6.5 Energia cinetica di un punto materiale

CAPITOLO SESTO
LAVORO ED ENERGIA
6.1 Lavoro
1. In Fisica, l’idea di lavoro  di straordinaria importanza per il suo stretto legame con
l’idea di energia  è alquanto diversa da quella del linguaggio comune.

Supponiamo che a un dato istante t un punto materiale K abbia velocità v e sia

soggetto a una forza F che forma un angolo  con la velocità: durante l’intervallo di
tempo infinitesimo dt immediatamente successivo a t il punto K subirà allora lo

spostamento infinitesimo ds = v dt . Per definizione, il prodotto scalare tra i due vettori


F e ds rappresenta il lavoro compiuto da F durante dt :
 

[A]
dL = F  ds = F  v dt = F ds cos .
Si tratta chiaramente di una grandezza scalare, il cui valore (infinitesimo) potrà
risultare positivo, nullo o negativo a seconda che l’angolo  tra il vettore forza e il
vettore spostamento sia acuto, retto oppure ottuso. Un lavoro positivo si chiama a volte
lavoro motore, un lavoro negativo si chiama a volte lavoro resistente.

2. Il lavoro compiuto da una forza F durante un intervallo di tempo generico t è

semplicemente la somma degli infiniti lavori infinitesimi compiuti da F durante t.
Con la simbologia del calcolo integrale,
[B]
L=
P"
 P'

F  ds 
P"
 P ' F cos ds
dove P ' e P" sono la posizione iniziale e finale del punto mobile.
3. Supponiamo ad esempio che lungo la traiettoria si mantenga costante la componente
tangenziale F cos della forza (la componente cioè della forza nella direzione della
velocità): in tal caso è chiaro che nella somma di tutti gli infiniti termini infinitesimi del
tipo F ds cos la grandezza F cos può essere messa a fattor comune, cosicché in

definitiva il lavoro di F è dato semplicemente da F cos per la lunghezza del percorso
effettuato dal punto mobile.
Lavoro ed energia

4. Se invece (fig. 6.1) la forza F si mantiene
costante in direzione e valore al variare della
posizione del punto K su cui agisce, il lavoro

compiuto da F è semplicemente il prodotto

scalare tra F e la somma di tutti gli
spostamenti infinitesimi di K tra la posizione
iniziale P ' e la posizione finale P", somma che
non è altro che lo spostamento complessivo
157
F
P'

P' P"
P"
Figura 6.1
P ' P" :
[C]
 P"

L=F
ds  F  P ' P" .
 P'
Il lavoro di una forza costante (in direzione e valore) è quindi dato dal prodotto
F d cos del modulo della forza per la distanza d tra posizione iniziale e finale, per il
coseno dell’angolo tra forza e spostamento. Ovvero, il lavoro di una forza costante è il
prodotto della forza per la componente (positiva, negativa o nulla a seconda dei casi)
dello spostamento nella direzione della forza, oppure anche il prodotto dello
spostamento per la componente della forza nella direzione dello spostamento. In ogni
caso, sul valore del lavoro di una forza costante non influisce in alcun modo la
particolare forma della traiettoria seguita dal punto mobile tra P ' e P".
5. Tipico esempio di forza che si può ritenere costante è il peso dei corpi (l’attrazione
che la Terra esercita su di essi), ma solo relativamente a spostamenti molto piccoli in
confronto al raggio terrestre (diciamo non più di qualche decina di kilometri): la forza
peso è infatti sempre diretta verso il centro della Terra (e quindi cambia direzione
quando un corpo si sposta sulla superficie terrestre, o nello spazio circostante, come
accade ad esempio per un aereo o per un satellite artificiale) e diminuisce rapidamente
al crescere della distanza dalla Terra. Per spostamenti sufficientemente piccoli il lavoro
della forza peso è L =  mg h, dove mg (massa per accelerazione di gravità) è il peso del
corpo considerato, e h rappresenta il suo spostamento nella direzione del peso, vale a
dire il suo spostamento verticale (differenza di livello tra posizione iniziale e posizione
finale, presa in valore assoluto).[1]
Importante: in un campo gravitazionale uniforme [2] , il lavoro delle forze peso si può
sempre calcolare localizzando l’intera massa del sistema nel CM. [ 3]
1 1
 ) , dove G
r" r '
è la costante universale di gravitazione (6,67  10  11 Nm2 kg 2 ), m la massa del corpo in
movimento, M la massa della Terra, r ' la distanza iniziale dal centro della Terra, r " la distanza
finale.

2 Il campo è uniforme se l’accelerazione di gravità
g ha valore e direzione uguale in ogni punto.
1
Vedremo che su grande scala il lavoro della forza gravitazionale è L  GmM (
Tonzig  Elementi di Fisica Generale
158


6. Il lavoro invece di una forza del tipo F   k x (forza elastica) è
[D]
L

x"
 k x dx 
x'
k 2
( x'  x"2 ) .
2
Perciò, il lavoro della forza elastica proveniente da una molla è positivo quando la
deformazione iniziale x ' della molla è più grande della deformazione finale x".
7. Osservazione. Quando una forza è applicata non a un punto materiale ma a un corpo,
il calcolo del lavoro può dare adito a qualche ambiguità, e richiede pertanto molta
attenzione. Supponiamo ad esempio di far scivolare la punta di un dito sul piano del
tavolo: la forza che, per attrito, il dito esercita sul tavolo, compie o non compie lavoro?
Se consideriamo che il tavolo resta immobile, la risposta è no. Se però consideriamo che
il punto d’applicazione della forza si sposta insieme al dito, la risposta sembrerebbe
poter essere diversa. In realtà, la forza agisce su punti del tavolo sempre diversi ma
sempre immobili: il punto d’applicazione continua a cambiare, ma ha in ogni caso
velocità zero, cosicché il lavoro della forza è zero [4].
8. Si consideri infine un corpo rigido K girevole attorno a un asse z, e si supponga che

su K agisca una forza F applicata a un punto P la cui distanza da z è r. Se K compie
uno spostamento angolare infinitesimo d (espresso in radianti), P subisce uno
spostamento infinitesimo ds di valore ds = rd nella direzione della perpendicolare al
piano che contiene P e z, e la forza compie conseguentemente un lavoro di valore
assoluto dL = Ftr ds = Ftr r d , dove Ftr indica il modulo del «componente trasverso » di


F (componente di F nella direzione della perpendicolare al piano contenente P e z).

