Esame di Probabilità ed Inferenza Statistica 13 Dicembre 2007 docente: Prof.ssa J. Mortera Cognome _______________________________ Nome __________________________ Firma __________________________________Matricola ______________________ Al termine di ogni esercizio è lasciato lo spazio per scrivere la soluzione (corredata degli opportuni passaggi). Verrà accettato in consegna solo il presente plico. All’occorrenza usate anche il retro dei fogli. Le risposte alle domande a risposta multipla devono essere giustificate, altrimenti la risposta non è valida. Le risposte esatte possono essere più di una. I quesiti in corsivo hanno carattere teorico. La prova si ritiene superata se si raggiunge la sufficienza sia sugli esercizi sia sulla parte teorica. 1.[6] La “nota” casa produttrice di CD “Tarochetti” sostiene che il 2% dei CD prodotti è difettoso. a) Paolo acquista 6 CD, qual è la probabilità che almeno uno di essi sia danneggiato? b) Una Società di Servizi decide di rifornirsi dalla “Tarochetti” ma prima vuole controllare un lotto di 100 dischetti e decide di stipulare il contratto se non più di 2 dischetti sono difettosi. Qual è la probabilità di accettare il lotto? c) La società rifiuta il lotto ed accusa la “Tarochetti” di avere dichiarato il falso perché dei 100 dischetti ben 6 non funzionano; ritenete che la società abbia ragione? 2.[5] Il numero X di guasti incorsi alle diverse componenti di una marca di computer durante 5 anni ha dato luogo alla seguente distribuzione 0 X 246 n. guasti 1 120 2 26 3 8 a. Nell'ipotesi che i dati seguono una distribuzione di Poisson, calcolare il numero di guasti attesi. b. Verificate la validità dell'ipotesi al livello di significatività del 5%. 1 3.[4] Si vuole fare un’indagine sul consumo delle famiglie. Si procede ad intervistare un campione di 100 famiglie. Alcune famiglie possono avere delle remore a rispondere all’indagine a seconda del lavoro che svolge il capo famiglia. Da una precedente indagine, si sa che il 13% delle famiglie sono lavoratori indipendenti, il 39% sono lavoratori dipendenti, il restante 48% sono non occupati. La probabilità di ricevere una risposta è 1/4 se la famiglia appartiene alla categoria lavoratori indipendenti, è 1/2 se la famiglia appartiene alla categoria lavoratori dipendenti, ed è un 1/3 se la famiglia appartiene alla categoria non-occupati. a) Qual è la probabilità di una risposta per una famiglia scelta a caso? b) Sapendo che la famiglia ha risposto, qual è la probabilità che appartenga alla categoria lavoratori indipendenti? 4. [5] Illustrare le principali proprietà della distribuzione normale e motivare la rilevanza della distribuzione normale nell’inferenza statistica. 2 5. [6]È stato osservato un campione casuale di case vendute tra il 15 febbraio e il 30 aprile 2007; 78 di queste case si trovano nel quartiere Eur e 44 si trovano nel quartiere Ostiense. L’indagine ha fornito le seguenti informazioni sui prezzi a mq. I prezzi delle case a mq vendute nel quartiere Eur hanno media campionaria 110 Euro e varianza campionaria 100; i prezzi a mq delle case vendute nel quartiere Ostiense, hanno invece media campionaria 97 e varianza campionaria 90. Nell’ipotesi di normalità della distribuzione dei prezzi: a) si può affermare che il prezzo a mq medio nel quartiere Eur sia superiore al prezzo a mq medio nel quartiere Ostiense? (usare un livello di significatività pari all’10%). b) Costruire l’intervallo di confidenza al 95% per il prezzo a mq medio di vendita nel quartiere Eur. c) Determinare la numerosità campionaria necessaria per ridurre l’intervallo della metà. 6. a) b) c) d) e) [6] Dato un campione casuale di ampiezza n, X1, X2, . . ., Xn definire uno stimatore definire la proprietà di non distorsione di uno stimatore definire la proprietà di efficienza di uno stimatore definire uno stimatore consistente in MSE. Illustrare le proprietà b)-d) sullo stimatore X per una popolazione Bernouillana. 3 4