3 ottobre 2011

Teoria dei numeri e Crittografia: lezione del 3 ottobre 2011
Alcuni dei principali argomenti trattati nel corso saranno i seguenti: studio della Teoria dei Numeri
(soprattutto l’aritmetica dei numeri interi e in particolare dei numeri naturali, cioè degli interi >0),
costruzione di algoritmi che coinvolgono i numeri interi, applicazioni della teoria dei numeri alla
Crittografia.
Testo consigliato:
Baldoni, Ciliberto, Piacentini Cattaneo: “Aritmetica, Crittografia e Codici”
Altri testi utili:
Rosen: “Elementary Number theory”
Koblitz: “A Course in Number Theory and Cryptography”
(tutti disponibili per la consultazione presso la Biblioteca del Dipartimento).
Teoria della “Big-O”
Lo scopo di questa teoria (fondata da Bachman e Landau) è quello di confrontare la “velocità di
crescita” di una funzione con quella di una funzione di riferimento: la teoria sarà poi applicata allo
studio della complessità degli algoritmi.
Tutte le funzioni che considereremo sono definite sull’insieme N dei numeri naturali e assumono
valori reali positivi, e questo porterà ad alcune semplificazioni rispetto alla teoria classica.
Una definizione classica è la seguente: date due funzioni f, g, diremo che f è dominata da g (o che
g domina f) se esistono 2 costanti reali c, k tali che per ogni x c si abbia f(x) kg(x).
Esempio. La funzione f(x)=3x2+9 è dominata dalla funzione g(x)=x2: infatti per x3 si ha x29 da
cui
f(x)=3x2+93x2+x2=4x2=4g(x)
e si ottiene la condizione della definizione, con le costanti c=3, k=4 .
La condizione che la funzione f sia dominata dalla funzione g è equivalente alla seguente: esistono
2 costanti reali c, k tali che per ogni x N, xc si abbia f(x)/g(x)k , (dunque il rapporto f(x)/g(x) è
limitato, per x “abbastanza grande”).
Ma possiamo osservare che la nostra ipotesi che le funzioni siano definite sull’insieme N dei numeri
naturali implica che in tale caso il rapporto f(x)/g(x) è limitato in assoluto: se infatti x0 è un
qualunque numero naturale  c, posto
k0=max{f(1)/g(1)),f(2)/g(2),......, f(x0-1)/g(x0-1),k}
si ha f(x)/g(x) k0 per ogni numero naturale x (infatti se x<x0 allora ovviamente f(x)/g(x) k0 e se
xx0c egualmente f(x)/g(x) k  k0).
Dunque la definizione della condizione f è dominata da g si può dare in modo equivalente nel
modo seguente (almeno per la categoria di funzioni di cui ci occupiamo): esiste una costante reale k
tale che per ogni x si abbia f(x) kg(x).
Tuttavia dal punto di vista operativo, per verificare che f è dominata da g talvolta é più facile
trovare un valore della costante k che limita il rapporto f(x)/g(x) per xc (con c costante opportuna)
piuttosto che trovare un valore k che limita il rapporto f(x)/g(x) per ogni valore di x.
Esempio. Verifichiamo che la funzione esponenziale f(x)=ax (per ogni base reale a>1) è dominata
dalla funzione g(x)=x! .
Fissiamo un qualunque numero naturale ca e notiamo che per ogni xca si ha :
f(x)/g(x)=ax/x!=(ac/c!){ax-c/[(c+1)(c+2)…x]}(ac/c!)
(l’ultimo  è giustificato dall’osservazione che nella frazione ax-c/[(c+1)(c+2)…x] il numeratore ed
il denominatore sono entrambi prodotto di x-c fattori, e si possono accoppiare i fattori del
numeratore e denominatore in modo che ogni fattore del numeratore sia < del corrispondente fattore
del denominatore).
Dunque f(x)/g(x)k (dove k=(ac/c!)) per ogni xc e si conclude che f è dominata da g : sarebbe
stato più difficile calcolare una costante k tale che f(x)/g(x) k per ogni valore di x.
Dal punto di vista “pratico” affermare che la funzione f è dominata dalla funzione g equivale ad
affermare che in un certo senso la funzione f(x) cresce non più velocemente di g(x) (perchè il
rapporto f(x)/g(x) è limitato).
In questo senso la teoria permette di confrontare le velocità di crescita di 2 funzioni.
Ovviamente la relazione di dominazione è riflessiva perché ogni funzione f domina sé stessa (basta
scegliere nella definizione il valore 1 per la costante k): più in generale se f(x)  g(x) per ogni xc
(con c costante) allora g domina f .
Inoltre la relazione di dominazione è transitiva: se h domina g e se g domina f, allora h domina f:
infatti se esistono costanti reali k, m tali che si abbia g(x) kh(x), f(x) mg(x), allora si avrà f(x)
(mk)h(x), con mk costante reale.
Per ogni funzione g indicheremo con O(g) l’insieme delle funzioni dominate da g:
O(g) = { funzioni f / f è dominata da g }.
Quindi g domina f  fO(g).
Dalla transitività della relazione di dominazione segue facilmente che:
g domina f  O(f)O(g).
Infatti: se g domina f , per transitività g domina ogni funzione h che sia dominata da f, da cui
O(f)O(g); viceversa se O(f)O(g) per la proprietà riflessiva si ha fO(f)O(g) quindi g domina f.