Dato che Ftr r è il modulo  del momento di F rispetto a z, si potrà anche scrivere dL =
 d . Nel caso  fosse costante, in relazione a uno spostamento angolare  di K il

lavoro di F avrebbe valore assoluto L =  .
6.2 Forze posizionali e forze conservative
1. Si chiamano posizionali le forze che dipendono (nel loro valore e nella loro
direzione) esclusivamente dalla posizione del punto K su cui agiscono: non dal tempo,
non dalla velocità di K, non da altre circostanze [5] . Il lavoro compiuto da una forza
3
4
Infatti L =
m gh  g m h  Mgh
i
i
i i
CM .
Quanto meno, se si prescinde dal lavoro relativo alle impercettibili deformazioni subite dalla
superficie del tavolo nei punti di contatto col dito, per effetto delle forze d’attrito. Si veda, nel
secondo volume, il punto 4 del par. 2 del capitolo Termodinamica.
5 Ad esempio, le forze d’attrito su un corpo A che striscia su un corpo B non sono posizionali
perché hanno sempre direzione contraria a quella della velocità di A rispetto a B, e quindi
dipendono dalla direzione di tale velocità. Non sono posizionali neanche le forze magnetiche,
Lavoro ed energia
159
posizionale quando il punto K di applicazione si sposta lungo una determinata traiettoria
da A a B è chiaramente uguale e contrario al lavoro che la forza compie quando, lungo
la stessa traiettoria, K si sposta da B ad A: in ogni punto del percorso risulta infatti
invertita la direzione del vettore velocità, e quindi rispetto a prima risulta uguale e
contrario il valore della componente tangenziale della forza.
2. Tra le forze posizionali hanno straordinario interesse le forze conservative, dette così
per il fatto che il loro lavoro «conserva », cioè lascia inalterato, il valore complessivo
dell’energia del corpo su cui agiscono: sono conservative le forze il cui lavoro dipende
dallo spostamento (subito dal punto K su cui agiscono) ma non dalla traiettoria (seguita
da K tra la posizione iniziale e quella finale). In altre parole, il lavoro di una forza
conservativa è univocamente determinato se sono assegnate la posizione iniziale e la
posizione finale del punto di applicazione. Se, in particolare, il punto di applicazione
descrive un percorso chiuso (posizione finale coincidente con la posizione iniziale) lo
spostamento è zero, e il lavoro delle forze conservative è a sua volta zero.[6]
Condizione necessaria ma non sufficiente perché una forza sia conservativa è che sia
posizionale: le forze conservative sono sempre posizionali, le forze posizionali possono
non essere conservative.[7]
3. Sono conservative tutte le forze fondamentali della natura:
(a) l’interazione gravitazionale (attrazione dipendente dalla massa dei corpi),
(b) l’interazione elettrostatica (attrazione - repulsione dovuta alla carica elettrica dei
corpi),
(c) l’interazione forte (interazione tra protoni e neutroni nel nucleo di un atomo, e tra i
quark costitutivi di un protone o di un neutrone),
(d) l’interazione debole (responsabile tra l’altro della radioattività  [8], è l’unica forza
«universale », l’unica cioè che agisce tra qualsiasi coppia di particelle).
perché dipendono anch’esse dalla velocità della particella su cui agiscono: sono infatti sempre
perpendicolari alla velocità e sono direttamente proporzionali al suo valore.
6 Il lavoro delle forze d’attrito su un percorso chiuso può avere, a seconda delle diverse
circostanze, qualsiasi valore. Se ad esempio facciamo strisciare un corpo K sul pavimento fino a
riportarlo alla posizione iniziale, il lavoro delle forze d’attrito applicate a K è in ogni istante
negativo, perciò il lavoro sull’intero percorso chiuso sarà negativo, con un valore assoluto tanto
più grande (a parità di ogni altra circostanza) quanto più lungo è il percorso effettuato. Se invece
il piatto di un giradischi (o di un forno a microonde) entra in rotazione trascinando rigidamente
con sé, per effetto dell’attrito, un oggetto K appoggiato su di esso, fino a che la velocità di
rotazione cresce il lavoro della forza d’attrito applicata a K è positivo: lo si comprende subito se
si schematizza K come puntiforme, e si considera che rispetto alla traiettoria di K la forza
d’attrito ha un componente trasversale che corrisponde alla forza centripeta e non compie
lavoro, e un componente tangenziale equiverso alla velocità di K (il cui valore in effetti
aumenta). Conseguentemente, nei primi giri il lavoro sul percorso chiuso di un giro è positivo.
7 Esempio di forze posizionali ma non conservative sono le forze di un campo elettrico
«indotto » (un campo elettrico prodotto dalle variazioni di un campo magnetico).
8 Emissione di elettroni da parte di nuclei atomici.
160
Tonzig  Elementi di Fisica Generale
6.3 Unità di misura per il lavoro
L’unità internazionale è il joule (simbolo J), che corrisponde al lavoro compiuto da una
forza avente valore costante 1 N e direzione costante, quando lo spostamento (del punto
d’applicazione) nella direzione della forza è 1m.
L’unità CGS è l’erg (simbolo erg), che corrisponde al lavoro compiuto da una forza
avente valore costante 1 dyn e direzione costante, quando lo spostamento nella
direzione della forza è 1cm. Risulta 1 J = 1 N  1 m = 10 5 dyn  10 2 cm = 10 7 erg.
In Elettrotecnica è largamente usata un’altra unità di lavoro, il wattora (simbolo Wh),
e più ancora l’unità mille volte più grande (kilowattora, kWh). Il wattora è il lavoro
compiuto in 1 h, quando ad ogni secondo viene compiuto il lavoro di 1 J . Pertanto, 1
Wh = 3 600 J, e 1 kWh = 3 600 000 J. [ 9]
6.4 Potenza
1. È la grandezza che misura la rapidità di esecuzione del lavoro. Se nell’intervallo di
tempo t viene eseguito il lavoro L, il rapporto L/t indica quanto lavoro è stato
mediamente compiuto nell’unità di tempo, ovverossia la potenza media. Se si
considera invece un intervallo di tempo infinitesimo dt, il rapporto dL/dt, in cui dL è il
lavoro infinitesimo eseguito in dt, è la potenza istantanea, la rapidità cioè con la quale
all’istante considerato viene eseguito lavoro. Per la [A] di pag. 156 risulta
 
 
F  v dt
dL
[E]
P=
=
= F v .
dt
dt
Vale a dire: il prodotto scalare tra forza e velocità (del punto su cui la forza agisce)
corrisponde alla potenza istantanea, esprime cioè la rapidità con cui la forza in questione

