su bordi parametrizzabili (segmenti,
circonferenze, ellissi, parabole, iperboli…). Ricerca del minimo e massimo assoluto per funzioni di
due variabili in domini limitati e non limitati.
Integrali doppi.
Cenni sulla misura di insiemi limitati in R². Definizione di dominio normale rispetto agli assi.
Definizione di integrale doppio: somme integrali. Riduzione di un integrale doppio a due
integrazioni lineari successive. Cambiamenti di variabile. Cambiamento da coordinate cartesiane a
coordinate polari. Formule di Dirichlet per domini simmetrici rispetto agli assi e per funzioni pari o
dispari.
Curve regolari; integrali curvilinei.
Curve generalmente regolari. Lunghezza di un arco di curva regolare. Ascissa curvilinea. Integrali
curvilinei di funzioni.
Forme differenziali lineari:
Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forma differenziale esatta. Teorema sul
calcolo della primitiva di un differenziale esatto (dim.). Teorema: cond. nec. e suff. affinché una
forma differenziale sia esatta (dim. cond. nec.). Interpretazione fisica dei differenziali esatti: campi
conservativi. Forma differenziale chiusa. Interpretazione fisica dei differenziali chiusi: campi
irrotazionali. Teorema: una forma esatta in un connesso è chiusa (dim.). Campi semplicemente
connesssi. Teorema: cond. suff. per l’esattezza in un campo semplicemente connesso. Forme
differenziali lineari in campi più volte connessi; Teorema: cond. suff. per l’esattezza in aperti più
volte connessi (dispense).
Superfici regolari; integrali superficiali.
Superfici regolari: coordinate parametriche; coordinate sferiche; coordinate cartesiane. Equazione
del piano tangente e della normale ed esso.
Integrali superficiali di funzioni. Area di una superficie.
Formule di Gauss – Green nel piano: domini regolari. Applicazioni: calcolo di aree; calcolo di
integrali doppi attraverso le formule di Gauss-Green.
Teorema della divergenza (dim.).
Definizione di divergenza. Flusso di una campo vettoriale. Applicazioni a campi vettoriali. Campi
solenoidali.
Teorema di Stokes.
Definizione di rotore. Interpretazione fisica: circuitazione di un campo vettoriale. Applicazioni a
campi vettoriali.
Equazioni differenziali.
Generalità; nomenclatura essenziale. Integrale generale, particolare e singolare.
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine. Teorema della struttura dell’integrale generale (dim.).
Teorema sulla struttura dell’integrale generale dell’equazione omogenea – metodo del fattore
integrante (dim.). Teorema di esistenza ed unicità della soluzione di un’ equazione differenziale
lineare del 1° ordine completa (dim.). Problema di Cauchy per le equazioni differenziali lineari del
1° ordine; teorema di esistenza e unicità.
Equazioni differenziali non lineari del 1° ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili:
teorema di esistenza e unicità. Problema di Cauchy per le equazioni differenziali a variabili
separabili: teorema di esistenza e unicità. Equazione di Bernoulli: teorema di esistenza ed unicità.
Problema di Cauchy per le equazioni differenziali di Bernoulli: teorema di esistenza e unicità.
Equazioni differenziali lineari del 2° ordine. Definizioni generali. Teorema della struttura delle
soluzioni. Teorema sulla struttura dell’integrale generale dell’equazione omogenea (dim.).
Equazioni differenziali lineari del 2° ordine a coefficienti costanti. Equazione omogenea associata:
integrale generale. Equazione completa: metodi per determinare un integrale particolare (metodo di
somiglianza e metodo di variazione delle costanti arbitrarie o metodo di Lagrange). Problema di
Cauchy per le equazioni differenziali del 2° ordine: teorema di esistenza e unicità.
(dim.): tutte le dimostrazioni ed i procedimenti seguiti a lezione vengono richiesti all’esame orale
con particolare attenzione verso quelli segnalati con il simbolo ‘(dim)’.
Testi consigliati per la teoria:
1) L. Cosimi - M.R. Lancia “MATEMATICA 2" Progetto Leonardo, Bologna, Ed. Esculapio.
2) P. Marcellini - C. Sbordone “ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA DUE", Liguori Editore.
3) A. Ghizetti - F. Rosati “ANALISI MATEMATICA", Vol. 1 e 2 Seconda edizione, Zanichelli.
4) M. Bramanti - C.D. Pagani - S. Salsa “MATEMATICA-Calcolo infinitesimale e algebra lineare"
Zanichelli.
Testi consigliati per gli esercizi:
TESTI D’ESAME DELLA PROF.SSA M.R. LANCIA
1) M. Amar - A. M. Bersani “Esercizi di ANALISI MATEMATICA" seconda edizione, Progetto
Leonardo, Bologna, Ed. Esculapio.
2) P. Marcellini - C. Sbordone “Esercitazioni di MATEMATICA" Vol. 2, parte prima e seconda,
Liguori Editore.
N.B. lo studente può prepararsi all’esame su uno qualsiasi dei testi consigliati seguendo gli appunti
presi a lezione. Coloro che non hanno seguito il corso sono pregati di rivolgersi al docente.