Chiameremo ordine della funzione f l’insieme O(f) : se f è dominata dalla funzione g (quindi
equivalentemente se O(f)O(g)) diremo che f ha ordine O(g).
Nota: in molti testi il fatto che la funzione f sia dominata dalla funzione g si rappresenta con il
simbolo f = O(g) (simbolo della big-O introdotto da Bachman nel 1894 e in seguito diffuso dai
lavori di Landau). Tale simbologia è però poco precisa dal punto di vista formale, perché la
relazione di dominazione è più una relazione di “minore o uguale” che una relazione di
“eguaglianza” (come dimostrano le proprietà riflessiva e transitiva).
Se f domina g e se g domina f, diremo che l’ordine di f è uguale all’ordine di g: questa
terminologia è ovviamente giustificata dal fatto che, per quanto dimostrato sopra, la proprietà che le
funzioni f, g si dominano a vicenda equivale all’eguaglianza insiemistica O(f)=O(g).
Dal punto di vista pratico si ha O(f)=O(g) se f, g hanno in un certo senso la stessa “velocità di
crescita”.
Se O(f)O(g) ma O(f)O(g) (quindi se g domina f ma non viceversa, o equivalentemente se
O(f)O(g) con inclusione propria) diremo che l’ordine di f é strettamente minore dell’ordine di
g: ciò in pratica significa che in un certo senso la “velocità di crescita” di f è strettamente minore di
quella di g.
Per avere una stima della velocità di crescita della funzione f , spesso cercheremo una funzione di
riferimento “ben conosciuta” g tale che f sia dominata da g (quindi tale che fO(g) o
equivalentemente O(f)O(g)) : non sempre troveremo una g “ottimale” (sarebbe tale se fosse
O(f)=O(g) quindi con f , g dello stesso ordine) ma per gli scopi pratici potrà spesso bastare.
Vedremo che un criterio per confrontare gli ordini delle funzioni f, g è quello di studiare il limite del
rapporto f(x)/g(x) per x :
1) Se tale limite esiste finito è noto (da risultati di Analisi) che il rapporto f(x)/g(x) è limitato,
dunque g domina f , O(f)O(g), ed f è di ordine O(g).
2) Se tale limite esiste ed è = , allora g non domina f , perché è noto (sempre da risultati di
Analisi) che in questo caso il rapporto f(x)/g(x) è illimitato.
3) Da 1) e 2) segue anche che se tale limite esiste finito ed è non nullo allora O(f)=O(g)(quindi
f , g hanno lo stesso ordine): infatti detto l il limite, si ha che il limite del rapporto g(x)/f(x)
per x è l-1<, e basta applicare la proprietà 1) per ottenere che f, g si dominano
reciprocamente. Se invece tale limite esiste finito ed è = 0 allora O(f)<O(g) (quindi f ha
ordine strettamente inferiore a g): infatti per la 1) g domina f , ma per la 2) f non domina g
essendo  il limite del rapporto g(x)/f(x) per x.
4) Se tale limite non esiste, niente si può dire, se non con ulteriori considerazioni, sugli ordini
di f, g (che potrebbero anche non essere confrontabili).
Esempi.
1) Date le funzioni f , g definite rispettivamente da:
f(x)=1 per x dispari, f(x)=x per x pari
g(x)=x per x dispari, g(x)=1 per x pari
non esiste il limite del rapporto f(x)/g(x) per x, in quanto f(x)/g(x)=1/x per x dispari, f(x)/g(x)=x
per x pari. Poiché il rapporto f(x)/g(x) è illimitato si deduce che g non domina f, ma poiché anche il
rapporto g(x)/f(x) è illimitato (perché g(x)/f(x)=x per x dispari e g(x)/f(x)=1/x per x pari) si deduce
che neanche f domina g : dunque gli ordini di f e g non sono “confrontabili”.
2) Date le funzioni f , g definite rispettivamente da:
f(x)=1/x per x dispari, f(x)=x per x pari
g(x)=2/x per x dispari, g(x)=x2 per x pari
non esiste il limite del rapporto f(x)/g(x) per x, in quanto f(x)/g(x)=1/2 per x dispari,
f(x)/g(x)=1/x per x pari. Poiché però il rapporto f(x)/g(x) è limitato si deduce che g domina f, ma
poiché invece il rapporto g(x)/f(x) è illimitato (perché g(x)/f(x)=2 per x dispari e g(x)/f(x)=x per x
pari) si deduce che f non domina g : dunque O(f)<O(g) ed f ha ordine strettamente inferiore a g.
Per valutare l’ordine di una funzione f si considerano varie categorie di funzioni g (di riferimento)
con cui confrontare l’ordine di f, ottenendo vari “tipi” di ordine.
La funzione f ha ordine polinomiale di grado n (dove n è un intero non negativo) se f ha ordine
O(g) dove g è una funzione polinomiale di grado n della forma:
g(x) = a0+a1x+……+anxn
con i coefficienti ai reali, e con an≠0.
Si noti che in tale caso si ha O(a0+a1x+……+anxn )= O(xn) perché il limite del rapporto f(x)/g(x) per
x è an≠0.
Dunque equivalentemente: la funzione f ha ordine polinomiale di grado n (dove n è un intero non
negativo) se f è di ordine O(xn).