sta compiendo lavoro. Se la forza F è applicata a un corpo rigido che ruota con

velocità angolare di modulo  attorno a un asse z rispetto al quale il momento di F ha
modulo  , risulta analogamente P =    .
2. L’unità internazionale di potenza è il watt (simbolo W), che corrisponde al lavoro di
1 J in 1 s. Nella tecnica sono molto usati i multipli kilowatt (1 kW =10 3 W ) e megawatt
(1 MW = 10 6 W ). Resta tuttora in uso in ambito tecnico anche la vecchia unità cavallo
vapore, che corrisponde a circa 3/4 di kilowatt (1 CV = 0,735 kW ). Il numero che
L’unità del sistema pratico era il kilogrammetro (simbolo kgf  m), pari al lavoro compiuto da
una forza avente valore costante 1 kg e direzione costante, quando lo spostamento nella direzione
della forza è 1 m. Un kilogrammetro corrisponde dunque a 1 kgf  1 m = 9,8 N  1 m = 9,8 J .
In termodinamica si usa spesso come unità di lavoro il litroatmosfera (l  atm), corrispondente a
poco più di 100 J (1 l  atm = 101,3 J).
In Fisica delle particelle è spesso comodo utilizzare un’unità di lavoro denominata elettronvolt
(eV). Risulta 1 eV = 1,6  10 – 19 J.
9
Lavoro ed energia
161
misura una data potenza in kW è conseguentemente circa i 3/4 del numero che misura la
stessa potenza in CV.
6.5 Energia cinetica di un punto materiale
1. Si definisce energia cinetica di un punto materiale, avente massa m e velocità v, la
1
grandezza scalare EC = mv 2 .
2
2. Il significato di tale grandezza  che ha le stesse dimensioni di un lavoro [10], e si
misura quindi mediante le stesse unità  è espresso dal seguente fondamentale teorema:
l’aumento dell’energia cinetica è uguale al lavoro delle forze:
[A]
(EC) = L.
Se cioè, in un dato intervallo di tempo, le forze applicate a una particella hanno
compiuto un lavoro L, in quel dato intervallo di tempo il valore dell’energia cinetica di
quella particella è aumentato di L. Ovviamente, parlare di «aumento » dell’energia
cinetica non significa che l’energia cinetica debba sempre e solo aumentare: per
«aumento » dell’energia cinetica si deve intendere semplicemente la differenza tra il
valore finale e il valore iniziale. Il lavoro L delle forze applicate può risultare nullo o
negativo: nel primo caso l’aumento dell’energia cinetica è zero, nel secondo caso
l’aumento dell’energia cinetica è negativo, il che significa che il valore finale è inferiore
al valore iniziale (e quindi che l’energia cinetica è in realtà diminuita).
In modo equivalente, potremo esprimere il teorema dell’energia cinetica nei seguenti
termini: l’energia cinetica finale è uguale all’energia cinetica iniziale più il lavoro delle
forze:
[B]
ECf = ECi + L.
Se, in particolare, supponiamo che l’energia cinetica iniziale sia zero, otteniamo ECf
= L. Perciò possiamo dire che l’energia cinetica di una particella K avente velocità v
corrisponde al lavoro che le forze applicate a K hanno dovuto compiere per portarne la
velocità da zero a v. Analogamente, quando l’energia cinetica finale è zero risulta ECi =
 L. Così, dire che l’energia cinetica di una particella è uguale a 5 erg corrisponde a dire
che sarebbe necessario un lavoro resistente di 5 erg (un lavoro di  5 erg) per annullare
la velocità della particella.
A queste semplicissime considerazioni può essere riportato in ogni caso in Fisica (al
di là dei diversi contesti in cui può comparire) il significato ultimo del termine
«energia». [ 11]
[ EC] = ML2 T 2 = [ L].
Sull’alone di mistero che per lo più circonda, a volte anche nei manuali scolastici, la parola
energia, si veda in 100 errori di Fisica il capitolo 41 («Il mistero e la crisi »).
10
11
Tonzig  Elementi di Fisica Generale
162
3. Dimostrazione della [A]. Il lavoro elementare dL è

 
 
 



 
dv 
 v dt  mv  dv  mv  [( dv ) tg  (dv ) n ]  mv  (dv ) tg .
dL = F  v dt  ma  v dt  m
dt
 
Si osservi ora che, indicata con v la velocità scalare, risulta v  (dv ) tg = v dv.
Consideriamo infatti dapprima i valori assoluti: quello della velocità scalare v è uguale

al modulo di v , quello dell’incremento dv della velocità scalare è uguale al modulo del


componente tangenziale dell’incremento d v del vettore v . Consideriamo poi il segno:


se v e (dv ) tg sono equiversi (prodotto scalare positivo) il vettore velocità si sta
allungando, quindi il modulo della velocità scalare è in aumento, il che significa che v e


dv hanno ugual segno (e il prodotto è positivo). Se invece v e (dv ) tg sono controversi
(prodotto scalare negativo), il vettore velocità si sta accorciando, dunque il modulo della
velocità scalare è in diminuzione, il che significa che v e dv hanno segno opposto (e il
prodotto è negativo). Possiamo pertanto scrivere dL = mv dv. Conseguentemente,
L

v"
v'
mv dv   (
mv 2
) , che è quanto volevamo dimostrare.
2
4. Si noti: osservatori inerziali diversi attribuiscono a una data forza lo stesso valore e la
stessa direzione, ma vedono in generale spostamenti diversi e quindi valutano in modo
diverso il lavoro che da quella forza viene compiuto. [12]
Esempio: su un ascensore che procede in salita
con velocità costante v0 (figura), il signor K '
lascia cadere una pallina. Nel tempo necessario
perché, rispetto all’osservatore esterno «fisso » (il
signor K ), la velocità della pallina passi da v0

