esame del 13-12-2007 - Servizio di Hosting di Roma Tre

Esame di Probabilità ed Inferenza Statistica
13 Dicembre 2007
docente: Prof.ssa J. Mortera
Cognome _______________________________ Nome __________________________
Firma __________________________________Matricola ______________________
Al termine di ogni esercizio è lasciato lo spazio per scrivere la soluzione (corredata degli
opportuni passaggi). Verrà accettato in consegna solo il presente plico. All’occorrenza
usate anche il retro dei fogli.
Le risposte alle domande a risposta multipla devono essere giustificate, altrimenti la
risposta non è valida. Le risposte esatte possono essere più di una.
I quesiti in corsivo hanno carattere teorico. La prova si ritiene superata se si raggiunge la
sufficienza sia sugli esercizi sia sulla parte teorica.
1.[6] La “nota” casa produttrice di CD “Tarochetti” sostiene che il 2% dei CD prodotti è
difettoso.
a) Paolo acquista 6 CD, qual è la probabilità che almeno uno di essi sia danneggiato?
b) Una Società di Servizi decide di rifornirsi dalla “Tarochetti” ma prima vuole controllare
un lotto di 100 dischetti e decide di stipulare il contratto se non più di 2 dischetti sono
difettosi.
Qual è la probabilità di accettare il lotto?
c) La società rifiuta il lotto ed accusa la “Tarochetti” di avere dichiarato il falso perché dei
100 dischetti ben 6 non funzionano; ritenete che la società abbia ragione?
2.[5] Il numero X di guasti incorsi alle diverse componenti di una marca di computer durante
5 anni ha dato luogo alla seguente distribuzione
0
X
246
n. guasti
1
120
2
26
3
8
a. Nell'ipotesi che i dati seguono una distribuzione di Poisson, calcolare il numero di guasti
attesi.
b. Verificate la validità dell'ipotesi al livello di significatività del 5%.
1
3.[4] Si vuole fare un’indagine sul consumo delle famiglie. Si procede ad intervistare un
campione di 100 famiglie. Alcune famiglie possono avere delle remore a rispondere
all’indagine a seconda del lavoro che svolge il capo famiglia. Da una precedente indagine, si
sa che il 13% delle famiglie sono lavoratori indipendenti, il 39% sono lavoratori dipendenti, il
restante 48% sono non occupati.
La probabilità di ricevere una risposta è 1/4 se la famiglia appartiene alla categoria lavoratori
indipendenti, è 1/2 se la famiglia appartiene alla categoria lavoratori dipendenti, ed è un 1/3 se
la famiglia appartiene alla categoria non-occupati.
a) Qual è la probabilità di una risposta per una famiglia scelta a caso?
b) Sapendo che la famiglia ha risposto, qual è la probabilità che appartenga alla
categoria lavoratori indipendenti?
4. [5] Illustrare le principali proprietà della distribuzione normale e motivare la rilevanza
della distribuzione normale nell’inferenza statistica.
2
5. [6]È stato osservato un campione casuale di case vendute tra il 15 febbraio e il 30 aprile
2007; 78 di queste case si trovano nel quartiere Eur e 44 si trovano nel quartiere Ostiense.
L’indagine ha fornito le seguenti informazioni sui prezzi a mq. I prezzi delle case a mq
vendute nel quartiere Eur hanno media campionaria 110 Euro e varianza campionaria 100; i
prezzi a mq delle case vendute nel quartiere Ostiense, hanno invece media campionaria 97 e
varianza campionaria 90. Nell’ipotesi di normalità della distribuzione dei prezzi:
a) si può affermare che il prezzo a mq medio nel quartiere Eur sia superiore al prezzo a mq
medio nel quartiere Ostiense? (usare un livello di significatività pari all’10%).
b) Costruire l’intervallo di confidenza al 95% per il prezzo a mq medio di vendita nel
quartiere Eur.
c) Determinare la numerosità campionaria necessaria per ridurre l’intervallo della metà.
6.
a)
b)
c)
d)
e)
[6] Dato un campione casuale di ampiezza n, X1, X2, . . ., Xn
definire uno stimatore
definire la proprietà di non distorsione di uno stimatore
definire la proprietà di efficienza di uno stimatore
definire uno stimatore consistente in MSE.
Illustrare le proprietà b)-d) sullo stimatore X per una popolazione Bernouillana.
3
4