Esercitazioni del 18/01/2007

Esercitazioni del 12/03/2010
Problema 1)
Considerati i vettori a=(2,3,1), b=(3,-5,9) e c=(-2,-6,-2):
a) Calcolarne il modulo
b) Verificare che a e b sono perpendicolari fra loro
c) Calcolare l’ angolo minimo fra a e c e b e c
d) Calcolare a × b e a × c
Soluzione
a)

a  2 2  32  1  14

b  3 2  5 2  9 2  115

c  2 2  6 2  2 2  44
b)
Se i due vettori sono perpendicolari allora a•b=0. Verifichiamo:
 
a  b  2  3  3 5  9  0
c)
Per calcolare l’ angolo tra i due vettori partiamo dalla definizione di prodotto scalare
  
a  c  a c cos 
da cui
 
a c
 4  18  2
 12
  arccos    arccos
 arccos
 2,88rad  1650
ac
14 * 44
154
E cosi’ per l’ altro angolo
3
  arccos
 1,49rad  85 0
115 11
d)



 
a  c  (6  6)i  (4  2) j  (12  6)k  (0,2,6)
 
b  c  (64,12,28)
Problema 2) (non fatto a lezione)
Considerati i vettori a=(2,3) e b=(4,2). Trovare:
a) Il modulo di a, b, a+b e a-b
b) L’ angolo formato da a, b, a+b e a-b con l’ asse x
c) L’ angolo tra a e b
Soluzione
a)
come fatto nell’ esercizio precedente

a  13

b  20
 
a  b  61
 
a b  5
b)
dobbiamo utilizzare
 
a
ax
2
 ax  arccos    arccos x  arccos
 56 0
ax
a
13
E cosi’ per gli altri vettori
 bx  27 0 , ( ab) x  390 , ( ab) x  1530 .
c)
 ab
 
a b
 arccos    290
ab
Oppure bastava fare
 ab   ax   bx
Problema 3)
Determinare il versore che forma angoli uguali con i tre assi cartesiani e trovare il valore
comune degli angoli.
Soluzione
L’angolo tra un generico vettore e gli assi cartesiani vale
 
ay
a
a
ax
 ax  arccos    arccos x ;  ay  arccos  ;  az arccos z
a x
a
a
a
Affinchè gli angoli siano uguali deve essere:
ax a y az
      ax  a y  az
a
a
a
Quindi poichè si tratta di un versore

2
2
2
2
a  1  a x  a y  a z  3a x  1
Da cui
1
ax  a y  az 
3
E l’ angolo vale
1
 ax  arccos
 0,955rad  55 0
3
Rotazioni teoria: vedi Focardi pag 61-63
Teoria caduta grave: vedi Focardi 3-17, pagg 112-119
Nel caso in cui il moto del punto materiale sia in tre dimensioni la sua posizione in
funzione del tempo puo’ essere espressa attraverso le componenti lungo gli assi
cartesiani.

r (t )  ( x(t ), y (t ), z (t ))
Le equazioni orarie delle tre componenti permettono di individuare la traiettoria del punto
materiale.
Un grave in caduta libera e’ soggetto all’ accelerazione di gravita’ g costante. In un

sistema di riferimento cartesiano opportuno puo’ essere espressa come g  (0,0, g ) .
Sappiamo che l’ espressione vettoriale dell’ accelerazione e’

  dv
ag
e puo’ essere scritta anche essa per componenti
dt
dvx

ax  0  dt

dv y

a y  0 
dt

dvz

az   g  dt

E’ possibile ricavare in modo indipendente il moto lungo le tre direzioni integrando ogni
singola equazione. Si ottiene

 x  x0  v0 xt
vx  v0 x


e  y  y0  v0 y t
.
v y  v0 y


vz  v0 z  gt
 z  z0  v0 z t  1 gt 2
2

Se il grave all’ istante iniziale si trova nell’ origine del sistema di riferimento e la
velocita’ iniziale giace nel piano y-z abbiamo:

x  0
vx  0


e  y  v0 cos t
v y  v0 cos 


1
vz  v0 sin   gt
 z  v0 sin t  gt 2
2

Dove  rappresenta l’ angolo che la velocita’ iniziale forma con l’ asse y.