verso l’alto (la velocità dell’ascensore) a zero, K
K'
v0
vede un lavoro negativo del peso (forza verso il
K
basso,
spostamento
verso
l’alto)
con
annullamento della velocità della pallina, mentre
K ' vede un lavoro positivo (forza verso il basso,
spostamento verso il basso) con aumento della
Figura 6.2
velocità da zero a v0 .
12
Si veda il capitolo Dinamica relativa.
Lavoro ed energia
163
6.6 Energia cinetica di un sistema di punti materiali
1. L’energia cinetica di un corpo (o di un qualsivoglia sistema materiale) è la somma
delle energie cinetiche dei punti materiali che lo costituiscono.
2. a) Nel caso di moto rigido di traslazione, tutti i punti del sistema hanno nello stesso
istante la stessa velocità, per cui, indicata con M la massa complessiva, l’energia
cinetica del sistema è semplicemente
1
2
M v 2.
b) Nel caso di moto rigido di rotazione, tutti i punti del sistema descrivono
circonferenze coassiali con uguale velocità angolare , cosicché la velocità lineare v =
 r è proporzionale al raggio della circonferenza percorsa. L’energia cinetica di un
singolo punto è
1
2
m 2 r 2, l’energia cinetica dell’intero sistema è la somma di tanti
termini dello stesso tipo quanti sono i punti del sistema. Mettendo a fattor comune, in
tale somma, la grandezza
[A] EC =
1
2
1
2
 2, otteniamo che l’energia cinetica del sistema è
J 2
dove con J si è indicata la somma di tutti i termini del tipo mr 2 (vale a dire la somma
m1 r12 + m2 r22 + ...) : tale somma rappresenta il momento d’inerzia del sistema rispetto
a quel dato asse di rotazione.
3. Se cambia l’asse di rotazione, cambia (in generale almeno) il valore del momento
d’inerzia di uno stesso sistema. Vale al riguardo un’importante proprietà (teorema di
Steiner, o «degli assi paralleli »): se un sistema di massa M ha momento d’inerzia J0
rispetto a un asse x0 passante per il centro di massa, il momento d’inerzia rispetto a un
asse x parallelo a x0 e distante d da x0 è
[B] J = J0 + Md 2.
Perciò: tra tutti gli assi aventi uguale direzione, quello rispetto al quale il momento
d’inerzia è minimo passa per il centro di massa.
4. Il calcolo matematico del momento d’inerzia può essere effettuato solo per corpi a
geometria regolare. Ad esempio, considerando corpi omogenei:
a) per un cilindro di massa M e raggio R, si trova che il momento d’inerzia rispetto
all’asse geometrico è
1
2
MR2 ;
b) per un cilindro cavo di raggio interno r e raggio esterno R, il momento d’inerzia
rispetto all’asse geometrico è
13
1
2
M (r 2 + R 2 ) ;[13]
Per un cilindro vuoto (r = R) la formula diventa J = M R 2.
Tonzig  Elementi di Fisica Generale
164
c) per una sfera di massa M e raggio R, il momento d’inerzia rispetto a un qualsiasi asse
passante per il centro è
2
5
MR 2 ;
d) per una sbarra omogenea di massa M e lunghezza L il momento d’inerzia rispetto a
un asse baricentrale perpendicolare alla sbarra è ML 2 /12 .
5. Il momento d’inerzia rispetto a un asse passante dal centro di massa si può sempre
misurare direttamente mediante un pendolo di torsione [14] (col teorema di Steiner si può
quindi dedurre il momento d’inerzia rispetto a un asse qualsiasi).
6. Il momento d’inerzia rappresenta per l’accelerazione angolare quello che la massa
rappresenta per l’accelerazione lineare del centro di massa : la massa di un corpo
misura la sua capacità di contrastare per inerzia le variazioni della velocità lineare del
centro di massa, il momento d’inerzia rispetto a un dato asse misura analogamente la
capacità di un corpo di contrastare per inerzia le variazioni della velocità angolare
attorno a quell’asse. Alla relazione Fe = MaCM (somma delle forze esterne uguale a
massa complessiva per accelerazione del centro di massa) fa riscontro l’analoga
relazione rotazionale
[C]  e = J
(momento risultante delle forze esterne uguale a momento d’inerzia per accelerazione
angolare).[15]
7. Un moto rigido può a volte essere descritto come un moto di rotazione attorno a un
asse di rotazione la cui posizione cambia nel tempo [16]. In tal caso l’energia cinetica può
essere calcolata come nel caso di moto rotatorio: EC =
1
2
J 2, dove naturalmente il
momento d’inerzia deve essere riferito all’asse di rotazione.
14
Il pendolo di torsione viene realizzato sospendendo un corpo C ad un filo: in condizioni di
equilibrio, il filo giace lungo una retta che passa necessariamente dal baricentro di C . Se ora viene
fatto ruotare attorno a tale retta, e viene poi abbandonato all’azione delle forze elastiche
provenienti dal filo, C recupera la posizione iniziale solo dopo una serie di movimenti di
rotazione, alternativamente in un senso e nel senso opposto. Si dimostra (pag. 257) che la durata
di un’oscillazione completa (andata e ritorno) è T = 2 J / k , dove J è il momento d’inerzia di
C rispetto all’asse di rotazione, e k è la costante elastica torsionale del filo (costante di
proporzionalità tra momento della coppia di forze proveniente dal filo e angolo di rotazione).
15 Importante: come si vedrà al capitolo dinamica rotazionale, tale relazione vale solo se l’asse di
rotazione è fisso, oppure se si sposta senza cambiare direzione: il momento delle forze e il
momento d’inerzia devono inoltre essere calcolati entrambi rispetto a uno stesso asse, che può
essere o l’asse di rotazione, oppure un asse passante per il centro di massa e parallelo all’asse di
rotazione. L’accelerazione angolare che figura nella [C] è invece (come la velocità angolare) un
dato assoluto (uguale quindi sia rispetto al primo sia rispetto al secondo di tali assi).
16 Si noti che, se l’asse di rotazione contiene punti del corpo, tali punti hanno velocità zero. Più
che di «asse di rotazione in movimento» sembra perciò opportuno parlare di «asse di rotazione via
via diverso».
Lavoro ed energia
165
Esempio: supponiamo che un cilindro omogeneo di raggio R rotoli con velocità
angolare  senza strisciare: in tal caso il suo asse geometrico si sposta con velocità v0 =
R [17]. Essendo il moto del cilindro un moto di rotazione attorno alla retta di contatto, e
tenendo conto che il momento d’inerzia del cilindro rispetto a tale retta è (teorema di
Steiner)
1
3
1
1 3
3
MR 2 + MR 2 = MR 2, si trova EC = J 2 = ( MR 2 )  2 = Mv02 =
2
2
2
2 2
4
0,75 Mv0 2. Ciò significa che, se rotola senza strisciare, un cilindro omogeneo possiede
un’energia cinetica del 50 % superiore a quella (
1
M v0 2 ) che avrebbe qualora avanzasse
2
con la stessa velocità, ma scivolando senza ruotare.
Per una sfera omogenea che rotola senza strisciare risulta analogamente EC =
1
2
J 2
con J = 2 MR 2/5 + MR 2, cosicché in definitiva EC = 0,70 M 2R 2 = 0,70 Mv02. L’energia cinetica di una sfera che rotola senza strisciare è maggiore del 40 % rispetto all’energia cinetica che, a pari velocità di avanzamento, la sfera avrebbe se animata da
moto di pura traslazione.
8. Si osservi attentamente che, a differenza della quantità di moto, l’energia cinetica di
un sistema materiale non può in generale essere calcolata concentrando idealmente
tutta la massa nel centro di massa : la cosa è possibile solo nel caso di moto traslatorio.
Ad esempio, per un cilindro omogeneo in rotazione attorno al proprio asse geometrico
la velocità del centro di massa è zero ed è zero la quantità di moto, ma è ovviamente
diversa da zero l’energia cinetica.
9. Consideriamo un moto rigido di rotazione. Se un corpo subisce una rotazione d 

attorno a un certo asse, una forza F applicata in un punto posto P a distanza r dall’asse

compie un lavoro dL = Ftr r d =  d (dove Ftr è il componente traverso di F , il
componente cioè ortogonale al piano contenente P e l’asse di rotazione, e dove  è il

momento di F rispetto all’asse di rotazione). Perciò il lavoro complessivo delle forze è
anche esprimibile come  tot d. Tale lavoro uguaglia l’incremento dell’energia cinetica
complessiva (data in questo caso dall’espressione J  2/2).
10. Si dimostra (secondo teorema di König) che l’energia cinetica di un qualsiasi
sistema materiale si può sempre esprimere come somma di due termini: l’energia
cinetica «traslazionale », o «del centro di massa » (l’energia cinetica che il centro di
massa avrebbe se in esso fosse concentrata la massa dell’intero sistema) più l’energia
cinetica «rispetto al centro di massa » (ossia l’energia cinetica del sistema vista nel
Dato che, per l’assenza di strisciamento, la generatrice di contatto tra cilindro e terreno ha
velocità zero, l’asse di rotazione coincide precisamente con tale generatrice (il moto del cilindro si
può quindi descrivere come una rotazione con velocità angolare  attorno a un asse che si sposta
sul terreno con la stessa velocità con cui si sposta l’asse del cilindro). Da ciò deriva che, essendo
R la distanza dell’asse del cilindro dall’asse di rotazione, la sua velocità è v =  R .
17
Tonzig  Elementi di Fisica Generale
166
riferimento del centro di massa, cioè di quel riferimento che  dal punto di vista di un
qualsiasi osservatore inerziale  si muove di moto traslatorio con la velocità del centro
di massa). Ad esempio, per un cilindro che rotola senza scivolare l’energia cinetica «del
centro di massa » è
con J =
EC =
3
4
1
2
1
2
Mv0 2 , l’energia cinetica «rispetto al centro di massa » è
1
2
J 2,
MR 2. Essendo per ipotesi  R = v0 (puro rotolamento), si ottiene in definitiva
Mv0 2, lo stesso risultato ottenuto in precedenza.
Si osservi che il riferimento del centro di massa non è in genere inerziale (è inerziale
solo se nei riferimenti inerziali il moto del CM è rettilineo e uniforme, il che si verifica
se è zero la somma delle forze esterne applicate al sistema considerato).
11. Da quanto già sappiamo sulla proprietà fondamentale del CM (quella di comportarsi
come una ipotetica particella dotata di tutta la massa del sistema e soggetta a tutte le
forze applicate al sistema) discende che l’energia cinetica del CM si può calcolare
tenendo conto di un lavoro fittizio da taluni Autori denominato «pseudolavoro »: quello
che verrebbe compiuto dalla forza risultante se fosse applicata nel CM.
12. Il teorema dell’energia cinetica può essere applicato a qualsiasi sistema fisico,
purché si riesca a tener conto del lavoro compiuto da tutte le forze, e in particolare di
quello compiuto dalla forze interne. In pratica, nel caso di corpi che subiscono
deformazioni il calcolo dell’energia cinetica non è in genere possibile, perché il lavoro
delle forze interne resta indeterminato.
Primo esempio: una molla (reale, dotata di massa) inizialmente in quiete viene allungata
mediante applicazione di due forze di trazione uguali e contrarie ai suoi estremi, fino a
una nuova situazione di quiete. In definitiva, l’energia cinetica della molla non ha subito
variazioni: è zero all’inizio, è zero alla fine. Eppure, le forze esterne hanno compiuto un
lavoro positivo, e le forze interne (intese come forze di contatto tra parti macroscopiche
contigue della molla) hanno compiuto esattamente tanto lavoro motore quanto lavoro
resistente. Da che cosa, allora, è stato annullato il lavoro positivo delle forze esterne?
Secondo esempio: supponiamo che, nella
situazione mostrata dal disegno a lato, la
molla sia agganciata al blocco, e sia invece
semplicemente appoggiata alla parete fissa
a sinistra: se la molla è inizialmente
compressa, quando la molla si distende il
sistema molla + blocco parte verso destra. Da dove proviene l’energia cinetica della
molla? La forza della parete non ha compiuto lavoro, la forza del blocco ha compiuto un
lavoro resistente, le forze interne (intese come forze di contatto tra parti macroscopiche
adiacenti) hanno compiuto tanto lavoro motore quanto lavoro resistente.
Chiaramente, in entrambi i casi considerati il teorema dell’energia cinetica non può
essere applicato alla molla per il fatto che non riusciamo a tener conto delle forze che
agiscono internamente a livello microscopico (dove non esiste interazione «a contatto»)
Lavoro ed energia
167
per effetto delle deformazioni del reticolo (scorrimento l’uno sull’altro di piani reticolari
contigui, con variazione della distanza tra particelle adiacenti e con lavoro complessivo
delle forze di azione e reazione diverso da zero: positivo quando la deformazione
diminuisce, negativo quando la deformazione cresce)18.
13. Nessun corpo reale è rigorosamente rigido: nell’applicazione del teorema dell’energia cinetica, la schematizzazione di corpo rigido può pertanto portare a volte a
valutazioni errate. Questo accade tipicamente nel calcolo del lavoro delle forze di attrito
radente: nel caso di un blocco che scivola, calcolare tale lavoro come prodotto della
forza d’attrito per lo spostamento del blocco fornisce un risultato corretto per l’energia
cinetica del blocco, ma è di per sé del tutto errato. Il risultato per l’energia cinetica è
corretto solo perché in questo specifico caso (moto di traslazione) l’energia cinetica del
blocco viene a coincidere con l’energia cinetica del CM (che subisce uno spostamento
pari a quello del blocco, e al quale possiamo fingere sia applicata la forza d’attrito). Ma
porre uguale a forza d’attrito per spostamento del blocco il lavoro d’attrito è
concettualmente assurdo: se così fosse, il lavoro complessivo delle forze applicate al
blocco sarebbe zero, e non troverebbe spiegazione l’effetto di riscaldamento (cioè di
aumento dell’energia cinetica del moto di agitazione termica) che il blocco subisce 19.
QUESTIONARIO
1
2
18
Una ipotetica forza avente direzione sempre uguale a quella della velocità del punto
su cui agisce non sarebbe conservativa (vero /falso).
Una pallina P di massa 40 g procede con velocità costante 15 cm/s in un piano
verticale lungo una circonferenza di centro O. Si determini con quale rapidità il
peso della pallina compie lavoro:
(a) nell’istante in cui il segmento OP è verticale;
(b) quando il segmento è ruotato di 30°;
(c) quando il segmento è ruotato di altri 60°.
Alle deformazioni del reticolo devono essere ricondotti anche gli attriti interni alla molla, per
effetto dei quali parte dell’energia cinetica prodotta viene convertita in energia cinetica del moto
di agitazione termica.
19 È uno di quei casi in cui la schematizzazione di corpo rigido non funziona: le forze
che, per attrito, sono applicate al blocco, agiscono su zone superficiali il cui moto risulta
bruscamente ostacolato con effetti di deformazione locale. Le forze d’attrito agiscono cioè su
punti il cui moto, rallentato rispetto a quello complessivo del blocco, dà luogo a spostamenti
inferiori. Nel caso, del tutto teorico, di un blocco perfettamente rigido l’effetto di riscaldamento
non avrebbe luogo. Tale questione sarà ripresa nel capitolo Termodinamica.
168
Tonzig  Elementi di Fisica Generale
Si verifichi la validità del teorema dell’energia cinetica relativamente al caso di un
punto materiale di massa m la cui velocità cresce linearmente nel tempo da v1 a v2
quando la sua distanza dalla posizione di riferimento varia da x1 a x2 .
4 Un corpo di massa m cade nel vuoto partendo da fermo da un’altezza h. Con quale
velocità arriva al suolo?
5 Un corpo di massa m viene lanciato verticalmente verso l’alto con velocità v.
Determinare l’altezza h raggiunta.
6 Un corpo di massa 500 g, lanciato in aria verticalmente verso l’alto con velocità v0
= 20 m/s, raggiunge l’altezza di 15 m. Determinare l’energia perduta per effetto
della resistenza dell’aria.
7 Un corpo soggetto solo al peso cade verticalmente da un livello 1 a un livello 2
acquistando una velocità di 10 m/s. Se ne può dedurre (vero /falso) che se la
velocità iniziale fosse 10 m/s la velocità finale sarebbe 20 m/s, e più in generale che
se la velocità iniziale è v la velocità finale è v + 10 m/s.
8 Un corpo viene lanciato con velocità v0 , nel senso della salita, lungo un piano
inclinato privo di attrito. Si dimostri che, se si trascura la resistenza dell’aria,
l’altezza raggiunta è del tutto indipendente dall’inclinazione del piano.
9 Un sasso viene lanciato obliquamente verso l’alto nel vuoto: dopo il lancio agisce
solo la forza peso. Si determini in funzione della velocità di lancio (valore e
direzione) l’altezza h raggiunta.
10 Un blocco C di massa m scivola senza attrito con velocità v0 lungo un piano
orizzontale, soggetto solo al peso e alla reazione del vincolo. La corsa di C viene
poi arrestata da una molla elastica di costante k, che rilancia C in direzione opposta.
Se interessa che la molla non si deformi troppo, è più importante che sia piccola la
massa oppure che sia piccola la velocità di C ?
11 Un corpo C di massa m è sospeso a un filo: immediatamente al disotto di C c’è una
molla di costante k. Di quanto si comprime la molla se si taglia il filo?
3
12 Moto armonico con ampiezza A = 16 cm e con energia cinetica massima ECmax =
= 80 erg. Determinare il valore dell’energia cinetica a 12 cm, a 8 cm, a 4 cm dal
centro O.
13 Un corpo C di massa m, fissato all’estremità di una molla di costante k, oscilla di
moto armonico. Come varia la velocità massima al variare dell’ampiezza? Come
varia, per una data ampiezza, la velocità in funzione dell’elongazione x?
14 Un pendolo è costituito da una sferetta fissata a un’asta rigida di massa trascurabile.
Determinare a quale sforzo l’asta deve resistere, considerando ampiezze angolari di
oscillazione di 60°, 90°, 120°, 180°.
K
15 Problema «del giro della morte ». Da quale
C
altezza minima deve partire (con velocità
iniziale zero) il blocchetto K (fig. 6.3), soggetto
solo al peso e alla reazione del vincolo, per
riuscire a effettuare l’intero percorso senza mai
staccarsi dalla guida sulla quale scorre? Si
consideri nullo l’attrito, ma si chiarisca in che
Figura 6.3
Lavoro ed energia
16
17
18
19
20
21
22
23
169
modo il risultato verrebbe modificato dalla
presenza dell’attrito.
Supponiamo che, nella situazione descritta al quesito precedente, il blocchetto parta
da un punto posto all’altezza del punto C. A quale altezza si staccherebbe dalla
guida in assenza di attrito? Che influenza avrebbe l’attrito sulla posizione del punto
di distacco?
Due fionde sono costruite con elastici aventi diversa costante k di elasticità. Quale
delle due conviene usare se ciò che interessa è lanciare il sasso alla maggior
distanza possibile?
Se un sistema di forze ha risultante zero, il relativo lavoro è zero e quindi non
influisce sul valore dell’energia cinetica (vero / falso).
Si chiarisca da quali elementi dipende il tempo impiegato da un cilindro omogeneo
a percorrere un piano inclinato di lunghezza L, supponendo che l’attrito sia
abbastanza grande da impedire al cilindro di scivolare: si confronti il risultato con
quello che si sarebbe ottenuto nel caso di attrito zero. Si descrivano valore e
direzione della reazione del vincolo.
Si esamini lo stesso problema con riferimento a una sfera omogenea.
Un disco omogeneo, il cui asse ha direzione orizzontale, è vincolato in modo da
poter oscillare senza attrito attorno alla più alta delle sue generatrici. Sapendo che
inizialmente il disco è in equilibrio sotto l’azione del peso e della reazione del
vincolo, determinare lo spostamento angolare subito dal disco per effetto di un urto
che gli imprime una velocità angolare  .
Una tonnellata d’acqua, inizialmente contenuta in un recipiente a forma di
parallelepipedo a base quadrata di lato L = 0,5 m, viene trasferita mediante una
pompa in un recipiente cilindrico di raggio R = 0,25 m. Le basi dei due recipienti
sono allo stesso livello, la potenza assorbita dalla pompa è P = 0,5 kW e la portata è
Q = 5 l/s. Determinare il lavoro compiuto dalle forze d’attrito tra l’inizio del
pompaggio e la fine di ogni movimento della
P
massa d’acqua. [ 20]

O
F
Un punto P fissato ad un filo si muove di moto
circolare uniforme attorno a O (fig.3),
scivolando senza attrito su un piano d’appoggio,
la cui reazione neutralizza l’effetto del peso:
tirando o rilasciando il filo noi possiamo
modificare il raggio della circonferenza percorsa
da P. Con quale velocità verrà percorsa la nuova
circonferenza?
Figura 3
20
Prova scritta d’esame, Politecnico di Milano (Prof. A. Dupasquier).
Tonzig  Elementi di Fisica Generale
170
RISPOSTE
1 Vero. Essendo sempre e solo positivo, il lavoro di tale forza non potrebbe essere
zero su un percorso chiuso.
2 La rapidità di esecuzione del lavoro (potenza) corrisponde al prodotto scalare tra
 
forza e velocità. Nel primo caso i due vettori sono ortogonali, quindi mg  v = 0.
 
Nel secondo caso l’angolo tra i due vettori è 60°, cosicché mg  v = mg v cos 60° =
= 40 g  981 cm/s2  15 cm/s  0,5 = 2,94  10 5 erg/s. Nel terzo caso i due vettori
 
sono paralleli ed equiversi, perciò mg  v = mg v = 40 g  981 cm/s2  15 cm/s =
5,89  10 5 erg/s.
3 Il punto si muove con accelerazione scalare costante a (positiva), il componente
tangenziale della forza risultante (quello che compie lavoro) ha modulo costante ma,
il lavoro di tale forza è L = ma (x2  x1). Essendo il moto uniformemente vario,
risulta v22 = v12 + 2a (x2  x1 ), da cui moltiplicando per m/2 si ottiene 1 mv22 =
2
1
2
mv12 + L.
4 Per il teorema dell’energia cinetica,
1
2
mvf 2 = mgh, da cui vf = 2gh , risultato già
noto dalla cinematica.
5 Per il teorema dell’energia cinetica, 0 = mv2/ 2  mgh , da cui h = v2/ 2g, risultato già
noto dalla cinematica.
6 Il corpo arriva per ipotesi a quota 15 m con energia cinetica zero, mentre in assenza
d’aria l’energia cinetica nella stessa posizione sarebbe stata 1 mv02  mgh =
2
= (0,5  202/2  0,5  9,81  15) J = 26,4 J. Questa energia è stata azzerata dal lavoro
negativo della resistenza dell’aria.
7 Falso. Ciò che resta sempre uguale nel passaggio dal livello 1 al livello 2 è il lavoro
della forza peso: perciò l’aumento dell’energia cinetica è sempre lo stesso, vale a
dire è sempre uguale l’aumento v22  v12 del quadrato della velocità. Ciò significa
che (come si ottiene subito anche con considerazioni di cinematica [21] ) l’aumento
della velocità è tanto più piccolo quanto più grande è la velocità iniziale. Un modo
per rendersene conto è di considerare che risulta v22  v12 = (v2 + v1) (v2  v1) : se, al
crescere di v1 , il prodotto a secondo membro è, come il primo membro, sempre
uguale, essendo il primo dei due fattori sempre più grande il secondo deve essere
sempre più piccolo.
8 La velocità finale è zero, il lavoro delle forze si riduce al lavoro del peso (in assenza
di attrito la reazione del vincolo non contrasta in alcun modo il movimento del
21
La velocità aumenta in ogni caso di 9,81 m/s per ogni secondo, ma più grande è la velocità
iniziale più rapidamente il corpo passa dal livello iniziale al livello finale, e quindi più breve è il
tempo a disposizione della velocità per aumentare.
Lavoro ed energia
171
corpo, cioè è perpendicolare alla sua velocità e non lavora). Pertanto 0 =
1
2
mv02 
mgh , da cui h = v 2 / 2g, esattamente come se il corpo fosse stato lanciato
verticalmente nel vuoto. Al variare dell’inclinazione del piano, resta comunque vero
che la velocità finale è zero, quindi è sempre uguale il lavoro del peso tra posizione
iniziale e posizione finale, cioè è sempre uguale l’altezza raggiunta.


9 Sia v0 la velocità di lancio, sia  l’angolo tra v0 e il piano orizzontale. Per l’assen
za di forze orizzontali, la componente orizzontale di v0 ha valore v0 cos costante.
Pertanto nel punto più alto della traiettoria, dove la velocità ha direzione orizzontale,
risulta v = v0 cos. Per il teorema dell’energia cinetica 1 m (v0 cos ) 2 = 1 mv02 
– mgh , cioè h = v0 (1  cos ) / 2g = (v0 sen ) / 2g.
2
2
2
2
2
10 Sia x la deformazione massima della molla. In corrispondenza a tale valore della
deformazione l’energia cinetica del blocco è zero, il lavoro compiuto dalla molla è
m
. Sulla deformazione della
k
molla influisce più la velocità che la massa del blocco. Per dimezzare la
deformazione basta dimezzare la velocità, mentre occorrerebbe rendere quattro volte
più piccola la massa.

1
2
kx 2. Pertanto 0 =
1
2
m v02 
1
2
11 Il lavoro della forza elastica è 
kx 2, da cui x = v0
1
2
kx 2, il lavoro della forza peso è + mgx. L’energia
cinetica di C è zero sia nell’istante iniziale che nell’istante finale (massima
compressione della molla). Dunque, il lavoro complessivo deve essere a sua volta
zero:
mgx  1 kx 2 = 0, da cui x = 0 (molla indeformata) oppure x = 2mg / k (che è la
2
soluzione che ci interessa). [ 22]
12 Il lavoro della forza elastica da un estremo al centro O è kA 2 / 2 = 80 erg. Se il
punto mobile si sposta da O a un estremo il lavoro è perciò  80 erg. Se lo
spostamento x da O è quattro volte più piccolo dell’ampiezza (4 cm anziché 16) il
lavoro ( kx 2/2 ) è 4 2 = 16 volte più piccolo ( 5 erg). Analogamente, se lo
spostamento da O è 8 cm (A/2) il lavoro è 80 /4 erg =  20 erg, e se lo
spostamento da O è 3/4 di A il lavoro è (3 /4 )2 = 9/16 di  80 erg, cioè  45 erg. In
definitiva, a 4 cm da O l’energia cinetica è (80  5) erg = 75 erg , a 8 cm da O è
(80  2 0) erg = 60 erg , a 12 cm da O è (80  45) erg = 35 erg.
Chiaramente, sarebbe stato anche possibile ricavare k /2 dall’uguaglianza kA 2 / 2 =
80 erg, e poi applicare la formula per il lavoro di una forza elastica.
22
Si noti che sarebbe gravemente erroneo cercare la soluzione imponendo la condizione mg = kx ,
imponendo cioè che sia zero la forza complessiva sul C . Tale valore di x corrisponde o a una
possibile situazione di equilibrio, oppure al fatto che è zero l’accelerazione di C (e massima la sua
velocità), e quindi non alla situazione di massima deformazione della molla.
172
Tonzig  Elementi di Fisica Generale
13 L’energia cinetica massima corrisponde al lavoro kA 2 / 2 tra un estremo e il centro
dell’oscillazione, perciò la velocità massima è direttamente proporzionale all’ampiezza. L’energia cinetica a distanza x dal centro è uguale all’energia cinetica a
distanza A (zero) più il lavoro da tale distanza fino a distanza x:
mv2/2 = (k/2) (A 2  x 2 ), da cui v = 
k
( A2  x 2 ) .
m
14 Lo sforzo a cui l’asta è sottoposta è uguale (in modulo) alla forza V esercitata
dall’asta sulla sferetta. Se  è la distanza angolare della sferetta dalla posizione di
equilibrio, durante l’oscillazione deve essere V = mg cos + mv 2/R. Chiaramente, il
massimo valore di V si verifica nella posizione centrale ( = 0). In tale posizione
l’energia cinetica mv 2/2 è uguale al lavoro mg (R  R cos max) eseguito dalla forza
peso a partire dalla posizione in cui è v = 0. Dunque nella posizione centrale mv2/R
= 2mg (1  cos max), da cui V = mg (3  2 cos max). Per i valori indicati di  max i
valori di cos max sono rispettivamente 1/2, 0, 1/2, 1, e corrispondentemente V
risulta uguale a 2 mg , 3 mg , 4 mg , 5 mg .
15 Mentre K percorre l’anello (fig. 6.4), la
C
reazione V del vincolo, misurata in senso
centripeto, è V = mg cos + mv 2/R. Il primo
termine a secondo membro diventa negativo
per  > 90°: in tal caso, se il valore del
secondo termine non è sufficientemente
grande, il valore di V risulta negativo, il che

sta ad indicare che V è diretto in senso
mg cos
centrifugo, con valore sempre più gran-de man
mano che  aumenta. In realtà, un vin-colo di
puro appoggio come l’anello da noi
mg
considerato non è in grado di esercitare forze
dirette in senso centrifugo: ciò significa che
Figura 6.4
l’ultimo punto di contatto per K è quello che
corrisponde a V = 0, immediatamente dopo la forza centripeta risulta (per la
mancanza di una reazione centrifuga) più grande di quella che corrisponde al raggio
di curvatura R, e conseguentemente il raggio di curvatura della traiettoria risulta
minore di R, il che corrisponde a dire che K si stacca dalla guida.
La risposta al quesito proposto si ottiene imponendo che l’ultimo punto di contatto
sia l’estremo superiore C del diametro verticale dell’anello: V = mg cos 180 ° +
mv 2/R = 0, da cui [A] v 2 = gR. Se h è l’altezza del punto di partenza su C, sarà
mv 2/2 = mgh, cioè [B] v 2 = 2gh. Facendo sistema della [A] e della [B] si ottiene h =
R/2. Per non perdere mai il contatto con la guida il blocchetto K deve partire da una
posizione sopraelevata di almeno R/2 rispetto a C. In caso di attrito, occorrerà che
il blocchetto parta da una posizione più elevata (h ' > h), in modo che il maggior
lavoro (mgh ') della forza peso compensi il lavoro negativo compiuto dalla forza
Lavoro ed energia
173
d’attrito, e la velocità di passaggio in C rimanga la stessa di prima (la minima che il
blocchetto può avere quando compie l’intero giro senza staccarsi).[23]
16 La reazione del vincolo è V = mg cos + mv2/R = 0. Il lavoro della forza peso tra la
posizione iniziale e una posizione generica (la cui distanza angolare dal punto più
basso dell’anello è  ) è mg (R + R cos), e corrisponde all’energia cinetica mv2/2
acquisita dal blocchetto. Facendo le opportune sostituzioni otteniamo V =
= mg (3 cos + 2 ). Nell’ultimo punto di contatto è V = 0, cioè cos =  2 /3. Ciò
significa che l’altezza dell’ultimo punto di contatto è inferiore di R/3 rispetto a
quella del punto di partenza.
Se ci fosse attrito, a pari posizione la velocità risulterebbe inferiore a prima.
Dunque, a una quota R/3 al di sotto del punto di partenza il componente radiale del
peso (diretto in senso centripeto) risulterebbe questa volta più grande della forza
centripeta mv2/R, il che richiederebbe non una reazione del vincolo uguale a zero,
ma a una reazione del vincolo diretta in senso centrifugo. Questo significa che la
posizione in cui V = 0 (l’ultimo punto di contatto) si trova questa volta più in basso.
17 Dobbiamo evidentemente ragionare a parità di forza applicata all’elastico, e quindi
anche a parità di forza che l’elastico esercita sul sasso nel momento della sua
massima deformazione: kx max = cost. Il lavoro compiuto sul sasso dall’elastico
mentre recupera la lunghezza normale è k x 2max /2 = (k x max) 2 / 2 k = F 2max / 2 k.
Essendo per ipotesi costante il numeratore, il lavoro dell’elastico risulta tanto più
grande quanto più piccolo è il valore di k. Dato che tale lavoro rappresenta l’energia
cinetica conferita al sasso in fase di lancio, conviene usare la fionda il cui elastico si
lascia deformare con più facilità.
18 Falso. Ad esempio, una coppia di forze ha risultante zero, ma per effetto di una
coppia di forze un corpo rigido entra in movimento ed acquista energia cinetica.
Quello che un sistema di forze a risultante zero non può modificare è la velocità del
centro di massa, e quindi la quantità di moto del sistema.
19 L’asse di rotazione coincide con la linea di contatto: la sua accelerazione è quella
che nel quesito viene indicata come «accelerazione del cilindro ». Quando l’asse di
rotazione ha percorso una distanza x, il lavoro compiuto dalla forza peso è Lg =
= Mg xsen . Dato che la reazione del vincolo non lavora, sarà Mg x sen = EC =
= (3/4) Mv 2, vale a dire v 2 = (4 /3) g x sen , il che significa che l’asse del cilindro si
muove di moto uniformemente vario con accelerazione 2 g sen [ 24]. L’accelera3
zione del cilindro dipende dunque esclusivamente dall’inclinazione del piano. Tutti
23
Per effetto dell’attrito e della conseguente diminuzione della velocità, il blocchetto potrebbe in
realtà staccarsi dopo essere passato da C .
24
Nel moto uniformemente vario è v 2  v02  2a ( s  s0 ) .
Tonzig  Elementi di Fisica Generale
174
i cilindri omogenei lasciati rotolare da una stessa altezza lungo uno stesso piano
inclinato impiegano lo stesso tempo [ 25] per arrivare in fondo:
2L
3L

.
2
g sen
g sen
3
La massa, il volume, l’altezza, il raggio non hanno dunque alcuna influenza. In
assenza di attrito il cilindro sarebbe sceso scivolando senza ruotare con
accelerazione g sen , e sarebbe giunto in fondo allo scivolo in un tempo T
T=
=
2L
. Se scivola senza ruotare, il tempo impiegato dal cilindro è inferiore
g sen 
per un fattore 3 / 2 = 1,23 perché la sua velocità è in ogni istante superiore per
uno stesso fattore. La reazione del vincolo consta in ogni caso di un componente
perpendicolare al piano di appoggio uguale e contrario al componente trasversale
P cos del peso (in tal modo la forza trasversale complessiva è zero, come deve
essere essendo rettilineo il moto del centro di massa), e in più, se c’è attrito, di un
componente parallelo al piano, diretto in senso opposto al componente tangenziale.
Se c’è abbastanza attrito da produrre un moto di puro rotolamento, la forza d’attrito
ha valore (P sen ) /3 (come richiesto dal fatto che l’accelerazione del centro di
massa del cilindro è in questo caso a = 2 g sen , e l’accelerazione prodotta dal
3
peso è g sen).
20 Rispetto al caso del cilindro cambia l’espressione dell’energia cinetica: EC =
= 0,7Mv 2 (anziché 0,75 Mv 2 ). Per l’accelerazione dell’asse di rotazione si ottiene
questa volta a = 5 g sen . Anche qui, l’accelerazione dipende esclusivamente
7
dall’inclinazione del piano. A pari inclinazione l’accelerazione della sfera è
superiore per un fattore 1,07 a quella del cilindro. A parità quindi di ogni altra
circostanza, il tempo impiegato dalla sfera è più piccolo per un fattore
1,03.
21 Se scriviamo che il lavoro resistente del peso
(valore assoluto mgh , dove h è lo spostamento
verticale del baricentro) uguaglia l’energia cinetica
iniziale ½ J  2 = ¾ MR 2  2 del disco, otteniamo h
= ¾  2R 2/g , e quindi (fig. 6.5) cos = (R  h) /R =
1  3 2R /4g.
1,07 =

Figura 6.5
22 Alla fine e all’inizio l’acqua è immobile: il lavoro
complessivo delle forze applicate (gravitazionali,
25
Nel moto uniformemente vario la distanza dalla posizione di riferimento è s = s 0 + v 0 t + a t 2 / 2,
quindi il tempo necessario per percorrere una distanza s  s 0 = L con partenza da fermo è t =
= 2L / a .
Figura 6.6
Lavoro ed energia
175
dovute alla pompa, di attrito) è dunque zero: Lg + Lp + La = 0. Risulta Lg = Mg h,
avendo indicato con h lo spostamento verticale del baricentro G. Inizialmente G si
trova a quota 2 m (il volume dell’acqua è infatti 1 m3, distribuito entro un
parallelepipedo di base 0,25 m2 e altezza 4 m). Alla fine, l’acqua occupa un cilindro
di base  R 2 = 0,196 m2 e altezza (1 m3 / 0,196 m2 ) = 5,093 m, perciò G è a quota
2,546 m. Lo spostamento verticale di G è dunque 0,55 m verso l’alto, per cui Lg = =
 1000 kg  9,81 ms – 2  0,55 m =  5400 J. Il lavoro Lp della pompa è la potenza P
per il tempo t di funzionamento, uguale al volume dell’acqua (1000 litri) diviso la
portata (5 litri/s), uguale quindi a 200 s. Risulta Lp = 500 W  200 s = 100 000 J. Il
lavoro delle forze d’attrito è perciò  (Lp  Lg ) =  (100 000  5 400) J =  94 600 J.
23 Supponiamo che il raggio r della circonferenza subisca un incremento infinitesimo
dr negativo. La forza centripeta mv2/r compirà allora il lavoro dL =  (mv2/r) dr,
positivo, a fronte del quale la velocità subità l’incremento dv. Per il teorema dell’energia cinetica sarà allora ½ m(v+dv)2 = ½ mv2  (mv2/r) dr. Trascurando a
primo membro l’infinitesimo del secondo ordine (dv)2, otteniamo (v2/2) + 2vdv =
v2/2  (v2/r) dr, da cui (dv)/v =  (dr)/r e, per integrazione, ln v = ln r + k, dove k è
una costante. Dunque ln (vr) = k, e quindi vr = cost. La velocità di percorrenza di
una circonferenza è inversamente proporzionale al raggio.
Al capitolo Dinamica Rotazionale (pag.238, esempio 3) vedremo che il problema si
può risolvere in modo più semplice applicando il teorema del momento angolare.